1. 已知甲、乙两果园预计今年水蜜桃的产量分别为200 t和300 t，打算成熟后运到A，B两个仓库存放.
A仓库可储存240 t，B仓库可储存260 t. 甲、乙两果园运往两仓库的运费价格如下表：
设从甲果园运往A仓库的水蜜桃为$x$ t，甲、乙两果园运往两仓库的水蜜桃的运输费用分别为$y_{\mathrm{甲}}$（单位：元）和$y_{\mathrm{乙}}$（单位：元）.
（1）分别求$y_{\mathrm{甲}}$，$y_{\mathrm{乙}}$关于$x$的函数表达式；
（2）甲果园预计今年拿出不超过36 000元的费用作为运费，乙果园预计今年拿出不超过50 000元的费用作为运费. 在这种情况下，甲果园运往A仓库的水蜜桃为多少吨时，能使两果园的运费之和最少？最少是多少？
答案：(1) 因为从甲果园运往A仓库的水蜜桃为x t,所以从甲果园运往B仓库的水蜜桃为(200-x)t,从乙果园运往A仓库的水蜜桃为(240-x)t,从乙果园运往B仓库的水蜜桃为300-(240-x)=(x+60)t. 由题意,得$y_{\mathrm{甲}}=150x+200(200-x)=-50x+40\,000$,$y_{\mathrm{乙}}=140(240-x)+180(x+60)=40x+44\,400$.
(2) 由题意,得$-50x+40\,000≤ 36\,000,40x+44\,400≤ 50\,000$,解得$80≤ x≤ 140$. 设两果园的运费之和为W元. 由题意,得$W=y_{\mathrm{甲}}+y_{\mathrm{乙}}=-50x+40\,000+40x+44\,400=-10x+84\,400$. 因为$-10＜0$,所以W随x的增大而减小. 所以当x=140时,W取最小值,且最小值为$-10× 140+84\,400=83\,000$. 所以当甲果园运往A仓库的水蜜桃为140 t时,能使两果园的运费之和最少,且最少运费是83 000元.
解析：
【分析】
（1）解决第一问首先要梳理各运输路径的运量：已知甲运往A仓库x t，结合甲的总产量可推出甲运往B仓库的运量；再结合A仓库的总库容推出乙运往A仓库的运量，结合乙的总产量推出乙运往B仓库的运量，最后根据“总运费=各路径运费之和”列出函数表达式即可。
（2）解决第二问先根据甲乙两家的运费上限列不等式组，求出x的取值范围；再将总运费表示为y甲与y乙的和，得到总运费关于x的一次函数，结合一次函数的增减性，在x的取值范围内找到使总运费最小的x值，代入计算即可得到最小总运费。
【解析】
(1) 已知从甲果园运往A仓库的水蜜桃为$x$ t，则：
甲果园运往B仓库的水蜜桃为$(200-x)$ t；
乙果园运往A仓库的水蜜桃为$(240-x)$ t；
乙果园运往B仓库的水蜜桃为$300-(240-x)=(x+60)$ t。
根据运费计算规则可得：
$y_{\mathrm{甲}}=150x+200(200-x)=-50x+40000$
$y_{\mathrm{乙}}=140(240-x)+180(x+60)=40x+44400$
(2) 由题意列不等式组：
$\begin{cases}-50x+40000≤ 36000 \\40x+44400≤ 50000\end{cases}$
解第一个不等式得：$x≥80$，解第二个不等式得：$x≤140$，因此x的取值范围为$80≤ x≤140$。
设两果园运费之和为$W$元，则：
$W=y_{\mathrm{甲}}+y_{\mathrm{乙}}=(-50x+40000)+(40x+44400)=-10x+84400$
由于$-10＜0$，因此$W$随$x$的增大而减小，当$x$取最大值140时，$W$取得最小值：
$W_{\mathrm{最小}}=-10×140+84400=83000$
【答案】
(1) $y_{\mathrm{甲}}=-50x+40000$，$y_{\mathrm{乙}}=40x+44400$；
(2) 当甲果园运往A仓库的水蜜桃为140 t时，两果园的运费之和最少，最少运费是83000元。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数实际应用中的典型优化类题型，需要学生准确梳理各数量间的关系，结合不等式确定自变量的取值范围，再利用一次函数增减性求解最值，能够有效考察学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
2.（2026·江苏徐州期末）某商店销售一台A型电脑的利润为100元，销售一台B型电脑的利润为150元.该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍.设购进A型电脑x台，这
100台电脑的销售总利润为y元.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？
答案：(1) 由题意,得$y=100x+150(100-x)=-50x+15\,000$. 又$100-x≤ 3x,0≤ x≤ 100$,所以$25≤ x≤ 100$. 所以y关于x的函数表达式为$y=-50x+15\,000(25≤ x≤ 100,且x为整数)$.
