【分析】
这是一道尺规作图综合题，可按小问逐个梳理解题思路：
1. 画直线AB：直线无端点、可向两端无限延伸，只需过A、B两点作直线即可；
2. 画射线AC：射线只有1个端点，仅可向一端无限延伸，因此以A为端点，作过C点的射线即可；
3. 作$CE=AB+BC$：首先连接BC，再将BC向C点外侧延长，利用尺规截等长线段的方法，在延长线上从C点开始，先后截取长度等于AB、BC的线段，两段之和即为$AB+BC$，终点即为所求的E点；
4. 找使$PA+PC$最小的P点：根据两点之间线段最短的性质，$PA+PC$的最小值就是线段AC的长度，因此只需连接AC，AC与BD的交点就是满足条件的P点。
【解析】
(1) 画直线AB：将直尺边缘贴合A、B两点，沿直尺绘制同时穿过A、B，且向两端无限延伸的直线即可；
(2) 画射线AC：将直尺对齐A、C两点，以A为端点，沿直尺向C方向绘制仅向C侧无限延伸的射线即可；
(3) 作$CE=AB+BC$：①先用直尺连接B、C两点得到线段BC；②将直尺沿BC方向放置，过C点延长BC得到BC的延长线；③将圆规两脚张开到与AB长度相等，以C为圆心，AB长为半径画弧，交BC延长线于点F；④再将圆规两脚张开到与BC长度相等，以F为圆心，BC长为半径画弧，交FC的延长线于点E，此时$CE=CF+FE=AB+BC$，E即为所求；
(4) 取点P：用直尺连接A、C两点，线段AC与线段BD的交点即为点P，此时$PA+PC=AC$，根据两点之间线段最短，该值最小。
（作图过程需保留所有作图痕迹）
【答案】
19.解:(1)(2)(3)(4)如答图.
第19题答图
【知识点】
尺规基本作图，两点之间线段最短，直线射线线段的定义
【点评】
本题属于基础作图类题型，既考查了直线、射线、线段的基本作图方法，也结合了最短路径的应用，要求掌握尺规截等长线段的操作，熟悉线段最短的性质，作图时需按要求保留痕迹。
【难度系数】
0.85

【分析】
解决本题首先要明确垂线的作图方法，前两问可利用三角板的直角边按照垂线的作图步骤操作即可；第三问先回忆点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此判断两个距离对应的内容；再结合“垂线段最短”的性质，对比三条线段的长度关系。
【解析】
(1) 画过点P的OB的垂线：将三角板的一条直角边与OB重合，平移三角板使另一条直角边经过点P，沿该直角边画直线，与OA的交点记为C，直线PC即为所求。
(2) 画过点P的OA的垂线：将三角板的一条直角边与OA重合，平移三角板使另一条直角边经过点P，沿该直角边画线段，与OA的交点为垂足H，线段PH即为所求。
(3) 根据点到直线距离的定义：PH垂直于OA，因此线段PH的长是点P到OA的距离；PC垂直于OB，因此线段CP的长是点C到OB的距离。
根据垂线段最短的性质：点P到直线OA的所有连线中，垂线段PH最短，因此PH＜PC；点C到直线OB的所有连线中，垂线段PC最短，因此PC＜OC，综上三条线段的大小关系为PH＜PC＜OC，判断依据是垂线段最短。
【答案】
(1)解:如答图,PC即为所求.
(2)解:如答图,PH即为所求.
(3)OA；线段CP的长；PH ＜ PC ＜ OC；垂线段最短
【知识点】
垂线的画法；点到直线的距离；垂线段最短
【点评】
本题属于几何基础题，既考查了垂线的基本作图能力，也考查了点到直线距离的概念辨析和垂线段最短性质的应用，需注意“距离”是垂线段的长度，是数量，不是垂线段本身。
【难度系数】
0.75

【分析】
(1)要判断E是否为线段AD的中点，根据线段中点的定义，只需证明AE=DE即可。已知E是BC的中点，可得CE=BE，再结合已知条件AC=BD，利用等式的性质，在等式两边分别加上相等的CE和BE，即可得到AE=DE，从而证明E是AD的中点。
(2)已知AD的长度，结合第(1)问得出的E是AD中点的结论，可先求出AE的长度；再根据E是BC中点，可得BE=CE，最后利用线段的和差关系，AB=AE+BE，代入对应数值即可求出AB的长度。
【解析】
(1)E是线段AD的中点，理由如下：
因为E是线段BC的中点，所以$CE=BE$。
又因为$AC=BD$，所以$AC+CE=BD+BE$，即$AE=DE$，因此E是线段AD的中点。
(2)因为$AD=10$，E是AD的中点，所以$AE=DE=\frac{1}{2}AD=5$。
因为E是BC的中点，$CE=2$，所以$BE=CE=2$。
因此$AB=AE+BE=5+2=7$。
【答案】
(1)E是线段AD的中点；(2)线段AB的长为7
【知识点】
线段中点的定义，线段和差计算，等式的性质
【点评】
本题是线段相关性质的基础应用题，解题核心是利用线段中点的性质实现线段长度的等量转化，结合线段和差关系推导结论、计算长度，掌握线段的基本概念和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

【分析】
这是一道方向角相关的几何计算题，解题时以正北、正南方向为基准逐步推导：
1. 第(1)问先根据OA、OB的已知方向算出∠AOB的度数，结合∠AOC=∠AOB的条件，算出OC与正北方向的夹角，即可确定OC的方向；
2. 第(2)问利用对顶角相等的性质，得到OD与正南方向的夹角，即可确定OD的方向；
3. 第(3)问先明确∠BOD是平角为180°，再根据角平分线的定义算出∠BOE的度数，进而求出OE与正北方向的夹角，确定OE的方向。
【解析】
(1) 设正北方向为射线OF，已知OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，因此$∠ BOF=40°,∠ AOF=15°$，
根据角的和差关系可得：$∠ AOB=∠ BOF+∠ AOF=40°+15°=55°$。
因为$∠ AOC=∠ AOB$，所以$∠ AOC=55°$，
因此$∠ FOC=∠ AOF+∠ AOC=15°+55°=70°$，即OC在正北方向东侧70°位置。
(2) 设正南方向为射线OM，因为OD是OB的反向延长线，OB与正北方向西侧的夹角为40°，根据对顶角相等可得$∠ DOM=∠ BOF=40°$，即OD在正南方向东侧40°位置。
(3) 因为OD是OB的反向延长线，所以$∠ BOD$为平角，即$∠ BOD=180°$。
因为OE是$∠ BOD$的平分线，所以$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=90°$，
因此$∠ FOE=∠ BOE-∠ BOF=90°-40°=50°$，即OE在正北方向东侧50°位置。
【答案】
(1) OC的方向是北偏东$70°$；
(2) OD的方向是南偏东$40°$；
(3) OE的方向是北偏东$50°$。
第22题答图
【知识点】
方向角的表示；角的和差计算；角平分线的定义
【点评】
这道题围绕方向角的识别与计算命题，结合了角的和差运算、角平分线性质、对顶角相等等基础几何知识点，解题的关键是找准正北、正南等基准方向，准确计算所求射线与基准方向的夹角，属于方位角类的常规基础题型。
【难度系数】
0.75