1. 下列算式中,运算结果为负数的是 (
A
)
A.$-3^2$
B.$|-3|$
C.$-(-3)$
D.$(-3)^2$
答案:1.A
解析:
【分析】
要判断运算结果为负数的选项,我们可以按照有理数的运算规则,逐一计算每个选项的结果,再根据负数(小于0的数)的定义判断即可。计算时要特别注意乘方运算的优先级,区分$-3^2$和$(-3)^2$的运算顺序差异。
【解析】
我们逐个计算各选项的结果:
A. $-3^2$:先算乘方$3^2=9$,再添加负号,结果为$-9$,是负数;
B. $|-3|$:根据绝对值的性质,负数的绝对值是它的相反数,结果为$3$,是正数;
C. $-(-3)$:根据多重符号化简规则,负负得正,结果为$3$,是正数;
D. $(-3)^2$:表示2个$-3$相乘,即$(-3)×(-3)=9$,是正数。
综上,只有A选项的运算结果为负数。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算,绝对值的性质,多重符号化简
【点评】
本题属于基础运算类题目,核心易错点是混淆带括号和不带括号的负数乘方的运算顺序,解题时需牢记乘方运算优先级高于符号运算,熟练掌握绝对值、多重符号化简的相关性质,就能快速准确作答。
【难度系数】
0.7
2. 1254000000 用科学记数法可表示为 (
D
)
A.$12.54×10^{8}$
B.$0.1254×10^{10}$
C.$1.254×10^{6}$
D.$1.254×10^{9}$
答案:2.D
解析:
【分析】
要解决科学记数法的表示问题,首先要牢记科学记数法的规则:表示形式为$a×10^n$,其中必须满足$1≤|a|<10$,$n$为正整数(原数绝对值大于10时)。解题时第一步先确定a的取值:把原数的小数点移到第一个非零数字的后面,得到的数就是a;第二步确定n的取值:n等于原数的整数位数减1。最后对照选项选出符合要求的答案即可。
【解析】
科学记数法的标准形式为$a×10^n$($1≤|a|<10$,$n$为整数)。
1. 确定a的值:将1254000000的小数点向左移动,直到最高位数字1的后面,得到$a=1.254$,满足$1≤1.254<10$的要求。
2. 确定n的值:原数1254000000的整数位数共有10位,因此$n=10-1=9$。
综上,1254000000用科学记数法表示为$1.254×10^9$。
对选项逐一验证:
选项A:$12.54>10$,不符合a的取值要求,错误;
选项B:$0.1254<1$,不符合a的取值要求,错误;
选项C:$n=6$,计算错误,错误;
选项D:符合科学记数法的表示要求,正确。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法的表示
【点评】
本题是科学记数法的常规考查题,重点对科学记数法中a的取值范围、n的计算方法两个核心考点进行检验,只要掌握科学记数法的基本规则就能快速解答,是考试中的常见基础题。
【难度系数】
0.9
3. 单项式$-3a^{4}b$的系数、次数分别是 (
C
)
A.$-3,4$
B.$3,4$
C.$-3,5$
D.$3,5$
答案:3.C
解析:
【分析】
解决本题需要先明确单项式系数和次数的核心定义,按照两步思路推导:第一步先确定单项式的系数,系数是单项式中的数字因数,注意要包含数字前的符号,据此先排除不符合系数要求的选项;第二步计算单项式的次数,次数是所有字母的指数之和,注意单个字母未标注指数时默认指数为1,不要漏算,最终匹配正确选项即可。
【解析】
1. 求单项式的系数:根据定义,单项式中的数字因数叫做单项式的系数,$-3a^4b$的数字因数是$-3$,因此系数为$-3$,可排除系数为3的B、D选项。
2. 求单项式的次数:根据定义,单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数,本题中$a$的指数是4,$b$的指数默认是1,因此次数为$4+1=5$。
综上,该单项式的系数是$-3$,次数是5,对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式的系数;单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题,解题关键是准确记忆单项式系数和次数的定义,做题时注意不要遗漏指数为1的字母,确定系数时也不要忽略数字前面的负号。
【难度系数】
0.9
4.如图,我们利用直尺和三角尺画平行线或者验证两条直线是否平行,这样做的依据是 (
B
)

A.内错角相等,两直线平行
B.同位角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.两直线平行,同位角相等
答案:4.B
解析:
【分析】首先明确题目考查平行线判定的依据,第一步先区分平行线的“判定”和“性质”:判定是由角的关系推导两直线平行,性质是由两直线平行推导角的关系,选项D属于性质,可先排除。第二步分析画图操作的原理:平移三角尺的过程中,三角尺与直尺、已知直线a形成的两个角大小始终相等,这两个角的位置符合同位角的特征,结合平行线判定定理就能得出答案。
