5.（2025·四川绵阳梓潼期末）如图，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.
(1)如图(1),若点A,O,B在一条直线上,则∠EOF=
$90°$
.
(2)如图(2),若点A,O,B不在一条直线上,∠AOB=140°,则∠EOF=
$70°$
.
(3)由以上两个问题发现:当OA在∠BOC的外部时,∠EOF与∠AOB有何数量关系?写出来并说明理由.
(4)如图(3),若OA在∠BOC的内部,∠AOB和∠EOF还存在上述的数量关系吗?请说明理由.
大招3 折叠问题
答案：(1)$90°$ [解析]因为OE平分$∠AOC$,OF平分$∠BOC$,
所以$∠COF=\frac{1}{2}∠COB$,$∠COE=\frac{1}{2}∠AOC$.
又$∠AOB=180°$,所以$∠EOF=\frac{1}{2}∠COB + \frac{1}{2}∠AOC =\frac{1}{2}(∠BOC+∠AOC)=\frac{1}{2}∠AOB=90°$.
(2)$70°$ [解析]因为OE平分$∠AOC$,OF平分$∠BOC$,
所以$∠COF=\frac{1}{2}∠COB$,$∠COE=\frac{1}{2}∠AOC$.
又$∠AOB=140°$,所以$∠EOF=\frac{1}{2}∠COB + \frac{1}{2}∠AOC =\frac{1}{2}(∠BOC+∠AOC)=\frac{1}{2}∠AOB=70°$.
(3)$∠EOF=\frac{1}{2}∠AOB$.理由如下：
因为OE平分$∠AOC$,OF平分$∠BOC$,
所以$∠COF=\frac{1}{2}∠COB$,$∠COE=\frac{1}{2}∠AOC$,
所以$∠EOF=∠COF+∠COE=\frac{1}{2}∠COB + \frac{1}{2}∠AOC =\frac{1}{2}(∠COB+∠AOC)=\frac{1}{2}∠AOB$.
(4)存在,理由如下：
因为OF平分$∠BOC$,OE平分$∠AOC$,
所以$∠COF=\frac{1}{2}∠COB$,$∠COE=\frac{1}{2}∠AOC$,
所以$∠EOF = \frac{1}{2} ∠COB - \frac{1}{2} ∠AOC = \frac{1}{2} (∠BOC - ∠AOC)=\frac{1}{2}∠AOB$.
关键提醒 本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义,解决问题的关键是依据角的和差关系进行计算.
6. (2025·贵州遵义绥阳期末)如图,长方形ABCD沿直线EF,EG折叠后,点A和点D分别落在直线l上的点$A'$和点$D'$处,若$∠2=60°$,则$∠1$的度数为(
A
).
A.$30°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
答案：6.A [解析]由折叠知:$∠D'EG=∠2=60°$,$∠AEF=∠1$.
又$∠D'EG+∠2+∠AEF+∠1=180°$,
所以$∠1=\frac{1}{2}(180°-∠D'EG-∠2)=\frac{1}{2}×(180°-60°-60°)=30°$.故选A.
7. (2026·吉林期末)活动探究:利用折纸可以作出角平分线.
(1) 如图(1),若∠AOB=58°,则∠BOC=
29
°.
(2) 折叠长方形纸片,OC,OD均是折痕,点A落在点A',点B落在点B',连接OA'.
① 如图(2),当点B'在OA'上时,请你判断∠AOC与∠BOD的数量关系,并计算说明理由.
② 如图(3),当点B'在∠COA'的内部时,连接OB',若∠AOC=46°,∠BOD=59°,直接写出∠A'OB'的度数是
30
°.
答案：(1)29 [解析]由折叠的性质可得$∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=29°$.
(2)①$∠AOC+∠BOD=90°$.理由如下：
由折叠的性质可知,$∠BOD=∠B'OD=\frac{1}{2}∠BOB'$,
$∠AOC=∠A'OC=\frac{1}{2}∠AOA'$.
因为$∠AOA'+∠BOB'=180°$,
所以$∠AOC+∠BOD=\frac{1}{2}(∠AOA'+∠BOB')=90°$.
②30 [解析]由折叠的性质可知,$∠BOB'=2∠BOD$,$∠AOA'=2∠AOC$.
因为$∠AOC=46°$,$∠BOD=59°$,
所以$∠BOB' = 2∠BOD = 2 × 59° = 118°$,$∠AOA' = 2∠AOC=2×46°=92°$,
所以$∠A'OB' = ∠AOA' + ∠BOB' - 180°=92°+118°-180°=30°$,即$∠A'OB'$的度数为$30°$.
