【分析】
首先从函数图像提取关键信息：甲先出发3s跑了12m，可先求甲的速度；x=80s时y最大，说明此时乙到达终点，据此可求乙的速度，判断结论①。接着解决追及相遇问题：甲乙同向出发，乙速度更快，追及路程为甲先跑的12m，用追及时间=路程差÷速度差算出相遇时间，再求距离起点的路程，判断结论②。然后分两种情况讨论距离超过32m的范围：一是乙到达终点前，乙比甲多跑的路程超过32m；二是乙到达终点后，甲还未到终点，两人剩余距离超过32m，分别列方程求解得到x的范围，判断结论③。最后计算乙到终点时甲跑的总路程，求剩余到终点的距离，判断结论④，最终统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 计算甲、乙的速度
由图像可知，甲3s跑了12m，甲的速度为$v_甲=12÷3=4\,\mathrm{m/s}$，甲跑完全程需$400÷4=100\,\mathrm{s}$。
当$x=80\,\mathrm{s}$时y最大，说明此时乙到达终点，因此乙的速度为$v_乙=400÷80=5\,\mathrm{m/s}$，故①正确。
2. 计算第一次相遇时距离起点的距离
乙出发后，两人路程差为12m，速度差为$5-4=1\,\mathrm{m/s}$，追及时间为$12÷1=12\,\mathrm{s}$，此时距离起点的路程为$12×5=60\,\mathrm{m}≠12\,\mathrm{m}$，故②错误。
3. 求两人距离超过32m的时间范围
分两种情况：
① 乙到达终点前：两人距离$y=5x-4(x+3)=x-12$，令$y=32$，得$x-12=32$，解得$x=44$；
② 乙到达终点后：两人距离$y=400-4(x+3)$，令$y=32$，得$400-4(x+3)=32$，解得$x=89$。
因此距离超过32m的时间范围是$44＜x＜89$，故③正确。
4. 计算乙到终点时甲距终点的距离
乙到达终点时，甲一共跑了$80+3=83\,\mathrm{s}$，甲跑的路程为$4×83=332\,\mathrm{m}$，距终点还有$400-332=68\,\mathrm{m}$，故④正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图像应用，行程追及问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合一次函数图像考查行程问题的实际应用，需要准确从图像中提取时间、路程等关键信息，解决距离相关问题时要注意分情况讨论，对信息提取能力和分类讨论思想有一定要求。
【难度系数】
0.5

