两,若每人分九两,则还差半斤(注:明代时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语).设有x人分银子,根据题意可列方程为
$7x+4=9x-8$
.
答案：11. $7x+4=9x-8$
解析：
【分析】
解决这道题的核心是抓住题目中不变的量——银子的总数量，两种分配方式下银子总数是相等的。首先先处理单位换算：题目明确说明明代1斤=16两，因此半斤就是8两。接下来我们分别用含x的式子表示两种分配方式下的银子总数量，再令两个式子相等即可得到方程。第一步：表示每人分7两时的总银子数：x人每人分7两，共分了7x两，还剩4两，总银子数为7x+4；第二步：表示每人分9两时的总银子数：x人每人分9两，共需要9x两，还差8两，说明实际总银子数比9x少8，即9x-8；第三步：根据总银子数相等，联立两个式子即可得到方程。
【解析】
首先进行单位换算：已知明代1斤=16两，因此半斤$=16÷2=8$两。
银子的总数量固定不变：
1. 若每人分7两，剩余4两，银子总数量为：$7x + 4$两；
2. 若每人分9两，还差8两，银子总数量为：$9x - 8$两。
因为两种分配方式的银子总数量相等，因此可列方程：$7x + 4 = 9x - 8$。
【答案】
$7x+4=9x-8$
【知识点】
列一元一次方程，盈亏问题，单位换算
【点评】
本题结合古代度量衡常识考查实际问题列方程的能力，解题的关键是抓住银子总量不变的等量关系，需要注意结合题目给出的度量衡规则计算半斤对应的两数，不要误用现代半斤为5两的常识导致出错。
【难度系数】
0.7
12.已知$∠A=38°30'$，则$∠A$的余角大小是
$51°30'$
.
答案：12. $51°30'$
解析：
【分析】
解题首先回忆余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，因此求∠A的余角，只需用90°减去∠A的度数即可。计算时要注意度和分是60进制，不够减时可把90°转化为89°60'再进行减法运算。
【解析】
根据余角的定义可知，∠A的余角 = 90° - ∠A。
已知∠A=38°30'，将90°换算为89°60'（1°=60'），代入计算：
$90° - 38°30' = 89°60' - 38°30' = 51°30'$
【答案】
$51°30'$
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查余角的概念和度分的60进制运算规则，熟练掌握相关概念和换算方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
13.已知C为线段AB的中点,点D在线段CB上,且$DA=5,DB=3$,则CD的长度为
$1$
.
答案：13. $1$
解析：
【分析】
解题时首先观察线段上点的位置关系，已知DA、DB的长度，可先求出线段AB的总长度；再利用C是AB中点的条件，算出AC（或CB）的长度；最后通过线段的和差关系即可求出CD的长度。
【解析】
第一步：求线段AB的总长度
∵点D在线段AB上，$DA=5$，$DB=3$
∴$AB=DA+DB=5+3=8$
第二步：利用中点性质求CB的长度
∵C是线段AB的中点
∴$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
第三步：求CD的长度
$CD=CB-DB=4-3=1$
【答案】
$1$
【知识点】
线段和差计算、线段中点的性质
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，核心考查对线段中点性质的理解和线段和差运算的掌握，解题的关键是先确定AB的总长度，再结合已知条件推导待求线段长度，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
14.如图，直线$l_{1}// l_{2}$，将直角三角尺按如图方式放置，直角顶点在$l_{2}$上，若$∠ 1=40°$，则$∠ 2=$.
答案：14. $50°$
解析：
【分析】
解题时先观察图形特征，已知$l_1//l_2$，直角三角尺的直角为$90°$，要计算$∠ 2$的度数，首先利用平行线的性质将$∠ 2$转化为与$∠ 1$、直角在同一直线（$l_2$）上的等角，再结合平角为$180°$的性质，建立角度和的关系即可求解。
【解析】
∵ 直线$l_{1}// l_{2}$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ 2$与$l_2$上对应的内错角度数相等。
又
∵ 直角三角尺的直角为$90°$，$l_2$为直线，其上三个角$∠ 1$、$90°$的直角、与$∠ 2$相等的内错角之和为平角$180°$，
∴ $∠ 1 + 90° + ∠ 2 = 180°$，
将$∠ 1=40°$代入得：
$∠ 2 = 180° - 90° - 40° = 50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是平行线性质与角度计算的基础综合题，解题核心是通过平行线的性质将分散的角度转化到共线的位置，结合平角特征建立等量关系计算，解题时注意不要混淆平行线的性质和判定即可。
【难度系数】
0.8
15.按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为121，则开始输入的x的值为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
答案：15. $1,4,13,40$
解析：
【分析】
我们需要根据程序的运算规则逆向推导输入的x值：程序运行规则是输入x后计算3x+1，若结果＞100则输出，否则将该结果作为新的x再次计算，直到结果＞100输出。已知最终输出结果为121，我们可以从结果倒推，分别考虑只运算1次、2次、3次……就输出121的情况，每次求出的x都要满足是正整数，且前一次的运算结果≤100（否则不会进入下一轮循环），直到求出的x不符合正整数要求为止。
【解析】
我们从输出结果121逆向推导：
1. 若仅运算1次就输出121：
列方程：$3x+1=121$
解得：$x=40$，40是正整数，符合要求。
2. 若运算2次后输出121：说明第一次运算的结果是40（40≤100，进入第二轮运算得到121），列方程：
$3x+1=40$
解得：$x=13$，13是正整数，符合要求。
3. 若运算3次后输出121：说明第一次运算的结果是13（13≤100，进入后续循环），列方程：
$3x+1=13$
解得：$x=4$，4是正整数，符合要求。
4. 若运算4次后输出121：说明第一次运算的结果是4（4≤100，进入后续循环），列方程：
$3x+1=4$
解得：$x=1$，1是正整数，符合要求。
5. 若继续倒推：列方程$3x+1=1$，解得$x=0$，不是正整数，不符合要求，停止推导。
