【分析】
首先根据全等三角形的性质，可知全等三角形面积相等，且对应边BD=CD。先由△BFD的面积得到△CED的面积，再结合△ACE的面积算出△ACD的面积；由于△ABD和△ACD等底同高，二者面积相等，即可得到△ABD的面积；最后观察图形可知△ABF的面积为△ABD与△BFD的面积和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵△BFD≌△CED，
∴$S_{△ CED} = S_{△ BFD} = 2$，$BD = CD$，
△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到直线BC的距离，因此二者等底同高，面积相等，即$S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$。
又
∵$S_{△ ACD} = S_{△ ACE} + S_{△ CED} = 3 + 2 = 5$，
∴$S_{△ ABD} = 5$。
∵点D在AF线段上，
∴$S_{△ ABF} = S_{△ ABD} + S_{△ BFD} = 5 + 2 = 7$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质，三角形面积计算，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题主要考查全等三角形性质与三角形面积的综合应用，解题的关键是通过全等得到边相等，进而推出等底同高的三角形面积相等，再结合面积的和差关系求解，需要具备一定的图形观察能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是正方形中含45°角的典型角度计算问题，解题思路如下：首先利用正方形内角为90°的性质，可推出∠BAE与∠DAF的和为45°；遇到这种共顶点等线段（正方形邻边相等）和半角关系的题型，可通过旋转构造全等三角形，把∠DAF转移到和∠BAE相邻的位置，证明△EAF和旋转得到的三角形全等，得到对应角相等；再结合直角三角形两锐角互余、平角为180°的性质，逐步推导即可求出∠FEC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ ABC=∠ BAD=∠ ADC=90°$，$AB=AD$，
∴$∠ BAE+∠ EAF+∠ DAF=90°$，
∵$∠ EAF=45°$，
∴$∠ BAE+∠ DAF=90°-45°=45°$。
将$△ ADF$绕点A按顺时针方向旋转$90°$得到$△ ABG$，
由旋转性质得：$AG=AF$，$∠ BAG=∠ DAF$，$∠ ABG=∠ ADC=90°$，
∵$∠ ABC+∠ ABG=90°+90°=180°$，
∴G、B、C三点共线，
∴$∠ EAG=∠ BAE+∠ BAG=∠ BAE+∠ DAF=45°$，
∴$∠ EAG=∠ EAF=45°$，
在$△ EAG$和$△ EAF$中：
$\begin{cases}AG=AF \\∠ EAG=∠ EAF \\AE=AE\end{cases}$
∴$△ EAG≌△ EAF(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ AEF=∠ AEG$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ B=90°$，$∠ BAE=α$，
∴$∠ AEG=∠ AEB=90°-α$，
∵$∠ AEB+∠ AEF+∠ FEC=180°$，
∴$∠ FEC=180°-2×(90°-α)=2α$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题是正方形半角模型的经典考题，解题核心是通过旋转构造全等三角形，将分散的角度条件整合，进而结合三角形内角相关性质推导所求角度，掌握半角模型的构造技巧可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先根据已知角的关系，结合三角形内角和可推出∠B=∠F，因此△BPQ与△DEF全等时存在两种对应边匹配情况。其次动点P的运动分为CB、BA、AC三个阶段，先计算P到达各拐点的时间，分时间段确定P的位置，再结合Q的运动位置，根据全等对应边相等列方程求解运动时间t，进而求出Q的速度v，最后排除不符合运动实际的情况即可得到所有符合要求的v值。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $。
