【分析】
本题利用杠杆原理“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”解决杆秤问题，核心公式为$ l_0(m_0 + m) = l m_1 $。(1)问将已知量代入公式，整理得到$ l $关于$ m $的函数；(2)问零刻度对应物体质量$ m=0 $，代入函数即可求距离；(3)问①分析各选项对最大称重的影响，②利用OA变化后的最大秤砣力臂（OB）代入公式求最大称重，③先根据称得质量求对应力臂，再结合实际质量列方程求生锈秤砣质量。
【解析】
(1) 将$ l_0=OA=4\ \mathrm{cm} $，$ m_0=50\ \mathrm{g} $，$ m_1=200\ \mathrm{g} $代入杠杆公式$ l_0(m_0 + m) = l m_1 $，得：
$ 4(50 + m) = 200l $，
两边同除以200，整理得：$ l = \frac{1}{50}m + 1 $。
(2) 零刻度对应物体质量$ m=0\ \mathrm{g} $，将$ m=0 $代入(1)的函数：
$ l = \frac{1}{50}×0 + 1 = 1\ \mathrm{cm} $，
即零刻度对应点与O的距离为1 cm。
(3) ① 分析选项：
提纽O左移：OA减小，OB=AB-OA增大，最大力臂$ l $增大，由$ m = \frac{l m_1}{l_0} - m_0 $，$ l $增大、$ l_0 $减小，最大称重$ m $变大，A正确，B错误；
秤砣质量$ m_1 $变小：$ m = \frac{l m_1}{l_0} - m_0 $，$ m_1 $变小，最大称重$ m $变小，范围变小；$ m_1 $变大，最大称重$ m $变大，范围变大，故C错误，D正确。
综上选AD。
② OA变为原来一半，即$ l_0=2\ \mathrm{cm} $，最大力臂$ l=OB=AB-OA=55-2=53\ \mathrm{cm} $，代入公式：
$ 2(50 + m) = 53×200 $，
解得：$ 100 + 2m = 10600 $，$ 2m=10500 $，$ m=5250\ \mathrm{g} $。
③ 先求称得550g时对应的力臂$ l $：
代入(1)的函数，$ l = \frac{1}{50}×550 +1 =12\ \mathrm{cm} $；
设生锈秤砣质量为$ x\ \mathrm{g} $，实际质量$ m=580\ \mathrm{g} $，代入杠杆公式：
$ 4×(50 +580)=12x $，
计算得：$ 2520=12x $，$ x=210\ \mathrm{g} $。
【答案】
(1) $ l=\frac{1}{50}m +1 $；
(2) 1 cm；
(3) ① AD；② 5250；③ 210 g
【知识点】
杠杆原理、一次函数应用、一元一次方程应用
【点评】
本题结合物理杠杆原理与数学知识，考查公式变形、函数求值、方程应用，关键是理解杆秤各量的关系，正确代入公式分析，属于跨学科基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5