【解析】使用直尺和三角尺画平行线时,将三角尺沿直尺平移,平移过程中三角尺与直尺、直线a所夹的两个角是同位角,且这两个角大小相等。根据“同位角相等,两直线平行”的判定定理,即可画出与直线a平行的直线。其中选项D是平行线的性质,不是画图的判定依据,首先排除;该操作过程没有用到内错角、同旁内角的相关判定,排除A、C。综上本题选B。
【答案】B
【知识点】平行线的判定;同位角的识别
【点评】本题结合常见的画图操作考查平行线的判定定理,解题时要注意区分平行线的判定和性质,同时准确识别同位角、内错角、同旁内角即可快速解题。
【难度系数】0.9
5. 下列等式的变形正确的是 (
D
)
A.若$-2x=1$,则$x=-2$
B.若$3x=2x+5$,则$3x+2x=5$
C.若$x+\dfrac{x-2}{3}=1$,则$x+(x-2)=3$
D.若$-2x+1=x-3$,则$2x+x=1+3$
答案:5.D
解析:
【分析】
本题考查等式基本性质的应用,解题核心是依据等式的两个基本性质逐一验证各选项的变形是否正确。首先明确等式性质:1. 等式两边同时加或减同一个整式,等式仍然成立;2. 等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式,等式仍然成立。接下来逐个核对选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项:
A选项:若$-2x=1$,根据等式性质2,两边同时除以$-2$,得$x=-\frac{1}{2}$,变形错误,不符合要求。
B选项:若$3x=2x+5$,根据等式性质1,两边同时减$2x$,得$3x-2x=5$,选项中是加$2x$,变形错误,不符合要求。
C选项:若$x+\dfrac{x-2}{3}=1$,根据等式性质2,两边同时乘3,得$3x+(x-2)=3$,选项中漏乘了不含分母的$x$项,变形错误,不符合要求。
D选项:若$-2x+1=x-3$,根据等式性质1,移项时要变号,将$-2x$移到右侧变为$+2x$,将$-3$移到左侧变为$+3$,可得$1+3=2x+x$,即$2x+x=1+3$,变形正确,符合要求。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质、移项法则、去分母法则
【点评】
本题是基础类题型,是解一元一次方程的核心基础,解题时需要注意移项要变号,去分母时不要漏乘不含分母的项,避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
6. 如图,C是线段AB的中点,AC=8,点D在线段CB上,且DB=3,则线段CD的长为(
C
)

A.7
B.6
C.5
D.4
答案:6.C
解析:
【分析】
解题首先回忆线段中点的性质:线段中点将线段分成两条长度相等的线段。已知C是AB中点且AC=8,可先求出BC的长度;再观察线段CB的组成,CB被点D分为CD和DB两段,因此CD的长度等于BC的长度减去DB的长度,代入已知数值计算即可。
【解析】
解:
∵C是线段AB的中点,AC=8
∴BC = AC = 8
∵点D在线段CB上,DB=3
∴CD = BC - DB = 8 - 3 = 5
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义;线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题,核心是利用线段中点性质得到相等线段,再结合线段间的和差关系求解,解题时注意梳理清楚各线段的位置关系即可。
【难度系数】
0.85
7. 一个正方体的表面展开图如图所示,将其折叠成正方体时,与点A重合的是 (
B
)

A.点B
B.点C
C.点D
D.点E
答案:7.B
解析:
【分析】
要判断折叠后与点A重合的点,我们可以通过模拟正方体展开图的折叠过程来推导:首先明确该展开图属于“二三一”型正方体展开图,我们可以先确定中间行的面为正方体的前后左右四个侧面,再依次折叠上下部分的面,观察顶点的重合情况,也可以直接动手在草稿纸上画出展开图剪下来折叠,直观得到结果。
【解析】
我们模拟折叠过程推导:
1. 先将第二行的3个正方形作为正方体的中间侧面,将第三行含B、C的正方形向上折叠,使其成为正方体的底面;
2. 再将第一行的两个正方形向后折叠,使其成为正方体的上侧面;
3. 最后将第二行最右侧含E、D的正方形向里折叠,此时可观察到点A与点C完全重合。
因此与点A重合的是点C,对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正方体表面展开图;展开图折叠还原
【点评】
本题主要考查空间想象能力,解决这类正方体展开图折叠的问题时,既可以通过想象折叠过程推导,也可以通过动手操作验证结论,熟悉常见的正方体展开图类型可提升解题速度。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在长方形 $ABCD$ 中,$AB=6$,$BC=14$,动点 $P$ 从点 $A$ 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿 $A-B-C$ 向终点 $C$ 运动,动点 $Q$ 从点 $C$ 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 $CB$ 向终点 $B$ 运动.若点 $P,Q$ 同时出发,当一个动点到达终点时,另一个动点也同时停止运动.设两点运动的时间为 $t$ 秒,当 $PB=2CQ$ 时,$t$ 的值为 $\quad (\quad)$

