1. (1)已知一次函数$y=ax+b$的图象经过点$(1,m)$，则关于$x$的一元一次方程$ax+b-m=0$的解是________；
(2)如果一元一次方程$2x+m=0$的解是$x=-1$，那么一次函数$y=2x+m$的图象与$x$轴交点的坐标为________。
答案：(1) $x=1$ 解析: 因为一次函数$y=ax+b$的图象经过点$(1,m)$,所以当$x=1$时,$y=a+b=m$,即$a+b-m=0$. 所以关于$x$的一元一次方程$ax+b-m=0$的解是$x=1$.
(2) $(-1,0)$ 解析: 因为一元一次方程$2x+m=0$的解是$x=-1$,所以一次函数$y=2x+m$的图象经过点$(-1,0)$. 所以一次函数$y=2x+m$的图象与$x$轴交点的坐标为$(-1,0)$.
解析：
【分析】
本题考查一次函数与一元一次方程的对应关系，解题思路如下：
(1) 先将方程$ax+b-m=0$变形为$ax+b=m$，该方程的解就是一次函数$y=ax+b$的函数值为$m$时对应的自变量$x$的值，结合函数经过的点的坐标即可直接得到解；
(2) 一次函数图象与$x$轴交点的纵坐标为0，即求$y=0$时对应的$x$值，也就是方程$2x+m=0$的解，结合已知的方程解即可得到交点坐标。
【解析】
(1) 将一元一次方程$ax+b-m=0$整理得$ax+b=m$。
因为一次函数$y=ax+b$的图象经过点$(1,m)$，即当$x=1$时，$y=a×1 + b = m$，满足$ax+b=m$，所以方程$ax+b-m=0$的解为$x=1$。
(2) 一次函数图象与$x$轴交点的纵坐标为0，即令$y=0$，可得$2x+m=0$。
已知一元一次方程$2x+m=0$的解为$x=-1$，即当$x=-1$时，$y=0$，所以一次函数$y=2x+m$的图象与$x$轴交点的坐标为$(-1,0)$。
【答案】
(1)$x=1$；(2)$(-1,0)$
【知识点】
1.一次函数与一元一次方程的关系
2.一次函数图象的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与一元一次方程对应关系的基础应用，核心是理解“一元一次方程的解就是对应一次函数取固定函数值时的自变量取值”这一规律，掌握该规律可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.85
2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$的图象分别与$x$轴交于$A(-1,0),B(2,0)$两点，两直线交于点$C$。请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识解答下列问题：
（1）关于$x$的一元一次方程$k_1x+b_1=0$的解是________，关于$x$的一元一次方程$k_2x+b_2=0$的解是________；
（2）关于$x$的一元一次不等式$k_2x+b_2＜0$的解集是________；
（3）若点$C(1,3)$，请直接写出关于$x$的不等式$k_1x+b_1≥ k_2x+b_2$的解集；
（4）请直接写出关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}k_1x+b_1＞0, \\k_2x+b_2≥0\end{cases}$的解集。
答案：(1) $x=-1$ $x=2$
(2) $x＞2$
(3) 不等式$k_1x+b_1≥k_2x+b_2$的解集为$x≥1$. 解析:由题意,得当$x＞1$时,直线$y=k_1x+b_1$在直线$y=k_2x+b_2$的上方;当$x=1$时,两条直线相交,所以不等式$k_1x+b_1≥k_2x+b_2$的解集为$x≥1$.
(4) 不等式组$\begin{cases}k_1x+b_1＞0,\\k_2x+b_2≥0\end{cases}$的解集为$-1＜x≤2$.
解析:由题图,得$k_1x+b_1＞0$的解集为$x＞-1$,$k_2x+b_2≥0$的解集为$x≤2$.所以关于$x$的不等式组$\begin{cases}k_1x+b_1＞0,\\k_2x+b_2≥0\end{cases}$的解集为$-1＜x≤2$.
