1. 新考法·知识本质 数学课上,我们已经学习了把圆转化成近似的长方形来求面积的方法,请你根据数学课上的推导过程完成下面的推导。
(推导过程中,圆的半径用r表示)
(1)如下图所示,把一张圆形纸分成若干(偶数)等份,拼成一个近似的梯形。
梯形的(上底+下底)相当于圆的(
周长
)的一半,梯形的高相当于圆的(
半径
)的2倍。
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2
圆的面积 =(
$π r$
)×(
$2r$
)÷2
=(
$2π r^{2}$
)÷2
$= π r^{2}$
(2)如下图所示,把一张圆形纸分成若干(偶数)等份,拼成一个近似的三角形。
三角形的底相当于圆的(
周长的$\frac{1}{4}$
),三角形的高相当于圆的(
半径
)的4倍。
三角形的面积=底×高×$\frac{1}{2}$
圆的面积=(
$\frac{1}{2}π r$
)×(
$4r$
)×$\frac{1}{2}$
=(
$2π r^{2}$
)×$\frac{1}{2}$
$= π r^{2}$
(3)如下图所示,把一张圆形纸分成若干(偶数)等份,拼成一个近似的平行四边形。
你能通过平行四边形面积的计算推导出圆的面积公式吗?写出你的推导过程。
我发现 以上三种方法推导出的圆的面积公式(
相同
)。(填“相同”或“不同”)
答案：1. (1)周长 半径 $π r$ $2r$ $2π r^{2}$
(2)周长的$\frac{1}{4}$ 半径 $\frac{1}{2}π r$ $4r$ $2π r^{2}$
(3)平行四边形的底相当于圆周长的一半,平行四边形
的高相当于圆的半径。
平行四边形的面积=底×高
↓ ↓ ↓
圆的面积=$π r×r$
$=π r^{2}$
相同
2. 如图,把一个圆剪开,拼成一个近似的梯形,这个梯形的周长大约是35.7厘米,则这个圆的面积是多少平方厘米?
答案：2.解:设这个圆的半径是r厘米。
$2×3.14×r÷2+r×4=35.7$
$r=5$
$3.14×5^{2}=78.5$（平方厘米）
答:这个圆的面积是78.5平方厘米。
【点拨】由题图可知,梯形的周长=圆的周长÷2+圆
的半径×4。根据这个等量关系,设圆的半径为r厘米,
列出方程,求出圆的半径为5厘米,再根据圆的面积
公式求出圆的面积即可。
3. 如图,把一个圆剪开,拼成一个近似的三角形,这个三角形的底大约是4.71厘米,则这个圆的面积是多少平方厘米?
答案：3.$4.71×4÷3.14÷2=3$（厘米）
$3.14×3^{2}=28.26$（平方厘米）
答:这个圆的面积是28.26平方厘米。
4. 在解决“已知圆的半径为3厘米,求圆的面积”这个问题时,龙龙忘记了圆的面积计算公式,他便回忆圆的面积公式推导过程,分步求出结果。第一步:$2×3.14×3=18.84$(厘米),第二步:$18.84÷2=9.42$(厘米),第三步:
$9.42×3=28.26$（平方厘米）
。
答案：4.$9.42×3=28.26$（平方厘米）
