11.如图，$∠α＞∠β$，则$∠β$与$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$的关系为
互余
。
答案：11. 互余 [解析]由题意,得∠α+∠β=180°,所以∠β+$\frac{1}{2}(∠α-∠β)=\frac{1}{2}(∠α+∠β)=\frac{1}{2}×180°=90°$,即∠β与$\frac{1}{2}(∠α-∠β)$互余.
12.如图,观察图形.
(1)说明$∠ AOC$和$∠ BOD$之间的关系,说明$∠ AOE$和$∠ BOC$之间的关系;
(2)指出其中的锐角、直角、钝角和平角.
答案：12. (1)因为∠AOC=90°+∠BOC,∠BOD=90°+∠BOC,所以∠AOC=∠BOD.
因为∠AOE=90°−∠BOE,∠BOC=90°−∠BOE,所以∠AOE=∠BOC.
(2)锐角:∠BOC,∠BOE,∠AOE;
直角:∠COD,∠COE,∠AOB;
钝角:∠BOD,∠AOC,∠AOD;
平角:∠DOE.
13. 分类讨论思想（2026·河北石家庄期中）如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
（第13题） 备用图
(1)$∠ ACE$
=
$∠ BCD$（填“＞”“＜”或“=”）；
(2)当$∠ DCE=15°$时，求$∠ ACB$的度数；
(3)猜想$∠ ACB$与$∠ DCE$的数量关系，并说明理由.
答案：13. (1)= [解析]因为∠ACD=∠BCE=90°,
所以∠ACD−∠DCE=∠BCE−∠DCE,
即∠ACE=∠BCD.
(2)因为∠BCE=90°,∠DCE=15°,
所以∠BCD=∠BCE−∠DCE=90°−15°=75°.
因为∠ACD=90°,
所以∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+75°=165°.
(3)∠ACB+∠DCE=180°.理由如下：
因为∠ACD+∠BCE=90°+90°=180°,
所以∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE=180°,
即∠ACB+∠DCE=180°.
14. 分类讨论思想 教材P165 “活动”·变式 [数学之美]
三角尺中的数学.
(1)如图(1),将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起,∠ACD=∠ECB=90°.若∠ECD=35°,则∠ACB=
145°
;若∠ACB=140°,则∠ECD=
40°
;请直接写出∠ACB与∠ECD的数量关系
∠ACB+∠ECD=180°
;
(2)如图(2),若两个同样的直角三角尺顶点重合如图放置,∠DAC=∠GAF=60°,请猜想∠GAC与∠DAF的数量关系并说明理由;
(3)如图(3),已知点O为直线AB上一点,OC在直线AB上方,∠AOC=60°,三角尺(其中∠MON=90°)绕点O旋转一周的过程中,写出∠COM与∠AON可能存在的数量关系,并说明理由.
答案：14. (1)145° 40° ∠ACB+∠ECD=180° [解析]因为∠ACB = ∠ACD + ∠BCE − ∠ECD, ∠ACD = ∠ECB=90°,
所以当∠ECD=35°时,∠ACB=90°+90°−35°=145°;
当∠ACB = 140°时,∠ECD = ∠ACD + ∠BCE − ∠ACB=90°+90°−140°=40°;
∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE=180°.
(2)∠GAC+∠DAF=120°.理由如下：
因为∠GAC = ∠GAF + ∠DAC − ∠DAF, ∠DAC = ∠GAF = 60°, 所以 ∠GAC + ∠DAF = ∠GAF + ∠DAC=120°.
(3)∠COM+∠AON=150°或∠AON−∠COM=150°或∠AON+∠COM=210°或∠COM−∠AON=150°,理由如下：
设ON沿OA绕点O顺时针旋转的度数为x,∠AOC=60°,∠MON=90°,
情况1:OM在直线AB下方,ON在∠AOC内部或点N在直线AB上,
此时0≤x＜60°,
所以∠AON=x,∠COM=90°+(60°−x)=150°−x,
所以∠COM+∠AON=150°;
情况2:OM在直线AB下方,ON在直线AB上方且不在∠AOC内部,
此时60°≤x＜90°,
所以∠AON=x,∠COM=90°−(x−60°)=150°−x,
所以∠COM+∠AON=150°;
情况3:OM,ON均在直线AB上方或点M在直线AB上,OM在OC左侧,ON在OC右侧,
此时90°≤x＜150°,
所以∠AON=x,∠COM=60°−(x−90°)=150°−x,
所以∠COM+∠AON=150°;
情况4:OM,ON均在直线AB上方且均在OC右侧或点M在OC上,
此时150°≤x＜180°,
所以∠AON=x,∠COM=(x−90°)−60°=x−150°,
所以∠AON−∠COM=150°;
情况5:OM在AB上方,ON在AB下方或点N在直线AB上,
此时180°≤x＜270°,
所以∠AON = 360°−x,∠COM = x − 90° − 60° = x −150°,
所以∠AON+∠COM=210°;
情况6:OM,ON均在AB下方或点M在直线AB上,OM在OC的反向延长线左侧,
此时270°≤x＜330°,
所以∠AON = 360°−x,∠COM = x − 90° − 60° = x −150°,
所以∠COM+∠AON=210°;
情况7:OM,ON均在AB下方,OM不在OC的反向延长线左侧,
此时330°≤x＜360°,
所以∠AON=360°−x,∠COM=90°+60°+∠AON,
所以∠COM−∠AON=150°.
综上,∠COM+∠AON=150°或∠AON−∠COM=150°或∠AON+∠COM=210°或∠COM−∠AON=150°.