(2) 由(1),得$y=-50x+15\,000(25≤ x≤ 100,且x为整数)$. 因为$k=-50＜0$,所以y随x的增大而减小. 所以当x=25时,y取最大值,且最大值为$-50× 25+15\,000=13\,750$. 此时$100-x=75$. 所以该商店购进A型电脑25台、B型电脑75台时,才能使销售总利润最大,最大利润为13 750元.
解析：
【分析】
（1）求y关于x的函数表达式时，首先明确总利润=A型电脑总利润+B型电脑总利润，已知购进A型电脑x台，两种电脑共100台，可得B型电脑为(100-x)台，结合两种电脑的单台利润即可列出函数关系式；再根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍”列不等式，结合进货量的实际意义求出自变量x的取值范围，即可得到完整的函数表达式。
（2）求总利润最大值时，根据一次函数的增减性判断：当一次函数的k＜0时，y随x的增大而减小，因此在x的取值范围内取最小的整数，代入函数表达式即可求出最大利润，再算出对应B型电脑的数量即可。
【解析】
(1) 已知购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(100-x)$台，根据总利润的计算方法可得：
$y=100x+150(100-x)$
化简得：$y=-50x+15\,000$
根据B型进货量不超过A型的3倍，列不等式：
$100-x ≤ 3x$
解得$x≥25$，结合进货量的实际意义，x需满足$0≤x≤100$且x为整数，因此x的取值范围为$25≤x≤100$（x为整数）。
故y关于x的函数表达式为$y=-50x+15\,000(25≤x≤100,且x为整数)$。
(2) 由(1)可知一次函数$y=-50x+15\,000$中，$k=-50＜0$，因此y随x的增大而减小。
要使y取得最大值，则x需取取值范围内的最小值，即$x=25$。
将$x=25$代入函数得：
$y_{最大}=-50×25 + 15\,000 = 13\,750$（元）
此时B型电脑的数量为$100-25=75$（台）。
【答案】
(1) $y=-50x+15\,000(25≤ x≤ 100,且x为整数)$
(2) 购进A型电脑25台、B型电脑75台时销售总利润最大，最大利润为13750元。
【知识点】
一次函数的实际应用；一次函数的增减性；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的典型应用题，解题核心是先根据题意建立函数模型，再结合限制条件确定自变量的取值范围，最后利用一次函数的增减性求解最值，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
3. (2026·江苏扬州期末)批发门市销售两种商品,甲种商品每件售价为300元,乙种商品每件售价为80元,“五一”来临之际,该门市为促销制定了两种优惠方案(顾客只能选择其中一种方案):
方案一:每买一件甲种商品就赠送一件乙种商品;
方案二:按购买金额打8折付款.
某公司为奖励员工,购买了甲种商品20件,乙种商品$x(x＞20)$件.
(1)分别写出按方案一购买费用$y_1$(元)、方案二购买费用$y_2$(元)关于乙种商品数量$x$(件)的函数表达式;
(2)当$x=30$时,该公司选择哪一种方案更省钱?
答案：(1) 由题意,得$y_1=300× 20+80(x-20)=80x+4\,400$,$y_2=(20× 300+80x)× 0.8=64x+4\,800$.
(2) 由(1),得$y_1=80x+4\,400$,$y_2=64x+4\,800$. 令x=30,则$y_1=80× 30+4\,400=6\,800$,$y_2=64× 30+4\,800=6\,720$. 因为6 800＞6 720,所以该公司选择方案二更省钱.
解析：
【分析】
(1) 要推导两个方案的费用函数，需先明确各自计费规则：方案一买甲赠乙，购买20件甲会赠送20件乙，仅需为超出赠送数量的乙商品付费，总费用=20件甲的总价+超出20件部分的乙的总价；方案二为所有商品总价打8折，总费用=(20件甲的总价+x件乙的总价)×0.8，代入对应单价整理即可得到函数表达式。
(2) 判断x=30时哪个方案更省钱，只需将x=30分别代入(1)得到的两个函数表达式，计算出对应费用后比较大小，费用更低的方案更划算。
【解析】
(1) 已知购买甲种商品20件，乙种商品$x(x＞20)$件：
按方案一计费，赠送20件乙商品，需额外付费的乙商品数量为$(x-20)$件，因此：
$y_1=300× 20+80(x-20)=6000+80x-1600=80x+4400$
按方案二计费，总金额打8折，因此：
$y_2=(20× 300+80x)× 0.8=(6000+80x)× 0.8=64x+4800$
(2) 将$x=30$分别代入两个函数表达式：
$y_1=80× 30+4400=2400+4400=6800$（元）
$y_2=64× 30+4800=1920+4800=6720$（元）
因为$6800＞6720$，所以方案二的费用更低。
【答案】
(1) $y_1=80x+4400$，$y_2=64x+4800$；
(2) 选择方案二更省钱。
【知识点】
一次函数实际应用、一次函数求值、方案优化选择
【点评】
本题结合生活中常见的促销优惠场景命题，解题核心是准确理解不同优惠方案的计费规则，正确列出函数表达式，再代入数值计算比较即可，实用性较强。
【难度系数】
0.8
