10.如图是一个“数值转换机”.若开始输入$ x $的值为正整数,最后输出的结果为23,则满足条件的最小的$ x $值为________。
答案：10.3
解析：
【分析】
首先明确数值转换机的运算规则：输入正整数x后，先计算3x-1，若结果大于20则直接输出，否则将计算结果作为新的x再次代入运算，直到结果大于20后输出。已知最终输出结果为23，我们可以采用逆推法，从输出结果反向推导每一步可能的输入值，再从中筛选出最小的正整数x即可。
【解析】
我们从输出结果23反向逆推：
1. 若仅经过1次运算就输出23，可得方程：
$3x - 1 = 23$
解得$x = 8$，8是正整数，符合条件；
2. 若经过2次运算才输出23，说明第1次运算的结果为8（8≤20，需要再次输入运算），则可得方程：
$3x - 1 = 8$
解得$x = 3$，3是正整数，符合条件；
3. 若经过3次运算才输出23，说明第1次运算的结果为3（3≤20，需要再次输入运算），则可得方程：
$3x - 1 = 3$
解得$x = \frac{4}{3}$，不是正整数，不符合要求，继续逆推得到的x均不是正整数。
综上，满足条件的正整数x为3和8，最小的x值为3。
【答案】
3
【知识点】
代数式求值，一元一次方程求解，流程图运算
【点评】
本题需要运用逆推思维解题，解题时要注意考虑多次循环运算的情况，同时不要忽略x为正整数的限制条件，避免仅推导一次就得到x=8的错误结论。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共50分)
11.(10分)(1)计算：$-1^{4}+2×(-3)^{2}-5÷\frac{1}{2}×2$；
(2)解方程：$1-\frac{x-1}{2}=\frac{x+2}{3}$.
答案：11.解:(1)原式$=-1+2×9-5×2×2=-1+18-20=-3.$
(2)去分母,得$6-3(x-1)=2(x+2)$,
去括号,得$6-3x+3=2x+4$,
移项,得$-3x-2x=4-6-3$,
合并同类项,得$-5x=-5$,
系数化为1,得$x=1.$
解析：
【分析】
(1) 本题是有理数混合运算题，解题需遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算。首先处理乘方项：注意$-1^4$是1的4次方的相反数，结果为-1；$(-3)^2$是-3的平方，结果为9。再计算乘除运算，除以$\frac{1}{2}$等价于乘2，因此$5÷\frac{1}{2}×2$可转化为$5×2×2$计算。最后按顺序计算加减即可得到结果。
(2) 本题是一元一次方程求解问题，按常规步骤操作即可：第一步去分母，两边同时乘分母2和3的最小公倍数6，注意常数项1不要漏乘；第二步去括号，括号前是负号时括号内各项要变号；第三步移项，含x的项移到左侧、常数项移到右侧，移项要变号；第四步合并同类项；第五步将x的系数化为1即可得到解。
【解析】
(1) 按有理数混合运算顺序计算：
原式$=-1+2×9-5×2×2$
$=-1+18-20$
$=-3$
(2) 按一元一次方程求解步骤计算：
去分母，得$6-3(x-1)=2(x+2)$，
去括号，得$6-3x+3=2x+4$，
移项，得$-3x-2x=4-6-3$，
合并同类项，得$-5x=-5$，
系数化为1，得$x=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{x=1}$
【知识点】
1. 有理数的混合运算
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察运算的规范性和准确性，有理数运算要注意运算顺序和符号判定，解一元一次方程时要注意去分母时常数项不要漏乘、去括号时符号的变化，熟练掌握运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
12.(10分)先化简,再求值:$a^2+\frac{1}{2}(10a^2+2ab)-2(3a^2-ab)$,其中$a=\frac{1}{3},b=27.$
答案：12.解:原式$=a^2+5a^2+ab-6a^2+2ab=3ab$,
当$a=\dfrac{1}{3},b=27$时,$3ab=3×\dfrac{1}{3}×27=27.$
解析：
【分析】
这是一道整式化简求值类题目，解题可分为两步：第一步先化简整式，先根据去括号法则去掉所有括号，注意括号前的系数要乘遍括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内的每一项都要变号；再合并同类项得到最简结果，先化简再代入能大幅减少计算量。第二步将给定的a、b的值代入最简式计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：先对原式进行化简：
原式$=a^2+5a^2+ab-6a^2+2ab$
合并同类项得：
原式$=(a^2+5a^2-6a^2)+(ab+2ab)=3ab$
再代入数值计算：当$a=\dfrac{1}{3},b=27$时，
原式$=3× \dfrac{1}{3}× 27=27$
【答案】
$27$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题型，重点考查去括号的符号规则及合并同类项的运算能力，先化简后代入求值的思路可以有效降低计算复杂度，解题时要注意去括号时系数要分配到括号内每一项，避免出现漏乘或符号错误。
【难度系数】
0.85
13.(10分)如图,直线AB与CD相交于点O,OE是∠COB的平分线,OE⊥OF.
(1)图中∠BOE的补角是
∠AOE,∠DOE
;
(2)若∠COF=2∠COE,求∠BOE的度数;
(3)试判断OF是否平分∠AOC,并说明理由.
答案：13.(1)$∠ AOE,∠ DOE$
(2)解:因为$OE⊥ OF$,$∠ COF=2∠ COE$,
所以$∠ COF=\dfrac{2}{3}×90°=60°$,$∠ COE=\dfrac{1}{3}×90°=30°$.
