1. 新题型·
探究题 先在括号里直接写出下面每组数的最大公因数($m≠0$),再将发现补充完整。
2和3(
1
) 9和18(
9
)
23和25(
1
) 41和37(
1
)
44和4(
4
) 54和6(
6
)
1和22(
1
) 36和35(
1
)
$m$和$m+1$(
1
) $m$和$5m$(
m
)
我发现 当两个数成倍数关系时,它们的最大公因数是(
较小数
);在非0自然数中,两个质数、1和大于1的自然数、两个相邻的自然数(非0)以及其余情况下互质的两个数,它们的最大公因数都是(
1
)。
答案：1. 1 9 1 1 4 6 1 1 1 m 较小数 1
2.选择。
(1)36和一个数的最大公因数是12,这个数不可能是(
C
)。
A.24 B.48 C.72 D.12
(2)合肥市期末 下面几组数中既有公因数2,又有公因数3的是(
A
)。
A.24和42 B.6和27
C.30和40 D.12和8
(3)如果$A=2×3×7$,$B=2×5×3$,那么A和B的最大公因数是(
C
)。
A.2 B.3 C.6 D.10
(4)“一个质数和一个合数的最大公因数是1”,可以用下面的(
C
)反驳这句话。
A.1和6 B.3和7 C.2和10 D.4和8
(5)下面说法正确的有(
A
)个。
①所有非零自然数的公因数是0。
②如果两个数都是质数,那么这两个数一定没有公因数。
③$a=3b$($a$、$b$都是不为0的自然数),$a$、$b$两个数的最大公因数是3。
④两个数的最大公因数一定比这两个数都小。
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：2. (1) C (2) A
(3) C 【点拨】两个数的最大公因数是它们公有质因数的乘积。$A=2×3×7$，$B=2×5×3$，A和B公有质因数是2和3，所以最大公因数是$2×3=6$。
(4) C
(5) A 【点拨】说法①，所有非零自然数的公因数是1，因此①错误；说法②，两个数都是质数，这两个数的公因数是1，因此②错误；说法③，根据$a=3b$，可知a是b的倍数，因此a和b的最大公因数是a和b中较小的数b，因此③错误；说法④，当两个数是倍数关系时，比如2和4，它们的最大公因数是2，并不是比这两个数都小，而是等于其中较小的数，因此④错误。
3.将下列各分数分子和分母的最大公因数写在括号里。
$\boldsymbol{\frac{21}{35}}$(
7
) $\boldsymbol{\frac{16}{18}}$(
2
) $\boldsymbol{\frac{15}{25}}$(
5
)
$\boldsymbol{\frac{25}{40}}$(
5
) $\boldsymbol{\frac{27}{51}}$(
3
) $\boldsymbol{\frac{36}{54}}$(
18
)
答案：3. 7 2 5 5 3 18
4.如图,有三根彩带。现要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余,每根短彩带最长是多少厘米?至少可以剪成多少根这样的短彩带?
答案：4. 12、16和44的最大公因数是4，所以每根短彩带最长是4 cm。
$12÷4+16÷4+44÷4=18$（根）
答：每根短彩带最长是4 cm，至少可以剪成18根这样的短彩带。
【点拨】要求每根短彩带最长是多少厘米，就是求12、16和44的最大公因数。
5.新考向·地域文化 在安徽黄山的一次研学活动中,老师准备了44块徽州酥糖和39块黄山烧饼,想平均分给一个小组的同学。分发后发现,酥糖差1块才够平均分,而烧饼多出3块。这个小组最多有多少名同学?
答案：5. $44+1=45$（块） $39-3=36$（块）
45和36的最大公因数是9。
答：这个小组最多有9名同学。
【点拨】根据44块徽州酥糖差1块，可知徽州酥糖共需$44+1=45$（块），根据39块黄山烧饼多出3块，可知黄山烧饼分掉$39-3=36$（块），说明题目中要求的同学人数是45和36的最大公因数。
6.如图是一个长方形水池,如果要在它的四周及四角栽上风景树,每相邻两棵树之间的距离相等,那么最少要栽多少棵?
答案：6. 56和42的最大公因数是14，所以每相邻两棵树之间的距离最大是14米。
$(56+42)×2=196$（米）
$196÷14=14$（棵）
答：最少要栽14棵。
【点拨】要使树最少，每相邻两棵树之间的距离就要最大。因为“每相邻两棵树之间的距离相等”，且56和42的最大公因数是14，所以每相邻两棵树之间的距离最大是14米。根据题意可知，长方形的周长÷每相邻两棵树之间的最大距离=最少要栽的树的棵数。
