12. 新考法 证明一般结论 如果 $x^n = y$，那么我们规定 $(x,y)=n$。例如：因为 $3^2=9$，所以 $(3,9)=2$。
(1)根据上述规定，填空：$(2,8)=$
3
，$(3,81)=$
4
；
(2)记 $(4,4)=a$，$(4,16)=b$，$(4,64)=c$。试说明：$a+b=c$。
答案：12.(1)3 4 [解析]因为$2^3=8$,$3^4=81$,所以$(2,8)=3$,$(3,81)=4.$
(2)因为$(4,4)=a$,$(4,16)=b$,$(4,64)=c$,
所以$4^a=4$,$4^b=16$,$4^c=64$,
所以$a=1$,$b=2$,$c=3$,
所以$a+b=c.$
13. (2026·山东临淄区期中)[个例探索]请同学们思考后，回答下列问题：
(1)填空：①$2^2 × 3^2 =$
36
，$(2 × 3)^2 =$
36
；
②$(-\dfrac{1}{2})^3 × 2^3 =$
-1
，$(-\dfrac{1}{2} × 2)^3 =$
-1
；
[归纳猜想]根据第(1)问的计算结果，猜想乘方的定义，完成下题。
(2)$a^m × b^m =$
$(ab)^m$
(其中$m$为正整数)；
[迁移应用]根据归纳形成的结论，完成计算。
(3)计算：$(1.5)^{2025} × (-\dfrac{2}{3})^{2026}$。
答案：13.(1)①36 36 [解析]$2^2×3^2=4×9=36$,$(2×3)^2=6^2=36.$
②$-1$ $-1$ [解析]$(-\frac{1}{2})^3×2^3=-\frac{1}{8}×8=-1$,$(-\frac{1}{2}×2)^3=(-1)^3=-1.$
(2)$(ab)^m$
(3)原式$=[\frac{3}{2}×(-\frac{2}{3})]^{2025}×(-\frac{2}{3})$
$=(-1)×(-\frac{2}{3})=\frac{2}{3}.$
14.已知小东的身高为1.62 m，一张纸的厚度约为0.09 mm.
(1)请通过计算说明小东的身高是纸的厚度的多少倍.
(2)若将这张纸连续对折5次，这时它的厚度是多少？
(3)假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超过小东的身高？
(提示：$2^{13}=8192,2^{14}=16384,2^{15}=32768,2^{16}=65536)$
答案：14.(1)因为$1.62\ \mathrm{m}=1\ 620\ \mathrm{mm}$,
所以小东的身高是纸的厚度的$1\ 620÷0.09=18\ 000$倍.
(2)连续对折五次,纸张的厚度是$0.09×2^5=2.88(\mathrm{mm}).$
(3)因为$2^{14}=16\ 384＜18\ 000$,$2^{15}=32\ 768＞18\ 000$,
所以至少对折15次后,所得的厚度可以超过小东的身高.
15. 新考法 新定义问题（2024·甘肃中考）定义一种新运算 *，规定运算法则为：$m * n = m^n - mn$（m，n均为整数，且$m≠0$）。例：$2 * 3 = 2^3 - 2×3 = 2$，则$(-2) * 2 =$
8
。
答案：15.8 [解析]因为$m*n=m^n-mn$,
所以$(-2)*2=(-2)^2-(-2)×2=4+4=8.$