因为OE是$∠ COB$的平分线,
所以$∠ BOE=∠ COE=30°$.
(3)解:OF平分$∠ AOC$.理由如下:
因为OE是$∠ COB$的平分线,$OE⊥ OF$,
所以$∠ BOE=∠ COE$,$∠ COE+∠ COF=90°$.
因为$∠ BOE+∠ EOC+∠ COF+∠ FOA=180°$,
所以$∠ BOE+∠ FOA=90°$,所以$∠ FOA=∠ COF$,
即OF平分$∠ AOC$.
解析：
【分析】
(1) 解题先明确补角定义：和为180°的两个角互为补角。首先观察到∠BOE与∠AOE相加为平角180°，可得∠AOE是补角；再结合角平分线性质得∠BOE=∠COE，而∠COE与∠DOE相加为平角180°，即可推出∠DOE也是∠BOE的补角。
(2) 先根据垂直的定义得∠EOF=90°，结合∠COF和∠COE的倍数关系，先算出∠COE的度数，再利用角平分线的性质，即可得到∠BOE的度数。
(3) 要判断OF是否平分∠AOC，只需证明∠AOF=∠COF即可。利用垂直得到90°的角，再结合平角为180°、角平分线的性质，通过等量代换推导两个角相等，即可得出结论。
【解析】
(1) 根据补角定义，两个角的和为180°则互为补角：
∵ ∠BOE + ∠AOE = 180°，
∴ ∠AOE是∠BOE的补角；
∵ OE平分∠COB，
∴ ∠BOE=∠COE，
又
∵ ∠COE + ∠DOE = 180°，
∴ ∠BOE + ∠DOE =180°，
∴ ∠DOE也是∠BOE的补角。
(2) 解：
∵ OE⊥OF，
∴ ∠EOF=90°，即$∠ COF + ∠ COE =90°$，
又
∵ $∠ COF=2∠ COE$，
∴ $∠ COF=\dfrac{2}{3}×90°=60°$，$∠ COE=\dfrac{1}{3}×90°=30°$，
∵ OE是$∠ COB$的平分线，
∴ $∠ BOE=∠ COE=30°$。
(3) 解：OF平分$∠ AOC$，理由如下：
∵ OE是$∠ COB$的平分线，
∴ $∠ BOE=∠ COE$，
∵ OE⊥OF，
∴ $∠ COE+∠ COF=90°$，
∵ 平角$∠ AOB=180°$，
∴ $∠ BOE+∠ EOC+∠ COF+∠ FOA=180°$，
代入可得$∠ BOE+∠ FOA=90°$，
结合$∠ BOE=∠ COE$，可推出$∠ FOA=∠ COF$，
即OF平分$∠ AOC$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOE、∠DOE}$
(2) $\boldsymbol{30°}$
(3) OF平分$\boldsymbol{∠AOC}$，理由见解析。
【知识点】
补角的定义；角平分线的性质与判定；垂直的定义
【点评】
本题围绕相交线形成的角设置三层问题，从基础概念识别到角度计算，再到角平分线的证明，层层递进，能有效考查对角度相关基础知识点的掌握程度和逻辑推理能力，是角的运算与证明类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
14.(20分)某商场促销方案规定:商场内所有商品按标价的80%出售,同时,当顾客在商场内消费满一定金额后,按下表获得相应的返还金额(注:300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元,其他类同):
根据上述促销方案,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如,若购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为$400×(1-80\%)+30=110$(元).
(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客获得的优惠额是多少元?
(2)如果某顾客消费金额在500~600元范围内,且获得的优惠额为226元,那么该商品的标价为多少元?
答案：14.解:(1)因为$1000×80\%=800$(元),$700＜800＜900$,
所以返还金额是150元,
所以顾客获得的优惠额是$1000×(1-80\%)+150=350$(元).
答:购买一件标价为1000元的商品,顾客获得的优惠额是350元.
(2)设该商品的标价为$x$元,
根据题意,得$(1-80\%)x+100=226$,解得$x=630$.
答:该商品的标价为630元.
解析：
【分析】
（1）求解第一问时，第一步先按促销规则计算标价1000元商品打8折后的消费金额，再对照表格确定该消费金额对应的返还金额；优惠额由两部分组成：一是打折少支付的金额（即标价的20%），二是返还的金额，两部分相加即可得到总优惠额。
（2）求解第二问时，先根据“消费金额在500~600元”的条件，对照表格确定对应返还金额为100元；设商品标价为x元，根据“打折优惠金额+返还金额=总优惠额”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到商品标价。
【解析】
(1) 计算标价1000元商品的消费金额：
$1000×80\%=800$（元）
对照表格，$700＜800≤900$，对应返还金额为150元
总优惠额为：
$1000×(1-80\%) + 150 = 200 + 150 = 350$（元）
(2) 消费金额在500~600元范围内，对照表格可知对应返还金额为100元
设该商品的标价为$x$元，根据题意列方程：
$(1-80\%)x + 100 = 226$
化简得$0.2x = 126$
解得$x = 630$
【答案】
(1) 350元；(2) 630元
【知识点】
一元一次方程的应用，折扣问题，分段计费
【点评】
本题结合商场促销的生活场景，考查了分段计费规则的运用和用一元一次方程解决实际问题的能力，解题核心是准确匹配消费金额对应的返还档位，理清优惠额的构成，贴近生活实际，能锻炼学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.75