【分析】
解题时先利用直线过点(2,2)的条件，将点代入一次函数解析式，得到k与b的数量关系，再将b代入m的表达式，把m转化为可通过k、b表示的形式。接着分析“直线与x轴负半轴相交”的条件：一次函数与x轴交点的横坐标为负，结合直线过第一象限的(2,2)，可推导出k＞0且b＞0，最后将用m表示的k、b代入不等式组，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 直线$y=kx+b$过点$(2,2)$，
∴ 将$x=2$，$y=2$代入解析式得：$2=2k+b$，整理得$b=2-2k$。
把$b=2-2k$代入$m=3k+2b$，得：
$m=3k+2(2-2k)=3k+4-4k=4-k$，变形得$k=4-m$。
再将$k=4-m$代入$b=2-2k$，得$b=2-2(4-m)=2m-6$。
∵ 直线$y=kx+b$与x轴负半轴相交，且直线过第一象限的点$(2,2)$，
∴ 可得$\begin{cases}k＞0 \\ b＞0\end{cases}$，此时直线与x轴交点横坐标$x=-\frac{b}{k}＜0$，符合负半轴要求。
把$k=4-m$，$b=2m-6$代入不等式组得：
$\begin{cases}4-m＞0 \\ 2m-6＞0\end{cases}$
解第一个不等式：$4-m＞0 \implies m＜4$；
解第二个不等式：$2m-6＞0 \implies m＞3$。
∴ 不等式组的解集为$3＜m＜4$，即m的取值范围是$3＜m＜4$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，解一元一次不等式组
【点评】
本题综合考查一次函数的图像性质与不等式组的应用，解题的核心是先利用过定点的条件建立参数k、b的关系，再结合函数与坐标轴交点的位置特征转化为不等式组，通过解不等式组得到参数范围，较好地体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先明确符号$\max\{a,b\}$的含义是取两个数中较大的数，因此函数$y=\max\{x+3,-x+1\}$实际是取一次函数$y=x+3$和$y=-x+1$中函数值更大的那个。要求该函数的最小值，首先需要找到两个一次函数的交点，交点是两个函数大小关系的分界点；联立解析式求出交点坐标后，分$x$大于等于交点横坐标、小于交点横坐标两种情况，分别确定对应的函数表达式，再结合一次函数的增减性求出两种情况下$y$的取值范围，最终就能得到整个函数的最小值。
【解析】
第一步：求两个一次函数的交点，联立方程组：
$\begin{cases}y=x+3\\y=-x+1\end{cases}$
将两式相等得$x+3=-x+1$，移项计算得$2x=-2$，解得$x=-1$，代入$y=x+3$得$y=2$，即交点坐标为$(-1,2)$。
第二步：分情况讨论函数表达式及取值：
①当$x≥ -1$时，$x+3≥ -x+1$，因此$y=x+3$。
由于$y=x+3$中$k=1＞0$，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=-1$时$y$取最小值，最小值为$-1+3=2$，即此时$y≥ 2$。
②当$x＜ -1$时，$x+3 ＜ -x+1$，因此$y=-x+1$。
由于$y=-x+1$中$k=-1＜0$，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＜ -1$时，$y＞ -(-1)+1=2$，即此时$y＞2$。
综合两种情况可知，该函数的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
新定义运算，一次函数性质，分段函数最值
【点评】
本题结合新定义考查一次函数的实际应用，解题核心是通过两个一次函数的交点确定分段讨论的区间，再结合一次函数的增减性分析不同区间的函数取值，能有效锻炼分类讨论和数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先计算8个边长为1的小正方形的总面积为8，要使过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则每部分的面积为4。接下来观察图形，取直线l与图形最右侧竖边（横坐标为3）的交点A为突破口，过A作x轴的垂线构造直角三角形，结合面积关系求出A点的坐标，再用待定系数法求出直线l的解析式，最后根据一次函数平移的“左加右减”规则，即可求出平移后直线$l'$的解析式。
【解析】
解：设直线$l$和八个小正方形的最右边的交点为$A$，过点$A$分别作$AB⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，垂足分别为$B$，$C$。
∵ 小正方形的边长为1，
∴ 每个小正方形的面积为1，八个正方形总面积为$8×1=8$，且$OB=3$。
∵ 直线$l$将这八个小正方形分成面积相等的两部分，
∴ 每部分面积为$8÷2=4$，可得$△ ABO$的面积为$4+1=5$。
根据三角形面积公式：$\frac{1}{2}·OB· AB=5$，
代入$OB=3$，得$\frac{1}{2}×3·AB=5$，解得$AB=\frac{10}{3}$，
∴ 点$A$的坐标为$(3,\frac{10}{3})$。
设直线$l$的函数表达式为$y=kx$，将$A(3,\frac{10}{3})$代入得：
$\frac{10}{3}=3k$，解得$k=\frac{10}{9}$，
∴ 直线$l$对应的函数表达式为$y=\frac{10}{9}x$。
根据一次函数平移“左加右减”的规则，将直线$l$向左平移3个单位长度后，所得直线$l'$的函数表达式为：
$y=\frac{10}{9}(x+3)=\frac{10}{9}x+\frac{10}{3}$。

【答案】
$y=\frac{10}{9}x+\frac{10}{3}$
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数平移规律，三角形面积计算
【点评】
本题将图形面积与一次函数相结合，解题的关键是利用面积关系确定直线经过的点的坐标，需要具备一定的数形结合能力和运算能力。
【难度系数】
0.3

【分析】
解题时先从第一个等腰直角三角形入手，结合一次函数解析式求出前几个等腰直角三角形的直角边长，总结边长的变化规律，再利用等腰直角三角形面积公式计算第100个的面积。首先求直线$ y=x+1 $与y轴交点得到第一个三角形的直角边长，再将下一个点的横坐标代入函数解析式得到后续三角形的直角边长，观察边长的指数规律，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
对于直线$ y=x+1 $：
1. 令$ x=0 $，得$ y=1 $，即$ A_1(0,1) $，所以第一个等腰直角三角形$ △ A_1OB_1 $的直角边长$ OA_1=OB_1=1 $，点$ B_1(1,0) $。
2. 因为$ A_2B_1 ⊥ x $轴，点$ A_2 $横坐标为1，代入$ y=x+1 $得$ y=1+1=2 $，即$ A_2(1,2) $，第二个等腰直角三角形的直角边长$ A_2B_1=B_1B_2=2 $。
3. 同理可得第三个等腰直角三角形直角边长为4，第四个为8……以此类推，第$ n $个等腰直角三角形的直角边长为$ 2^{n-1} $。
4. 等腰直角三角形面积公式为$ S=\frac{1}{2}× \mathrm{直角边长}^2 $，则第100个等腰直角三角形的面积为：
$ S=\frac{1}{2}× (2^{99})^2=\frac{1}{2}× 2^{198}=2^{197} $
【答案】
$ 2^{197} $
【知识点】
一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，规律探究
【点评】
本题是规律探究类问题，结合了一次函数与等腰直角三角形的相关知识，解题的核心是通过计算前几个三角形的直角边长，归纳出边长的通用规律，再代入面积公式求解，需要具备一定的归纳推理能力。
【难度系数】
0.3

