【分析】
(1) 解题时先回忆长方体展开图的结构：长方体共有6个面，包含4个侧面和2个完全相同的底面。观察题给图形，横向的4个长方形为侧面，左侧竖直排列的小正方形为底面，仅需要2个底面即可，因此存在多余图形，将最下方的小正方形涂黑即可。
(2) 第二问先回忆长方体的基本特征直接得到棱的总数；计算剪开棱数时，展开后6个面的平面图形共有5条未剪开的公共棱，用总棱数减去未剪开的棱数即可得到剪开的棱数。
(3) 第三问先结合图中尺寸求长方体的长宽高：横向12cm是4个侧面的宽度之和，对应4倍的底面正方形边长，可先求出底面边长；纵向17cm对应3个底面边长加长方体的高，可求出高，最后代入长方体体积公式计算即可。
【解析】
(1) 长方体展开图需要6个面，题中图形共有7个面，多了1个小正方形，将最下方的小正方形涂上阴影即可，如答图所示。
(2) 根据长方体的特征，长方体共有12条棱；长方体展开为平面图形时，相邻面之间的公共棱为未剪开的棱，6个面的展开图共有$6-1=5$条未剪开的棱，因此需要剪开的棱数为$12-5=7$条。
(3) 步骤1：求底面正方形的边长：横向4个侧面的总宽度为12cm，每个侧面的宽等于底面正方形的边长，因此边长为$12÷4=3(\mathrm{cm})$。
步骤2：求长方体的高：竖直方向总长度为17cm，包含3个底面边长和长方体的高，因此高为$17-3×3=8(\mathrm{cm})$。
步骤3：计算长方体体积：根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，代入数据得$V=3×3×8=72(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1)有多余图形,如答图
(2)$12$；$7$
(3)修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为$72\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体展开图；长方体的特征；长方体体积计算
【点评】
本题结合展开图的识别考查长方体的相关知识，需要具备一定的空间想象能力，能结合图形中的尺寸建立长宽高的数量关系，同时考查基础公式的应用能力，是几何部分的常见综合题型。
【难度系数】
0.65

【分析】
(1) 解决第一问需结合正方体展开图的特征判断：正方体展开图中不能出现“田”字形、“凹”字形结构，据此逐一筛选给出的图形即可。
(2) 第二问①：纸盒底面是边长为x的正方形，直接用正方形面积公式得底面积；原大正方形边长为a，剪去4个小正方形后底面边长为x，说明每个小正方形的边长即纸盒的高为$\frac{a-x}{2}$。② 先根据“容积=底面积×高”写出容积的代数式，将x=8、容积192代入先求出a的值，再将a和x=4代入容积代数式计算即可。
(3) 第三问先根据无盖长方体展开图的相对面规律，确定A和C、B和D分别为相对面，结合相对面代数式相等得到两个等式，再将所求代数式拆分成与已知等式相关的形式，用整体代入法计算即可，无需单独求a、b的值。
【解析】
(1) 根据正方体展开图的禁忌结构（无“田”“凹”字形），可判断①②④均能围成正方体纸盒。
(2) ① 底面为边长是x cm的正方形，底面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$；由大正方形边长和底面边长的关系可得，纸盒的高为$\frac{a-x}{2}\ \mathrm{cm}$。
② 纸盒容积公式为$V=x^2·\frac{a-x}{2}$，
当$x=8\ \mathrm{cm}$，$V=192\ \mathrm{cm}^3$时，代入得：$64×\frac{a-8}{2}=192$，
化简得$32(a-8)=192$，解得$a=14$。
当$x=4\ \mathrm{cm}$时，底面积为$4^2=16\ \mathrm{cm}^2$，高为$\frac{14-4}{2}=5\ \mathrm{cm}$，
因此容积为$16×5=80\ \mathrm{cm}^3$。
(3) 由展开图规律可得：A与C相对，B与D相对，
根据相对面代数式相等，得：
$a^2-2ab=\frac{1}{3}$，$ab+2b^2=3$，
对所求式子变形：
$3a^2-\frac{9}{2}ab+3b^2=\frac{3}{2}(2a^2-3ab+2b^2)=\frac{3}{2}[2(a^2-2ab)+(ab+2b^2)]$，
将已知等式代入得：
原式$=\frac{3}{2}×(2×\frac{1}{3}+3)=\frac{3}{2}×\frac{11}{3}=\frac{11}{2}$。
【答案】
(1) ①②④
(2) ①$x^2$；$\frac{a-x}{2}$ ②$80\ \mathrm{cm}^3$
(3) $\frac{11}{2}$
【知识点】
正方体展开图识别、列代数式、整式化简求值
【点评】
本题结合立体图形的实际制作场景，综合考查了展开图判断、代数式的实际应用和整式整体代入求值，既侧重基础概念的巩固，也对代数式变形能力有一定要求，综合性较强。
【难度系数】
0.7