4. 一个容器有进水管和出水管各1根，每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始4 min内只进水不出水，从第4 min到第24 min内既进水又出水，从第24 min开始只出水不进水，容器内水量y(L)与时间x(min)之间的函数关系如图所示，则图中a的值是（
C
）
A.32
B.34
C.36
D.38
答案：C 解析:由题图,得进水的速度是20÷4=5(L/min),出水的速度是5-(35-20)÷(16-4)=3.75(L/min),第24 min时的水量为20+(5-3.75)×(24-4)=45(L),所以a=24+45÷3.75=36.
解析：
【分析】
解题时首先明确不同时间区间的进出水状态，分四步计算：第一步，利用0~4min只进水的水量变化求出进水速度；第二步，利用4~16min既进又出的水量变化求出这段的净进水速度，结合进水速度推导出水速度；第三步，计算到第24min时容器内的总水量；第四步，用总水量除以出水速度得到24min后放完水的时长，加24即可得到a的值。
【解析】
1. 计算进水速度：0~4min只进水，共进水20L，
进水速度为 $20÷4=5\ \mathrm{L/min}$。
2. 计算出水速度：4~16min既进水又出水，时长为 $16-4=12\ \mathrm{min}$，水量从20L上升到35L，共增加 $35-20=15\ \mathrm{L}$，
这段的净进水速度为 $15÷12=1.25\ \mathrm{L/min}$，
由净进水速度=进水速度-出水速度，得出水速度为 $5-1.25=3.75\ \mathrm{L/min}$。
3. 计算第24min时的水量：4~24min共 $24-4=20\ \mathrm{min}$，
总水量为 $20 + 1.25×20=45\ \mathrm{L}$。
4. 计算a的值：24min后只出水，放完45L水需要的时间为 $45÷3.75=12\ \mathrm{min}$，
因此 $a=24+12=36$。
【答案】
C
【知识点】
函数图象信息，进排水问题计算，一次函数实际应用
【点评】
本题考查从函数图象中提取有效信息解决实际问题的能力，解题核心是理清各阶段的进出水状态，依次求出进水、出水速度，再结合水量关系计算对应时间，解题时注意对应时间段和水量的匹配，避免数据混用。
【难度系数】
0.7
5. 如图①是甲、乙两个圆柱形水槽，一个圆柱形的空玻璃杯放置在乙槽中（空玻璃杯的厚度忽略不计）.将甲槽的水匀速注入乙槽的空玻璃杯中，甲槽内最高水位$y$(cm)与注水时间$t$(min)之间的函数关系如图②线段$DE$所示，乙槽（包括空玻璃杯）内最高水位$y$(cm)与注水时间$t$(min)之间的函数关系如图②折线$O－A－B－C$所示.记甲槽底面积为$S_1$，乙槽底面积为$S_2$.
（1）甲槽开始注水时的水位为
10
cm；
（2）求$S_1$与$S_2$的比；
（3）求$\frac{h}{b}$的值.
答案：(1) 10
(2) 由题图,得甲槽的最高水位是10 cm,乙槽的最高水位是8 cm,所以10S₁=8S₂,即S₁:S₂=4:5.
(3) 由题图②,得乙槽中空玻璃杯的高度是h cm.设线段DE所在直线的函数表达式为y=kx+b.把D(0,10),E(8,0)分别代入,得{b=10,8k+b=0,解得{k=-5/4,b=10.所以线段DE所在直线的函数表达式为y=-5/4 x +10.令x=b,得y=-5/4 b +10,即b min时,甲槽的水位下降5b/4 cm.所以甲槽向乙槽注入的水的体积为5b/4 S₁ cm³.所以hS₂=5b/4 S₁.由(2),得S₁:S₂=4:5,所以h/b=1.