【分析】
（1）先通过直线AB的解析式求出A、B两点坐标，已知点C坐标，利用待定系数法，将B、C两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，解方程组即可得到直线BC的函数表达式。
（2）先设出点D的坐标（因D在BC上，可用含一个参数的式子表示横纵坐标），再分别用含参数的式子表示$△ ABD$和$△ AOD$的面积，分点D在线段BC上、BC的延长线上、CB的延长线上三种情况讨论，根据面积相等列方程求解，舍去不符合范围的解即可得到D的坐标。
（3）先过Q作x轴的垂线，构造全等三角形，证明$△ BOP≌△ PTQ$，推出$△ ATQ$为等腰直角三角形，得到Q点的运动轨迹是与x轴成$45°$的射线AQ；再作点D关于直线AQ的对称点R，利用轴对称的性质将QD转化为QR，根据三角形三边关系可知$QB-QR≤BR$，当B、R、Q三点共线时取最大值，最后用勾股定理计算BR的长度即可。
【解析】
(1) 对于直线$AB:y=-x+6$，令$x=0$，得$y=6$，所以$B(0,6)$；令$y=0$，得$x=6$，所以$A(6,0)$。设直线BC的函数表达式为$y=kx+b$，将$B(0,6)$、$C(-3,0)$代入得：
$\begin{cases}b=6\\-3k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=6\end{cases}$，因此直线BC的解析式为$y=2x+6$。
(2) 存在，理由如下：
设点D的坐标为$(a,2a+6)$，过D作$DE⊥x$轴于E，则$E(a,0)$，$DE=|2a+6|$。
已知$A(6,0)$，$C(-3,0)$，因此$AC=6-(-3)=9$，$OA=6$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×OB=\frac{1}{2}×9×6=27$，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×AC×|DE|=9|a+3|$，$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}×OA×|DE|=6|a+3|$。
分三种情况讨论：
① 当D在线段BC上，即$-3＜a＜0$时，$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=27-9(a+3)=-9a$，此时$a+3＞0$，$S_{△ AOD}=6(a+3)$，令$-9a=6(a+3)$，解得$a=-\frac{6}{5}$，符合范围，此时$D(-\frac{6}{5},\frac{18}{5})$；
② 当D在BC的延长线上，即$a＜-3$时，$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=27-9(a+3)=-9a$，此时$a+3＜0$，$S_{△ AOD}=-6(a+3)$，令$-9a=-6(a+3)$，解得$a=6$，不符合$a＜-3$，舍去；
③ 当D在CB的延长线上，即$a＞0$时，$S_{△ ABD}=S_{△ ADC}-S_{△ ABC}=9(a+3)-27=9a$，此时$a+3＞0$，$S_{△ AOD}=6(a+3)$，令$9a=6(a+3)$，解得$a=6$，符合范围，此时$D(6,18)$。
综上，点D的坐标为$(-\frac{6}{5},\frac{18}{5})$或$(6,18)$。
(3) 过Q作$QT⊥x$轴于T，则$∠ BOP=∠ PTQ=90°$。
∵$△ BPQ$是等腰直角三角形，$∠ BPQ=90°$，
∴$BP=PQ$，$∠ BPO+∠ QPT=90°$，
又
∵$∠ QPT+∠ PQT=90°$，
∴$∠ BPO=∠ PQT$，
∴$△ BOP≌△ PTQ$（AAS），
∴$OP=TQ$，$OB=TP=6$。
设$P(m,0)(m＞0)$，则$OP=m$，因此$TQ=m$，$PT=6$，
∴$OT=OP+PT=m+6$，即T点坐标为$(m+6,0)$，Q点坐标为$(m+6,m)$，
∴$AT=OT-OA=m+6-6=m=TQ$，
∴$△ ATQ$是等腰直角三角形，$∠ QAT=45°$，即Q在过A且与x轴成$45°$的射线上运动。
作点$D(11,0)$关于直线AQ的对称点R，连接QR、AR、BR，由对称性质得$QR=QD$，$AR=AD=11-6=5$，$∠ RAQ=∠ DAQ=45°$，因此$∠ RAD=90°$，即R点坐标为$(6,5)$。
∵$QB-QD=QB-QR≤BR$（当且仅当B、R、Q三点共线时取等号），
∴$BR=\sqrt{(0-6)^2+(6-5)^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$，即$QB-QD$的最大值为$\sqrt{37}$。

【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2x+6}$
(2) 存在，点D的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{6}{5},\frac{18}{5})}$或$\boldsymbol{(6,18)}$
(3) $\boldsymbol{\sqrt{37}}$

【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，轴对称求最值
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，涵盖了一次函数解析式求解、面积计算的分类讨论、动点轨迹判断及线段最值求解，对代数与几何融合的应用能力要求较高，第二问需注意分类讨论避免漏解，第三问确定动点轨迹是解题的关键突破口。
【难度系数】
0.3