解析：
【分析】
解决本题的核心是掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的对应关系，运用数形结合思想分析：①一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程$kx+b=0$的解；②一元一次不等式$kx+b＞0$（或$＜0$）的解集，对应一次函数图象在x轴上方（或下方）部分的x的取值范围；③两个一次函数比较大小的不等式的解集，对应两个函数图象上下位置关系对应的x的范围；④不等式组的解集取两个不等式解集的公共部分即可。
【解析】
（1）一元一次方程$k_1x+b_1=0$的解是一次函数$y=k_1x+b_1$与x轴交点的横坐标，已知该函数与x轴交于$A(-1,0)$，因此解为$x=-1$；同理，一次函数$y=k_2x+b_2$与x轴交于$B(2,0)$，因此方程$k_2x+b_2=0$的解为$x=2$。
（2）不等式$k_2x+b_2＜0$，对应$y=k_2x+b_2$的图象在x轴下方的部分，观察图象可知，当$x＞2$时，$y=k_2x+b_2$的图象在x轴下方，因此解集为$x＞2$。
（3）不等式$k_1x+b_1≥ k_2x+b_2$，对应$y=k_1x+b_1$的图象在$y=k_2x+b_2$图象上方（含交点）的部分，已知两直线交点为$C(1,3)$，观察图象可知当$x≥1$时，$y=k_1x+b_1$的图象在$y=k_2x+b_2$上方（交点处函数值相等），因此解集为$x≥1$。
（4）先分别求解两个不等式：$k_1x+b_1＞0$对应$y=k_1x+b_1$在x轴上方的部分，解集为$x＞-1$；$k_2x+b_2≥0$对应$y=k_2x+b_2$在x轴上方（含交点）的部分，解集为$x≤2$。取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1＜x≤2$。
【答案】
(1) $x=-1$；$x=2$
(2) $x＞2$
(3) $x≥1$
(4) $-1＜x≤2$
【知识点】
一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式；不等式组解集的确定
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，不需要复杂运算，只要准确理解一次函数图象和方程、不等式的对应关系，通过观察图象就能快速得到结果，是一次函数相关应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=ax+b, \\ y=-x-2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=-4, \\ y=m,\end{cases}$则一次函数$y=ax+b$和$y=-x-2$的图象的交点坐标为 ______ 。
答案：$(-4,2)$ 解析:由题意,把$\begin{cases}x=-4,\\y=m\end{cases}$代入$y=-x-2$中,得$m=-(-4)-2=2$. 所以方程组$\begin{cases}y=ax+b,\\y=-x-2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=-4,\\y=2,\end{cases}$即一次函数$y=ax+b$和$y=-x-2$的图象的交点坐标为$(-4,2)$.
解析：
【分析】
解题时首先回忆相关知识点：两个一次函数图象的交点坐标，恰好就是这两个函数解析式联立得到的二元一次方程组的解。本题已经给出方程组的解中x的值为-4，y的值为未知的m，由于方程组的解同时满足两个方程，因此可以将x=-4代入已知的y=-x-2中求出m的值，得到完整的方程组解，也就是两个一次函数的交点坐标。
【解析】
解：将$\begin{cases}x=-4, \\ y=m\end{cases}$代入$y=-x-2$，可得：
$m=-(-4)-2=4-2=2$
因此该二元一次方程组的解为$\begin{cases}x=-4, \\ y=2\end{cases}$。
根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应方程组的解，所以一次函数$y=ax+b$和$y=-x-2$的图象交点坐标为$(-4,2)$。
【答案】
$(-4,2)$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是掌握一次函数图象交点和对应二元一次方程组的解的对应关系，只需代入计算即可得到结果，计算难度低。
【难度系数】
0.8
4. 亮点原创·定义:我们把一次函数$y=kx+b(k≠0)$与正比例函数$y=-x$的交点称为一次函数$y=kx+b(k≠0)$的“亮点”.例如:求一次函数$y=-2x-1$的“亮点”,联立方程组$\begin{cases}y=-2x-1, \\ y=-x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1, \\ y=1.\end{cases}$则一次函数$y=-2x-1$的“亮点”为$(-1,1)$.
