例2(2025·韶关模拟)在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图。拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题。
(1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
(2)长方体共有
条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成(1)中修正后的平面图形，需要剪开
条棱；
(3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积。
解析 (1)(2)由平面图形的折叠及长方体的展开图解题；(3)按平面折叠成几何体后求得体积。
答案 (1)如图，有多余块。
(2)12 7
(3)底面正方形边长：$12÷4=3(\mathrm{cm})$，
长方体高：$17-3×3=8(\mathrm{cm})$，
长方体体积为$3×3×8=72(\mathrm{cm}^3)$。
故修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为$72\mathrm{cm}^3$。
点拨 本题考查几何体的展开图以及剪一个几何体，掌握长方体平面展开图的特征是正确解答的关键。
答案：解：
(1) 拼图存在问题，有1个多余块，将原图最下方两个相邻的小正方形中最底部的正方形涂黑，修正后的图形如题干给出的涂黑示意图所示。
(2) $\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{7}$
(3) 底面正方形边长：$12÷4=3(\mathrm{cm})$
长方体的高：$17-3×3=8(\mathrm{cm})$
长方体体积：$3×3×8=72(\mathrm{cm}^3)$
答：修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为$72\mathrm{cm}^3$。
解析：
【分析】
（1）解题时先回忆长方体展开图的基本特征：长方体共有6个面，展开后为4个侧面加2个底面，共6个平面图形，相对的面完全相同。先数所拼图形的面数，判断是否多余或缺少，本题存在1个多余的面，将其涂黑即可。
（2）第二问属于基础概念应用：首先牢记长方体总棱数是固定值；要计算剪开的棱数，可思考：将长方体展开为平面图形时，相连的面之间有未剪开的公共棱，6个面连成一个平面图形需要5条公共棱，用总棱数减去未剪开的棱数就得到需要剪开的棱数。
（3）第三问求体积，首先要从展开图的标注尺寸中找到对应长方体的长、宽、高：标注12cm的部分是4个底面正方形的边长总和，先算出底面正方形边长；再根据17cm的长度组成算出长方体的高，最后用长方体体积公式计算即可。
【解析】
（1）长方体展开图共有6个面，观察所拼图形可知存在多余块，共多余1个小正方形，将原图最下方两个相邻小正方形中最底部的正方形涂黑，修正后即可符合长方体展开图特征。
（2）长方体共有12条棱；将长方体展开为平面图形时，6个面需要有5条棱相连（未剪开），因此需要剪开的棱数为总棱数减去未剪开的棱数：$12-5=7$（条）。
（3）第一步求底面正方形的边长：展开图中长为12cm的线段对应4条底面正方形的边长，因此边长为$12÷4=3(\mathrm{cm})$；
第二步求长方体的高：展开图中长为17cm的线段对应3条底面边长加1条高的长度，因此高为$17-3×3=8(\mathrm{cm})$；
第三步计算体积：长方体体积=长×宽×高，底面是正方形，长和宽均为3cm，因此体积为$3×3×8=72(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1) 拼图存在问题，有1个多余块，将原图最下方两个相邻的小正方形中最底部的正方形涂黑即可；
(2) $\boldsymbol{12}$；$\boldsymbol{7}$
(3) 修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积为$72\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
长方体展开图特征；长方体棱的性质；长方体体积计算
【点评】
本题围绕长方体展开图设置问题，既考察了对长方体基础性质的记忆，也需要具备一定的空间想象能力判断展开图的合理性，同时能结合展开图的尺寸对应几何体的长宽高进行计算，是几何入门阶段的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2.（2026·山东淄博临淄区期中）如图，小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到甲、乙两个立体图形。
(1)小红得到的立体图形可以看成是由
圆柱
和
圆锥
构成的，这个现象用数学知识解释为
面动成体
。
(2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由。
答案：(1)圆柱 圆锥 面动成体
(2)小红的说法正确.理由如下：
甲的体积:$π×3^2×6-\frac{1}{3}π×3^2×(6-3)=54π-9π=45π(\mathrm{cm}^3)$；
乙的体积:$π×3^2×3+\frac{1}{3}π×3^2×(6-3)=27π+9π=36π(\mathrm{cm}^3).$所以小红的说法正确.
解析：
【分析】
(1) 观察以直角梯形下底为轴旋转的过程：梯形的长方形部分绕轴旋转形成圆柱，上方的直角三角形部分绕轴旋转形成圆锥，平面图形旋转得到立体图形，对应“面动成体”的几何原理。
(2) 要判断两人说法是否正确，需分别计算甲、乙两个旋转体的体积再比较。首先分析旋转体组成：甲以上底为轴旋转，整体是底面半径3cm、高6cm的圆柱，上方凹进去一个底面半径3cm、高3cm的圆锥，因此甲的体积=大圆柱体积-凹进去的圆锥体积；乙以下底为轴旋转，由底面半径3cm、高3cm的圆柱和底面半径3cm、高3cm的圆锥组成，因此乙的体积=圆柱体积+圆锥体积。分别代入圆柱、圆锥体积公式计算后比较即可。
【解析】
(1) 直角梯形以下底为轴旋转时，长方形旋转得到圆柱，直角三角形旋转得到圆锥，平面图形运动形成立体图形，对应面动成体的原理。
(2) 计算两个立体图形的体积：
甲的体积：
$\begin{split}V_甲&=π×3^2×6-\frac{1}{3}π×3^2×(6-3)\\&=54π-9π\\&=45π(\mathrm{cm}^3)\end{split}$
乙的体积：
$\begin{split}V_乙&=π×3^2×3+\frac{1}{3}π×3^2×(6-3)\\&=27π+9π\\&=36π(\mathrm{cm}^3)\end{split}$
因为$45π≠36π$，所以两个立体图形体积不相等，小红的说法正确。
【答案】
(1) 圆柱 圆锥 面动成体
(2) 小红的说法正确，甲的体积为$45π\mathrm{cm}^3$，乙的体积为$36π\mathrm{cm}^3$，二者体积不相等。
【知识点】
面动成体、旋转体的认识、圆柱圆锥体积计算
【点评】
本题结合平面旋转的规律考查立体图形体积的计算，解题核心是准确判断旋转后立体图形的构成，找准对应几何体的底面半径和高，再代入公式计算比较即可。
【难度系数】
0.7
