1.（2025·北京怀柔区期末）如图是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A，B，C，D，E，F六座海轮，其中海轮F到灯塔的距离为10 km，海轮F在灯塔和海轮D的中点处。且$∠ AOD=42°30'$，$∠ DOE=∠ AOC=78.5°$。则下列说法正确的是（
C
）。
①若海轮F的速度为30 km/h，则海轮F抵达灯塔需要20 min；②$∠ EOC=43°$；③$∠ BOE=59°$；④海轮C在灯塔的北偏东$11°30'$的方向上。
A.①④
B.①②
C.①③④
D.①②③④
答案：①若海轮F的速度为 30 km/h,则海轮F抵达灯塔需要 $10÷30=\frac{1}{3}(h)=20(min)$,故①正确;②因为$∠DOE=∠AOC$,所以$∠DOE - ∠COD = ∠AOC - ∠COD$,所以$∠EOC=∠AOD=42°30'$,故②错误;③$∠BOE = 180° - ∠AOD - ∠DOE = 180°-42°30'-78.5°=59°$,故③正确;④因为$90°-∠AOC=11°30'$,所以海轮C在灯塔的北偏东$11°30'$的方向上,故④正确.故选C.
2. (2026·上海长宁区期末)定义:从$∠α(90°＜∠α＜180°)$的顶点出发在角的内部作一条射线,如果该射线将$∠α$分成的两个角中有一个角与$∠α$互为补角,那么称该射线为$∠α$的“好线”.如图,点O在直线AB上,OC,OD在直线AB上方,且$∠ COD=90°$,射线OE是$∠ AOD$的“好线”,且OE在$∠ COD$内部.
(1)如果$∠ BOD=20°$,求$∠ COE$的度数;
(2)如果OF是$∠ AOE$的平分线,OG是$∠ BOC$的平分线,那么$∠ EOF$与$∠ DOG$的数量关系为
$∠EOF=2∠DOG$
.
答案：(1)因为点O在直线AB上,$∠BOD=20°$,
所以$∠AOD=180°-∠BOD=160°$,
所以$∠AOC=∠AOD-∠COD=160°-90°=70°$.
由题意可得$∠AOD$被OE分成的两个角中有一个与$160°$互为补角.
因为$180°-160°=20°$,且OE在$∠COD$内部,
所以$∠EOD=20°$,
所以$∠COE=∠COD-∠EOD=90°-20°=70°$.
(2)$∠EOF=2∠DOG$ [解析]设$∠BOD=x$,则$∠AOD=180°-x$.
由“好线”的定义,可得$∠AOD$的补角为x,且OE在$∠COD$内部,所以$∠EOD=x$,
所以$∠AOE=∠AOD-∠EOD=180°-2x$.
因为OF平分$∠AOE$,所以$∠EOF=\frac{1}{2}∠AOE=90°-x$.
因为$∠BOC=∠COD+∠BOD=90°+x$,OG 平分$∠BOC$,所以$∠BOG=\frac{1}{2}∠BOC=45°+\frac{x}{2}$,
所以$∠DOG=∠BOG-∠BOD=45°-\frac{x}{2}$.
因此$∠EOF=2∠DOG$.
关键提醒 本题结合补角、角平分线的定义、角的和差运算,综合考查几何图形中角度计算问题,以及代数设元推导角的数量关系,正确进行计算是解题关键.
3. (2025·陕西西安高陵区期末)[问题背景]已知OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线.
[初步探究](1)如图(1)，已知∠AOB=30°，OM是∠AOB的平分线.
①∠AOM=
$15°$
；
②若∠MON=70°,ON是∠BOC的平分线,求∠BOC的度数.
[拓展提升](2)如图(2)，若∠AOC=140°,∠AOB=4∠AOM=4∠CON,且∠BON=$\frac{2}{3}$∠BOM,求∠MON的度数.
答案：(1)①$15°$ [解析]因为$∠AOB=30°$,OM是$∠AOB$的平分线,所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB=15°$.
②因为$∠AOB=30°$,OM是$∠AOB$的平分线,
所以$∠BOM=∠AOM=15°$.
因为$∠MON=70°$,所以$∠BON=∠MON-∠BOM=55°$.
因为ON是$∠BOC$的平分线,所以$∠BOC=2∠BON=110°$.
(2)设$∠AOM=∠CON=α$,则$∠AOB=4α$.
因为$∠BOM=∠AOB-∠AOM$,所以$∠BOM=4α-α=3α$.
因为$∠BON=\frac{2}{3}∠BOM$,所以$∠BON=2α$.
因为$∠AOC=∠AOB+∠BON+∠CON=140°$,
所以$4α+2α+α=140°$,所以$α=20°$.
因为$∠MON=∠BOM+∠BON$,
所以$∠MON=3α+2α=5α=100°$.
4.(2026·山东日照月考)将一副含$30°$角和$45°$角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若CM平分$∠ ACD$，CN平分$∠ BCE$，则$∠ MCN$的度数是(
C
).
A.$15°$
B.$22.5°$
C.$30°$
D.$45°$
答案：4.C [解析]设$∠ACM=α$.
因为CM平分$∠ACD$,所以$∠ACD=2α$.
因为$∠ECD=90°$,$∠BCA=30°$,所以$∠BCE=∠ECD+∠ACD+∠BCA=90°+2α+30°=120°+2α$.
因为CN平分$∠BCE$,
所以$∠BCN=\frac{1}{2}∠BCE=\frac{1}{2}(120°+2α)=60°+α$,
所以$∠MCN=∠BCN-∠ACM-∠BCA=60°+α-α-30°=30°$.故选C.
关键提醒 本题主要考查了角平分线的定义的运用,解决问题的关键是利用角的和差关系进行推算.
