7. (2024·延庆区期末)如图,已知点D,E分别在三角形ABC的边AB,AC上,连接DE,$∠ CBD+∠ BDE=180°$,直线MN经过点A,且$∠ AED=∠ EAN$,求证:$MN// BC$.
答案：7. 证明:
∵∠CBD+∠BDE=180°,
∴DE//BC.
∵∠AED=∠EAN,
∴MN//DE,
∴MN//BC.
8. 如图,直线GH交AB于点N,交CD于点P,交EF于点M,点Q在直线EF上,已知$∠ QPM=90°$,$∠ 1=∠ 2=54°$,$∠ 3=36°$,试说明$AB// EF$.
答案：8. 解:
∵∠1=∠2=54°,
∴AB//CD.
∵∠3+∠QPD=∠3+∠QPM+∠2=36°+90°+
54°=180°,
∴EF//CD,
∴AB//EF.
9. (2024·栖霞期末)如图,直线CD,EF相交于点O,OA,OB分别平分$∠ COE$和$∠ DOE$.
(1)若$∠ 2:∠ 3=2:5$,求$∠ AOF$的度数.
(2)在(1)的条件下,若$∠ 1=50°$,$AB// CD$吗? 请说明理由.
答案：9. 解:(1)
∵OB平分∠DOE,
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠DOE.
∵∠2:∠3=2:5,∠2=$\frac{1}{2}$∠DOE,
∴∠DOE:∠3=4:5.
∵∠DOE+∠3=180°,
∴∠DOE=180°×$\frac{4}{9}$=80°,∠3=180°×$\frac{5}{9}$=100°,
∴∠COE=∠3=100°.
∵OA平分∠COE,
∴∠AOC=∠AOE=$\frac{1}{2}$∠COE=50°,
∴∠AOF=180°-∠AOE=130°.
(2)AB//CD.理由如下:
由(1)可知∠AOC=∠AOE=50°.
∵∠1=50°,
∴∠AOC=∠1,
∴AB//CD.
10. 探索与发现(在同一平面内):
(1)若直线$a_{1}⊥ a_{2}$,$a_{2}// a_{3}$,判断直线$a_{1}$与$a_{3}$的位置关系,请说明理由;
(2)若直线$a_{1}⊥ a_{2}$,$a_{2}// a_{3}$,$a_{3}⊥ a_{4}$,则直线$a_{1}$与$a_{4}$的位置关系是
a₁//a₄
;(直接填结论,不需要证明)
(3)现在有2025条直线$a_{1},a_{2},a_{3},···,a_{2025}$,且有$a_{1}⊥ a_{2}$,$a_{2}// a_{3}$,$a_{3}⊥ a_{4}$,$a_{4}// a_{5}$,$···$,请你探索直线$a_{1}$与$a_{2025}$的位置关系.
答案：10. (1)解:a₁⊥a₃.理由如下:
如答图,
∵a₁⊥a₂,
∴∠1=90°,
∵a₂//a₃,
∴∠2=∠1=90°,
∴a₁⊥a₃.
(2)a₁//a₄
(3)解:直线a₁与a₂,a₃的位置关系分别是a₁⊥a₂,a₁⊥
a₃,直线a₁与a₄,a₅的位置关系分别是a₁//a₄,a₁//a₅,
从a₂开始,直线a₂,a₃,…,a₂₀₂₅与直线a₁的位置关系以
⊥,⊥,//,//为一次循环,
∴a₁⊥a₂₀₂₂,a₁⊥a₂₀₂₃,a₁//
a₂₀₂₄,a₁//a₂₀₂₅,
∴直线a₁与a₂₀₂₅的位置关系是
a₁//a₂₀₂₅.
