【分析】
解题时先结合题意将函数图象分为三个阶段逐步分析：①0~3min仅打开进水管，可根据这段的水量变化求出进水管的进水速度；②3~8min进水管和出水管同时打开，根据这段的水量变化求出每分钟的净出水量，结合进水速度即可算出出水管的排水速度；③8min之后仅打开出水管，根据8min时的剩余水量和出水管速度求出排空水需要的时间，最后用8加上这个时间就能得到a的值。
【解析】
1. 计算进水管的进水速度：
0到3min仅开进水管，3分钟共进水30L，
因此进水速度为 $\frac{30}{3}=10(\mathrm{L/min})$。
2. 计算出水管的排水速度：
3到8min的时长为 $8-3=5\mathrm{min}$，这段时间水量从30L降到20L，共减少了$30-20=10\mathrm{L}$，
因此同时打开两管时，每分钟净减少水量为 $\frac{10}{5}=2(\mathrm{L/min})$，
由于此时进水管仍在进水，因此出水管排水速度 = 进水速度 + 每分钟净减少水量，
即排水速度为 $10+2=12(\mathrm{L/min})$。
3. 计算a的值：
8min时关闭进水管，此时容器内有水20L，仅开出水管排空需要的时间为 $\frac{20}{12}=\frac{5}{3}(\mathrm{min})$，
因此 $a=8+\frac{5}{3}=\frac{29}{3}$。
【答案】
$\frac{29}{3}$
【知识点】
一次函数图象应用，进出水速度计算，分段函数分析
【点评】
本题结合实际进出水场景，考查从分段函数图象中提取有效信息的能力，解题核心是明确不同阶段的水管工作状态，结合对应数据准确计算速度，是函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先结合函数图象的实际意义分析行程关系：
1. 第一问：先根据0~6min甲单独行走的路程求出甲的速度；再根据18min时乙追上甲，此时两人行走路程相等，求出乙的速度；最后根据乙从出发到到达N地的总时间乘乙的速度得到MN的总路程。
2. 第二问：18≤t≤50对应乙追上甲后到乙到达终点的阶段，先求出该段两个端点B、C的坐标，再用待定系数法求一次函数表达式。
3. 第三问：两人路程差为450m存在两种情况：①乙还未到达终点，两人距离逐渐增大的BC段；②乙到达终点后等待甲，两人距离逐渐减小的CD段。分别求出对应段的函数表达式，代入y=450求解即可，注意验证t的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，甲6min走了360m，所以甲的速度为$360÷6=60\ \mathrm{m/min}$。
18min时乙追上甲，此时甲走了18min，乙走了$18-6=12\ \mathrm{min}$，两人走的路程相等，为$60×18=1080\ \mathrm{m}$，所以乙的速度为$1080÷12=90\ \mathrm{m/min}$。
乙到达N地时，甲出发了50min，所以乙行走的时间为$50-6=44\ \mathrm{min}$，MN之间的路程为$90×44=3960\ \mathrm{m}$。
(2) 当t=50时，甲行走的路程为$60×50=3000\ \mathrm{m}$，两人的路程差为$3960-3000=960\ \mathrm{m}$，即点C坐标为(50,960)，又点B坐标为(18,0)。
设$18≤ t≤50$时，$y=kt+b$，将(18,0)、(50,960)代入得：
$\begin{cases}18k+b=0\\50k+b=960\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=30\\b=-540\end{cases}$
所以该段函数表达式为$y=30t-540\ (18≤ t≤50)$。
(3) 先求乙到达终点后，甲走到终点的总时间：$3960÷60=66\ \mathrm{min}$，即点D坐标为(66,0)。
设CD段函数表达式为$y=mt+n$，将(50,960)、(66,0)代入得：
$\begin{cases}50m+n=960\\66m+n=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-60\\n=3960\end{cases}$，即CD段表达式为$y=-60t+3960\ (50＜t≤66)$。
分两种情况讨论：
①当$18≤ t≤50$时，令$30t-540=450$，解得$t=33$，符合取值范围；
②当$50＜t≤66$时，令$-60t+3960=450$，解得$t=58.5$，符合取值范围。
综上，甲出发33min或58.5min时，两人路程为450m。
【答案】
(1) $\boxed{90}$；$\boxed{3960}$
(2) $\boxed{y=30t-540\ (18≤ t≤50)}$
(3) $\boxed{33\ \mathrm{min}}$或$\boxed{58.5\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题以行程问题为背景考查一次函数的应用，解题核心是准确理解函数图象拐点、线段对应的实际含义，结合路程、速度、时间的关系建立函数模型，求解时注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）OA是过原点的正比例函数，只需代入图中已知的点A坐标，即可求出函数表达式。（2）两机器人相遇时离M地的距离相等，即两个函数的y值相等，因此先用待定系数法求出BC的函数表达式，再令两个函数的y相等解方程即可得到相遇时间。（3）设甲到P地的时间为t min，则乙到P地的时间为(t+1)min，P到M的距离可分别用两个函数表达式表示，根据距离相等列方程求出t，再代入甲的函数式即可算出PM的距离。
【解析】
（1）设OA所在直线对应的函数表达式为$y=ax$（$a≠0$），由图得点A坐标为$(5,1000)$，代入得$1000=5a$，解得$a=200$，因此OA对应的函数表达式为$y=200x$。
（2）设线段BC对应的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$B(0,1000)$、$C(10,0)$代入得：
$\begin{cases}1000=0+b\\0=10k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-100\\b=1000\end{cases}$，即BC的函数表达式为$y=-100x+1000$。
相遇时两机器人离M地距离相等，因此$200x=-100x+1000$，解得$x=\frac{10}{3}$。
（3）设甲行走$t\ \mathrm{min}$到P地，则PM距离为$200t\ \mathrm{m}$；乙到P地用时$(t+1)\mathrm{min}$，此时PM距离可表示为$[-100(t+1)+1000]\mathrm{m}$。
根据距离相等列方程：$200t=-100(t+1)+1000$，解得$t=3$，代入$y=200t$得$y=600$。
【答案】
(1) $y=200x$；(2) $\frac{10}{3}\ \mathrm{min}$；(3) $600\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的应用；一次函数与方程
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是理解函数图象横纵坐标的实际意义，掌握待定系数法求解析式的方法，能结合等量关系列方程求解，是一次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7