A.$\dfrac{6}{5}$或$\dfrac{8}{5}$
B.$\dfrac{6}{5}$或$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{6}{5}$或$\dfrac{22}{5}$
D.$\dfrac{6}{5}$或$6$
答案:8.D
解析:
【分析】
本题属于双动点的线段等量关系问题,解题时首先要根据动点P的运动路径分情况讨论:①P在AB边上运动时,②P在BC边上运动时;分别用含t的代数式表示出两种情况下PB的长度,再结合CQ=t以及PB=2CQ的等量关系列一元一次方程求解,最后验证所求t是否符合对应阶段的时间取值范围,舍去不符合的解。
【解析】
解:分两种情况讨论:
① 当 $0 \le t \le 2$ 时,点P在AB边上运动:
此时 $AP=3t$,则 $PB = AB - AP = 6 - 3t$,
由题意得 $CQ = t$,结合 $PB=2CQ$ 列方程:
$6 - 3t = 2t$
解得 $t=\frac{6}{5}$,$\frac{6}{5}$ 在 $0 \le t \le 2$ 范围内,符合题意。
② 当 $2 < t \le \frac{20}{3}$ 时(P走完全程总时间为 $\frac{6+14}{3}=\frac{20}{3}$ 秒,Q走完全程需14秒,故总运动时间最大为 $\frac{20}{3}$ 秒),点P在BC边上运动:
P在AB段用时2秒,故在BC段运动时间为 $(t-2)$ 秒,此时 $PB=3(t-2)$,
结合 $PB=2CQ$ 列方程:
$3(t-2) = 2t$
展开得 $3t - 6 = 2t$,解得 $t=6$,6在 $2 < t \le \frac{20}{3}$ 范围内,符合题意。
综上,t的值为 $\frac{6}{5}$ 或6。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用;动点问题;分类讨论
【点评】
解决动点类问题的关键是明确动点的运动阶段,对不同阶段的线段长度正确列式,结合等量关系列方程后一定要验证解是否符合对应阶段的时间范围,避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共24分)
9. 用代数式表示:比$ x $与2的积小3的数为________.
答案:9.2x-3
解析:
【分析】
解题时先拆分题目中的数量关系:第一步先计算x与2的积,第二步再求比这个积小3的数,按照“先乘后减”的运算顺序列出代数式即可。
【解析】
首先计算x与2的积:$x × 2 = 2x$;
再求比2x小3的数,就是用2x减去3,可得代数式为$2x - 3$。
【答案】
$2x-3$
【知识点】
列代数式;代数式书写规范
【点评】
本题属于基础题型,重点考查将文字描述的数量关系转化为代数式的能力,明确运算的先后顺序是解题的关键。
【难度系数】
0.9
10.已知A,B是数轴上的两个点,若点A表示的数为-3,点B表示的数为5,则AB的中点C表示的数是________.
答案:10.1
解析:
【分析】
要计算数轴上A、B两点的中点C表示的数,有两种清晰的解题思路:第一种是先算出A、B两点之间的距离,再求出距离的一半,从点A向右移动半个距离的长度就能得到中点对应的数;第二种是直接利用数轴中点的计算规律:数轴上任意两点的中点所表示的数,等于这两个点所表示的数的和除以2,代入已知数值计算即可。
【解析】
方法一:先计算AB的长度,因为点B在点A右侧,所以AB长度为点B表示的数减去点A表示的数:
$5 - (-3) = 8$
中点到A点的距离为AB长度的一半:$8÷2=4$
因此中点C表示的数为点A的数加4:$-3 + 4 = 1$
方法二:根据数轴中点计算规律,中点表示的数等于两点所表示数的平均数:
$\frac{-3 + 5}{2}=\frac{2}{2}=1$
【答案】
1
【知识点】
数轴的应用、有理数运算、中点计算
【点评】
本题属于基础题型,解题方法灵活,既可以通过计算距离逐步推导,也可以直接用中点计算规律求解,掌握数轴相关基础性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
11.如果一个角的补角是$120°$,那么这个角的余角是
30°
.
答案:11.30°
解析:
【分析】
解题时首先要明确补角、余角的定义:如果两个角的和是180°,那么这两个角互为补角;如果两个角的和是90°,那么这两个角互为余角。我们可以先根据补角的度数求出这个角本身的度数,再根据余角的定义计算出这个角的余角度数。
【解析】
解:设这个角的度数为$x$。
根据补角的定义,互为补角的两个角和为180°,可得:
$x + 120° = 180°$
解得:$x = 180° - 120° = 60°$
再根据余角的定义,互为余角的两个角和为90°,可得这个角的余角为:
$90° - 60° = 30°$
【答案】
30°
【知识点】
补角的定义,余角的定义
【点评】
本题考查余角和补角的概念应用,属于基础题型,只要熟练掌握余角、补角的定义就能正确解题。
【难度系数】
0.9