(1) 一次函数$y=3x-2$的“亮点”为________;
(2) 若一次函数$y=px+q$的“亮点”为$(2,q-3)$,求$p,q$的值;
(3) 若直线$y=kx+3(k≠0)$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,且直线$y=kx+3$上没有“亮点”,点$P$在$x$轴上,使$S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$,求满足条件的点$P$的坐标.
答案：(1) $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
(2) 由题意,得点$(2,q-3)$在直线$y=-x$上,所以$q-3=-2$,解得$q=1$. 又点$(2,q-3)$在直线$y=px+q$上,所以$q-3=2p+q$,解得$p=-\frac{3}{2}$. 则$p$的值为$-\frac{3}{2}$,$q$的值为$1$.
(3) 由题意,得直线$y=kx+3$与直线$y=-x$平行,所以直线$y=kx+3$能由直线$y=-x$平移得到,即$k=-1$. 所以$y=-x+3$. 令$x=0$,得$y=3$;令$y=0$,得$-x+3=0$,解得$x=3$. 所以$A(3,0),B(0,3)$. 所以$OA=3$,$OB=3$. 设$P(m,0)$,则$AP=|3-m|$. 因为$S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$,且$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{9}{2}$,所以$\frac{1}{2}AP· OB=\frac{2}{3}×\frac{9}{2}$,即$\frac{3}{2}|m-3|=3$,解得$m=5$或$m=1$. 所以满足条件的点$P$的坐标为$(5,0)$或$(1,0)$.
解析：
【分析】
(1) 根据“亮点”的定义，求一次函数的“亮点”只需联立该一次函数与$y=-x$的方程组，解得的坐标即为所求；
(2) “亮点”是两个函数的交点，因此先将亮点坐标代入$y=-x$求出$q$的值，再代入一次函数$y=px+q$即可求出$p$的值；
(3) 直线上没有“亮点”说明该直线与$y=-x$无交点，即两直线平行，可求出$k$值，再求出$A$、$B$两点坐标，计算$△ AOB$的面积，设$P$点坐标为$(m,0)$，根据面积关系列方程求解，注意$AP$的长度要加绝对值避免漏解。
【解析】
(1) 联立方程组$\begin{cases}y=3x-2 \\ y=-x\end{cases}$，将$y=-x$代入$y=3x-2$得：$-x=3x-2$，解得$x=\frac{1}{2}$，则$y=-\frac{1}{2}$，即“亮点”为$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。
(2) 由题意得点$(2,q-3)$在直线$y=-x$上，代入得$q-3=-2$，解得$q=1$。又点$(2,q-3)$在直线$y=px+q$上，代入得$q-3=2p+q$，解得$p=-\frac{3}{2}$。
(3) 因为直线$y=kx+3$上没有“亮点”，说明其与$y=-x$平行，因此$k=-1$，直线解析式为$y=-x+3$。令$x=0$得$y=3$，即$B(0,3)$；令$y=0$得$x=3$，即$A(3,0)$。则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。设$P(m,0)$，则$AP=|3-m|$，根据$S_{△ ABP}=\frac{2}{3}S_{△ AOB}$得：$\frac{1}{2}×|3-m|×3=\frac{2}{3}×\frac{9}{2}=3$，化简得$|3-m|=2$，解得$m=1$或$m=5$。
【答案】
(1) $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
(2) $p=-\frac{3}{2}$，$q=1$
(3) $(1,0)$或$(5,0)$
【知识点】
一次函数新定义问题，一次函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查新定义下一次函数的综合应用，解题关键是理解“亮点”的本质是两个一次函数的交点，同时要注意两直线平行的性质，解决面积相关问题时，线段长度要带绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.65
