9. (2024·湖南)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,点E在边AB上,
①
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请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线
上(填序号),再解决下列问题.
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
答案：9.解:(1)选择①.证明:$\because ∠ B=∠ AED,\therefore BC// DE$,
$\because AB// CD,\therefore$四边形$BCDE$为平行四边形.
选择②.证明:$\because AE=BE,AE=CD,\therefore BE=CD$.
$\because AB// CD,\therefore$四边形$BCDE$为平行四边形.
(2)由(1)可知,四边形$BCDE$为平行四边形,
$\therefore DE=BC=10$.
$\because AD⊥ AB,\therefore ∠ A=90°$,
$\therefore AE=\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,
即线段$AE$的长为6.
10. 如图,在□ABCD中,AB=6 cm,AD=10 cm,点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向
点D运动,点Q在BC边上,以每秒4 cm的速度从点C出发,在C,B之间往返运动,两个动
点同时出发,当点P到达点D时两动点均停止运动,设运动时间为t s(t＞0).
(1)用含t的式子表示线段AP,CQ,PD,BQ的长度;
(2)当运动时间为多少时,以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形?
答案：10.解:(1)当$0＜ t≤ \frac{5}{2}$时,$AP=t\ \mathrm{cm},PD=(10-t)\ \mathrm{cm}$,
$CQ=4t\ \mathrm{cm},BQ=(10-4t)\ \mathrm{cm}$.
当$\frac{5}{2}＜ t≤ 5$时,$AP=t\ \mathrm{cm},PD=(10-t)\ \mathrm{cm},BQ=(4t-$
$10)\ \mathrm{cm},CQ=(20-4t)\ \mathrm{cm}$.
当$5＜ t≤ \frac{15}{2}$时,$AP=t\ \mathrm{cm},PD=(10-t)\ \mathrm{cm},CQ=(4t-$
$20)\ \mathrm{cm},BQ=(30-4t)\ \mathrm{cm}$.
当$\frac{15}{2}＜ t≤ 10$时,$AP=t\ \mathrm{cm},PD=(10-t)\ \mathrm{cm},BQ=$
$(4t-30)\ \mathrm{cm},CQ=(40-4t)\ \mathrm{cm}$.
(2)$\because$四边形$ABCD$为平行四边形,$\therefore PD// BQ$.
若要以$P,D,Q,B$为顶点的四边形为平行四边形,则
$PD=BQ$.
当$0＜ t≤ \frac{5}{2}$时,$PD=(10-t)\ \mathrm{cm},BQ=(10-4t)\ \mathrm{cm}$,
$\therefore 10-t=10-4t$,解得$t=0$(不合题意,舍去).
当$\frac{5}{2}＜ t≤ 5$时,$PD=(10-t)\ \mathrm{cm},BQ=(4t-10)\ \mathrm{cm}$,
$\therefore 10-t=4t-10$,解得$t=4$.
当$5＜ t≤ \frac{15}{2}$时,$PD=(10-t)\ \mathrm{cm},BQ=(30-4t)\ \mathrm{cm}$,
$\therefore 10-t=30-4t$,解得$t=\frac{20}{3}$.
当$\frac{15}{2}＜ t≤ 10$时,$PD=(10-t)\ \mathrm{cm},BQ=(4t-30)\ \mathrm{cm}$,
$\therefore 10-t=4t-30$,解得$t=8$.
综上所述,当运动时间为$4\ \mathrm{s}$或$\frac{20}{3}\ \mathrm{s}$或$8\ \mathrm{s}$时,以$P,D,$
$Q,B$为顶点的四边形是平行四边形.