综上，开始输入的x的值为1,4,13,40。
【答案】
$1,4,13,40$
【知识点】
流程图运算，解一元一次方程，逆向推理
【点评】
本题的易错点是容易只考虑单次运算的情况，漏了多次循环的可能，解题时要注意结合输入值为正整数的限制，从结果倒推所有符合条件的情况。
【难度系数】
0.5
16.“8”字模型是初中数学中常见模型之一，给同学们解答几何题带来了很大的便捷.如图，小明画出了正五边形、正六边形、正八边形，并延长每条边使其相交，形成如图的“五角星”“六角星”“八角星”图，并计算出五角星5个角的和、六角星6个角的和以及八角星8个角的和，请根据以上信息推导延长正n边形每条边相交形成的“n角星”图的n个角的和是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案：16. $(n-4)×180°$
解析：
【分析】
我们采用从特殊到一般的推导思路：先从已知的正五边形、正六边形形成的星型角度和入手，再推导正n边形的通用结论。首先回忆正多边形内角和公式，观察可知n角星的每个角都是延长正n边形的边得到的小三角形的顶角，结合三角形内角和定理，先求出单个角的度数，再乘n得到总角度和，化简后即可得到通用公式。
【解析】
1. 正n边形的内角和为$(n-2)×180°$，因此每个内角的度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$。
2. 延长正n边形的边形成n角星时，每个角对应一个小三角形，该三角形的两个底角均为正n边形内角的邻补角，因此每个底角的度数为：
$180°-\frac{(n-2)×180°}{n}=\frac{360°}{n}$
3. 根据三角形内角和为$180°$，可得n角星的单个角的度数为：
$180°-2×\frac{360°}{n}$
4. 因此n个角的总度数和为：
$n×(180°-\frac{720°}{n})=180° n-720°=(n-4)×180°$
可通过特殊值验证：n=5（五角星）时角度和为$180°$，n=6（六角星）时角度和为$360°$，均符合推导的公式。
【答案】
$(n-4)×180°$
【知识点】
三角形内角和定理，正多边形内角和，规律探究
【点评】
本题属于几何规律探究类题目，将特殊图形的性质推导到一般情况，考查对基础几何公式的掌握和归纳推理能力，解题时要注意结合图形特征分析角之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共82分)
17.(5分)计算:$(-5)^{3}×[2-(-6)]-300÷5.$
答案：17.解:原式$=-125×8-60=-1000-60=-1060.$
解析：
【分析】
这是有理数混合运算题，解题遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算。首先先计算括号里的2-(-6)，去括号后转化为加法得到结果；再计算乘方$(-5)^3$的结果；接下来分别计算乘法和除法运算，最后计算减法得到最终结果，计算过程中要特别注意符号的处理，避免符号出错。
【解析】
解：先计算乘方和括号内的运算：
$(-5)^3=-125$，$2-(-6)=2+6=8$
代入原式得：
原式$=-125×8 - 300÷5$
再计算乘除运算：
$-125×8=-1000$，$300÷5=60$
最后计算加减运算：
$=-1000-60$
$=-1060$
【答案】
$\boxed{-1060}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，去括号法则
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察有理数混合运算的运算顺序与符号处理能力，计算时需注意负数乘方的符号判断、去括号的符号变化，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
18.(5分)解方程:$4 - x = 3(2 - x)$.
答案：18.解:去括号,得$4-x=6-3x$,
移项、合并同类项,得$2x=2$,
系数化为1,得$x=1.$
解析：
【分析】
这是一道求解一元一次方程的基础题，可按照一元一次方程的标准求解步骤思考：首先利用去括号法则去掉方程右侧的括号，注意括号外的系数要乘括号内的每一项；随后进行移项，将含未知数的项移到方程同侧，常数项移到另一侧，移项要注意变号；接下来合并同类项，将方程化为ax=b（a≠0）的最简形式；最后利用等式的基本性质将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
解：去括号，得$4 - x = 6 - 3x$，
移项、合并同类项，得$2x = 2$，
系数化为1，得$x = 1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程解法的常规基础题型，主要考察一元一次方程的基础求解步骤，解题时要注意去括号不要漏乘括号内的项，移项时要改变符号，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.9
19.(6分)先化简,再求值:$5(3a^{2}b-ab^{2})-4(-ab^{2}+3a^{2}b)$,其中$a=-2,b=3.$
答案：19.解:原式$=15a^2b-5ab^2+4ab^2-12a^2b=3a^2b-ab^2$,
把$a=-2,b=3$代入上式,得原式$=3×(-2)^2×3-(-2)×3^2=54.$
解析：
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步先去括号，去括号时要注意两点，一是括号前的系数要乘遍括号内的每一项，不能漏乘，二是要注意符号变化，括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；第三步将a、b的取值代入最简整式计算结果，比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先去括号展开原式：
原式$=15a^2b-5ab^2+4ab^2-12a^2b$
再合并同类项：
$=(15a^2b-12a^2b)+(-5ab^2+4ab^2)$
$=3a^2b - ab^2$
将$a=-2$，$b=3$代入化简后的式子计算：
原式$=3×(-2)^2×3 - (-2)×3^2$
$=3×4×3 + 2×9$
$=36 + 18$
$=54$
【答案】
54
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的常规基础题型，重点考查运算过程中对符号的把控能力，去括号时注意不要漏乘系数、不要错变符号，是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.8