先计算点P到达各拐点的时间：
P运动到B点：$ t=9÷3=3\ \mathrm{s} $
P运动到A点：$ t=(9+15)÷3=8\ \mathrm{s} $
P回到C点：$ t=(9+15+12)÷3=12\ \mathrm{s} $
由$ ∠C=∠E=90° $，$ ∠A=∠D $，结合三角形内角和为180°，可得$ ∠B=∠F $，分情况讨论：
1. 当$ 0≤ t＜3 $时，点P在BC上，$ BP=(9-3t)\ \mathrm{cm} $，Q在AB上：
① 若$ △QBP≌△DFE $，则$ BP=EF=3\ \mathrm{cm} $，$ BQ=DF=5\ \mathrm{cm} $，列方程$ 9-3t=3 $，解得$ t=2 $。代入$ 15-2v=5 $，解得$ v=5 $。
② 若$ △QBP≌△EFD $，则$ BP=DF=5\ \mathrm{cm} $，$ BQ=EF=3\ \mathrm{cm} $，列方程$ 9-3t=5 $，解得$ t=\frac{4}{3} $。代入$ 15-\frac{4}{3}v=3 $，解得$ v=9 $。
2. 当$ 3≤ t＜8 $时，点P在AB上，$ BP=(3t-9)\ \mathrm{cm} $，Q在BC上：
① 若$ △QBP≌△EFD $，则$ BP=DF=5\ \mathrm{cm} $，$ BQ=EF=3\ \mathrm{cm} $，列方程$ 3t-9=5 $，解得$ t=\frac{14}{3} $。代入$ \frac{14}{3}v-15=3 $，解得$ v=\frac{27}{7} $。
② 若$ △QBP≌△DFE $，则$ BP=EF=3\ \mathrm{cm} $，$ BQ=DF=5\ \mathrm{cm} $，列方程$ 3t-9=3 $，解得$ t=4 $。代入$ 4v-15=5 $，解得$ v=5 $，为重复值。
3. 当$ 8≤ t≤12 $时，点P在AC上，此时BP长度范围为$ 9≤ BP≤15 $，远大于△DEF的最大边长5cm，不可能全等，舍去。
综上，v的取值为5或9或$ \frac{27}{7} $。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 分类讨论思想
3. 动点问题求解
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的典型题型，需要同时考虑动点的位置区间和全等的对应关系，既考查学生对全等性质的掌握程度，也要求学生具备严谨的分类讨论逻辑，避免出现漏解、错解的情况。
【难度系数】
0.4

【分析】
解题时首先观察到题中有角平分线条件，要将分散的BE、CD线段关联，可采用截长补短的辅助线思路：在BC上截取BH=BE，结合角平分线的性质构造全等三角形。首先利用三角形内角和算出∠BOC的度数，证明△EBO≌△HBO，再进一步证明△COD≌△COH，得到BE+CD=BC的结论；再结合三角形周长条件求出AE+AD的和，最后根据AE和AD的比例关系即可求出AE的长度。
【解析】
在BC上截取$BH=BE$，连接$OH$。
∵ $BD$平分$∠ABC$，$CE$平分$∠ACB$，
∴ $∠ABD=∠CBD=\dfrac {1}{2}∠ABC$，$∠ACE=∠BCE=\dfrac {1}{2}∠ACB$。
∵ $∠A=60^{\circ }$，
∴ $∠ABC+∠ACB=180^{\circ }-∠A=120^{\circ }$，
∴ $∠CBD+∠BCE=\dfrac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)=60^{\circ }$，
∴ $∠BOC=180^{\circ }-(∠CBD+∠BCE)=120^{\circ }$，
∴ $∠BOE=180^{\circ }-∠BOC=60^{\circ }$，$∠COD=180^{\circ }-∠BOC=60^{\circ }$。
在$△ EBO$和$△ HBO$中：
$\begin{cases} BE=BH \\ ∠EBO=∠HBO \\ BO=BO \end{cases}$
∴ $△ EBO≌ △ HBO(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠BOH=∠BOE=60^{\circ }$，
∴ $∠COH=∠BOC-∠BOH=60^{\circ }$，即$∠COD=∠COH$。
在$△ COD$和$△ COH$中：
$\begin{cases} ∠COD=∠COH \\ OC=OC \\ ∠OCD=∠OCH \end{cases}$
