三、解答题
8. 解下列方程组:
(1)$\begin{cases} 3(y-2x)+4y=2x-1,\\ 2x+5y=7;\\ \end{cases}$
(2)$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{2y-2}{3},\\ 2(x-1)+3(y+2)=5.\\ \end{cases}$
答案：8.解:(1)将原方程组整理,得$\begin{cases} 8x-7y=1①,\\ 2x+5y=7②,\\ \end{cases}$
②$×4$,得$8x+20y=28$③,
③$-$①,得$27y=27$,解得$y=1$.
把$y=1$代入②,得$2x+5=7$,
解得$x=1$.
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=1,\\ y=1.\\ \end{cases}$
(2)将原方程组整理,得
$\begin{cases} 3x-4y=-7①,\\ 2x+3y=1②,\\ \end{cases}$
①$×3$,得$9x-12y=-21$③,
②$×4$,得$8x+12y=4$④,
③$+$④,得$17x=-17$,解得$x=-1$.
把$x=-1$代入②,得$-2+3y=1$,解得$y=1$.
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=-1,\\ y=1.\\ \end{cases}$
9. (2024·怀柔区期末)我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系,系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解.因此,在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式,规定:关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\\ \end{cases}$可以写成矩阵$\begin{bmatrix} a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ \end{bmatrix}$的形式.例如:$\begin{cases} 2x+3y=7,\\ 4x-5y=3\\ \end{cases}$可以写成矩阵$\begin{bmatrix} 2&3&7\\ 4&-5&3\\ \end{bmatrix}$的形式.
(1)将$\begin{cases} 2y-3=x,\\ 3x-4y-7=0\\ \end{cases}$写成矩阵的形式;
(2)若矩阵$\begin{bmatrix} 3&a&5\\ b&-1&3\\ \end{bmatrix}$所对应的关于x,y的二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=-1,\\ y=-4,\\ \end{cases}$求a与b的值.
答案：9.解:(1)将方程组整理为$\begin{cases} -x+2y=3,\\ 3x-4y=7,\\ \end{cases}$写成矩阵的形式
为$\begin{bmatrix} -1&2&3\\ 3&-4&7\\ \end{bmatrix}$.
(2)矩阵$\begin{bmatrix} 3&a&5\\ b&-1&3\\ \end{bmatrix}$所对应的关于$x,y$的二元一次方
程组为$\begin{cases} 3x+ay=5,\\ bx-y=3.\\ \end{cases}$
将$\begin{cases} x=-1,\\ y=-4\\ \end{cases}$代入方程组$\begin{cases} 3x+ay=5,\\ bx-y=3,\\ \end{cases}$
得$\begin{cases} -3-4a=5①,\\ -b+4=3②,\\ \end{cases}$
由①得$a=-2$,由②得$b=1$.
所以$a$的值是$-2$,$b$的值是1.
10.
答案：10.解:(任务一)设每辆A型客车的租金是$x$元,每辆B型
客车的租金是$y$元,
根据题意得$\begin{cases} 3x+2y=3800,\\ x+3y=3600,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} x=600,\\ y=1000.\\ \end{cases}$
答:每辆A型客车的租金是600元,每辆B型客车的租
金是1000元.
(任务二)设租用$m$辆A型号客车,$n$辆B型号客车,
根据题意,得$25m+55n=485$,
$\therefore m=\dfrac{97-11n}{5}$.
又$\because m,n$均为非负整数,
$\therefore \begin{cases} m=15,\\ n=2\\ \end{cases}$或$\begin{cases} m=4,\\ n=7,\\ \end{cases}$
$\therefore$共有2种租车方案,
方案1:租用15辆A型客车,2辆B型客车;
方案2:租用4辆A型客车,7辆B型客车.
(任务三)不存在.若选择方案1,则所需租金为$600×$$15+1000×2=11000$(元);
若选择方案2,则所需租金为$600×4+1000×7=$$9400$(元).
$\because 11000＞9400＞9000$,$9400-9000=400$(元),
$\therefore$不存在租车费用不超过预算的租车方案,至少要追加
400元的预算金额.