解析：
【分析】
(1) 观察图②中线段DE的起点，横坐标为0对应注水初始时刻，纵坐标就是甲槽的初始水位，直接读取数值即可。
(2) 甲槽的水全部注入乙槽后，甲槽水位降为0，乙槽最终水位稳定在8cm，说明甲槽原有水的总体积等于乙槽最终水的体积，结合圆柱体积=底面积×高的公式列出等式，即可求出两个底面积的比值。
(3) 先用待定系数法求出线段DE对应的一次函数解析式，得到注水b分钟时甲槽的水位，进而算出这段时间甲槽流出的水的体积；此时乙槽水位为h，说明注入的水的体积等于乙槽底面积乘h，再结合(2)得到的底面积比值，代入化简就能求出$\frac{h}{b}$的值。
【解析】
(1) 由图②可知，x=0（开始注水）时，甲槽的水位y=10cm，因此甲槽开始注水时的水位为10cm。
(2) 由注水过程可知，甲槽中原有的水全部注入乙槽，因此甲槽原有水的体积等于乙槽最终水的体积。
根据圆柱体积公式可得：$10S_1=8S_2$，
化简得$S_1:S_2=8:10=4:5$。
(3) 设线段DE所在直线的函数表达式为$y=kx+c$，
将点D(0,10)、E(8,0)代入表达式得：
$\begin{cases}c=10 \\ 8k+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{5}{4} \\ c=10\end{cases}$
因此线段DE的函数表达式为$y=-\frac{5}{4}x+10$。
当x=b时，甲槽水位为$y=-\frac{5}{4}b+10$，则甲槽水位下降高度为$10-(-\frac{5}{4}b+10)=\frac{5b}{4}$cm，
这段时间注入乙槽的水的体积为$\frac{5b}{4} · S_1$。
此时乙槽水位为h，注入的水的体积也可表示为$h · S_2$，因此有：
$\frac{5b}{4}S_1 = hS_2$
由(2)知$S_1=\frac{4}{5}S_2$，代入上式得：
$\frac{5b}{4} · \frac{4}{5}S_2 = hS_2$
两边约去$S_2$得$b=h$，因此$\frac{h}{b}=1$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{S_1:S_2=4:5}$
(3) $\boxed{1}$
【知识点】
一次函数的应用，圆柱体体积计算，函数图象信息分析
【点评】
本题结合生活中的注水场景，考查从函数图象提取有效信息、结合几何公式建立等量关系的能力，解题核心是将图象的坐标与实际的水位、时间、体积等物理量对应，理清不同阶段的体积变化规律。
【难度系数】
0.6
6. 如图①，在△ABC中，高为CG，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x，线段AP的长为y，图②是y与x的函数关系的大致图象，其中F为曲线DE的最低点，结合图形与图象解答下列问题：
(1) AB=
10
，BC=
9
；
(2) 当点P在BC上时，求AP的长的最小值；
(3) 求CG的长.
答案：(1) 10 9
(2) 过点A作AQ⊥BC于点Q,当P,Q两点重合时,AP的长最小,此时BQ=16-10=6,所以AQ=√(AB²-BQ²)=8.所以当点P在BC上时,AP的长的最小值为8.
(3) 由(1)(2),得AB=10,BC=9,AQ=8.因为S△ABC=1/2 AB · CG = 1/2 AQ · BC,所以CG = (BC·AQ)/AB=7.2.则CG的长为7.2.
解析：
【分析】
解题时需将动点的运动过程和函数图象的特征一一对应：
1. 动点P从A沿AB运动时，AP的长度等于P的运动路程x，因此图象OD段对应P在AB上运动，D点横坐标为10说明P运动10个单位到B点，即AB=10；接下来P沿BC运动，E点横坐标为19说明P运动19个单位到C点，因此BC长度为19减10。
2. 点P在BC上时，根据垂线段最短，AP垂直BC时长度最小，对应图象最低点F，F点横坐标为16，说明P从B点又走了6个单位到垂足位置，再用勾股定理即可算出最短AP的长度。
3. 求CG可利用面积法，△ABC的面积分别以AB为底CG为高、BC为底第二问得到的垂线段为高计算，列等式即可求出CG。
【解析】
(1) 由图象可得，x=10时P到达B点，因此AB=10；x=19时P到达C点，因此BC=19-10=9。
(2) 过点A作AQ⊥BC于点Q，根据垂线段最短，当P与Q重合时AP长度最小。此时P运动路程为16，因此BQ=16-10=6，在Rt△ABQ中，由勾股定理得：
$AQ=\sqrt{AB^2-BQ^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
即P在BC上时AP的最小值为8。
(3) 由三角形面积公式可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CG=\frac{1}{2}BC· AQ$，代入数值：
$\frac{1}{2}×10× CG=\frac{1}{2}×9×8$
化简得$10CG=72$，解得$CG=7.2$。
【答案】
(1) 10，9；(2) 8；(3) 7.2
【知识点】
函数图象信息应用，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是动点与函数图象结合的典型综合题，核心是找准图象特殊点对应的几何运动状态，结合垂线段最短、面积法等常用几何思路求解，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
