【分析】
这组题目都是含分母的一元一次方程，解题遵循统一的步骤：1.去分母：方程两边同时乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的整数项；2.去括号：按照去括号法则计算，括号前是负号时括号内各项要变号；3.移项：把含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项要变号；4.合并同类项：将同类项合并化简；5.系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数得到解。计算过程中重点注意符号运算，避免粗心出错。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x+1}{3}+2=x$
去分母（两边同乘3）：$x+1+6=3x$
移项：$x-3x=-1-6$
合并同类项：$-2x=-7$
系数化为1：$x=\frac{7}{2}$
(2) 解方程$\frac{x-6}{12}-\frac{x}{3}=-2$
去分母（两边同乘12）：$x-6-4x=-24$
移项：$x-4x=-24+6$
合并同类项：$-3x=-18$
系数化为1：$x=6$
(3) 解方程$\frac{x+1}{2}-1=\frac{1-x}{3}$
去分母（两边同乘6）：$3(x+1)-6=2(1-x)$
去括号：$3x+3-6=2-2x$
移项：$3x+2x=2-3+6$
合并同类项：$5x=5$
系数化为1：$x=1$
(4) 解方程$\frac{y+2}{4}-1=\frac{2y-1}{6}$
去分母（两边同乘12）：$3(y+2)-12=2(2y-1)$
去括号：$3y+6-12=4y-2$
移项：$3y-4y=-2-6+12$
合并同类项：$-y=4$
系数化为1：$y=-4$
(5) 解方程$\frac{x+7}{4}-\frac{x-1}{3}=x+1$
去分母（两边同乘12）：$3(x+7)-4(x-1)=12(x+1)$
去括号：$3x+21-4x+4=12x+12$
移项：$3x-4x-12x=12-21-4$
合并同类项：$-13x=-13$
系数化为1：$x=1$
(6) 解方程$\frac{2x+1}{3}-\frac{5x-1}{6}=1$
去分母（两边同乘6）：$2(2x+1)-(5x-1)=6$
去括号：$4x+2-5x+1=6$
移项：$4x-5x=6-2-1$
合并同类项：$-x=3$
系数化为1：$x=-3$
(7) 解方程$3-\frac{2x-1}{3}=\frac{4-3x}{5}-x$
去分母（两边同乘15）：$45-5(2x-1)=3(4-3x)-15x$
去括号：$45-10x+5=12-9x-15x$
移项：$-10x+9x+15x=12-45-5$
合并同类项：$14x=-38$
系数化为1：$x=-\frac{19}{7}$
(8) 解方程$\frac{x}{2}-\frac{5x+8}{6}=1+\frac{2x-4}{3}$
去分母（两边同乘6）：$3x-(5x+8)=6+2(2x-4)$
去括号：$3x-5x-8=6+4x-8$
移项：$3x-5x-4x=6-8+8$
合并同类项：$-6x=6$
系数化为1：$x=-1$
【答案】
(1)$x=\frac{7}{2}$
(2)$x=6$
(3)$x=1$
(4)$y=-4$
(5)$x=1$
(6)$x=-3$
(7)$x=-\frac{19}{7}$
(8)$x=-1$
【知识点】
一元一次方程解法、去分母法则、等式的性质
【点评】
本组题目是一元一次方程求解的基础训练，重点考查去分母的操作规范，解题时需注意不要漏乘不含分母的项，去括号、移项时留意符号变化，熟练掌握各步骤运算规则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8