∴ $△ COD≌ △ COH(\mathrm{ASA})$，
∴ $CD=CH$。
∵ $BC=7$，
∴ $BE+CD=BH+CH=BC=7$。
∵ $△ ABC$的周长为20，
∴ $AB+AC+BC=20$，即$AB+AC=13$。
∴ $AE+AD=AB-BE+AC-CD=(AB+AC)-(BE+CD)=13-7=6$。
∵ $AE:AD=4:3$，
∴ $AD=\dfrac {3}{4}AE$，代入得$AE+\dfrac {3}{4}AE=6$，
解得$AE=\dfrac {24}{7}$。
【答案】B
【知识点】角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】本题是三角形综合题，核心是通过截长补短法构造全等三角形，将未知线段关系转化为已知线段长度，考察了几何辅助线的构造思路和逻辑推导能力，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】0.6

【分析】
要计算不规则四边形ABCD的面积，直接拆分两个三角形求解缺少足够的边长条件，因此考虑用转化思想构造全等图形。已知AB=AD，且存在两个直角，首先通过四边形内角和推出∠ADC与∠ABE相等，再利用同角的余角相等得到一组对应角相等，即可证明三角形全等，将四边形面积转化为规则的等腰直角三角形的面积求解。
【解析】
解：
∵∠BAD=∠BCD=90°，四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-∠BAD-∠BCD=180°，
过点A作$AE⊥AC$，交CB的延长线于点E，则$∠CAE=90°$，
∵$∠ABC+∠ABE=180°$（平角的定义），
∴$∠ADC=∠ABE$（同角的补角相等），
∵$∠BAD=∠CAE=90°$，
∴$∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC$，即$∠DAC=∠BAE$，
在$△ ADC$和$△ ABE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ADC=∠ABE \\AD=AB \\∠DAC=∠BAE\end{array} $
∴$△ ADC≌△ ABE$（ASA），
∴$AC=AE$，$S_{△ ADC}=S_{△ ABE}$，
∵AC=8，
∴AE=8，
∴$S_{△ ACE}=\dfrac{1}{2}AC·AE=\dfrac{1}{2}×8×8=32$，
∵$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=S_{△ ABC}+S_{△ ABE}=S_{△ ACE}$，
∴$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=32$。
【答案】
32
【知识点】
全等三角形的判定与性质，四边形内角和，割补法求面积
【点评】
本题考查转化思想在几何面积计算中的应用，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将不规则四边形的面积转化为易计算的等腰直角三角形的面积，对几何辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题需逐个判断各结论：①首先利用等边三角形“三线合一”的性质，F是AC中点，可直接判断BF与AC垂直；②③先由BF是AC的垂直平分线，得AD=CD，再结合等边△ADE的边相等，可推出CD=DE，即可判断等腰三角形的底角相等及AE=CD；④△ADE是等边三角形，周长=3AD，要周长最小即AD最小，根据垂线段最短，找到AD的最小值即可计算最小周长；⑥利用“SAS”证△BAD≌△CAE，可得∠ACE是定值，即可判断其是否随D移动变化；⑤先确定E的运动轨迹是固定射线，用对称法求△AEF周长最小时的角度，即可判断⑤是否正确。
【解析】
1. 判断①：
∵△ABC是等边三角形，F是AC的中点，根据等边三角形三线合一的性质，
∴BF⊥AC，故①正确；同时BF是AC的垂直平分线，$∠ ABD=\dfrac{1}{2}∠ ABC=30°$，
∴垂直平分线上的点D到A、C的距离相等，即$AD=CD$。
2. 判断②③：
∵△ADE是等边三角形，
∴$AD=AE=DE$，结合$AD=CD$，可得$AE=CD$、$DE=CD$，故③正确；
∵$DE=CD$，
∴△DEC是等腰三角形，
∴$∠ DEC=∠ DCE$，故②正确。
3. 判断④：△ADE的周长$=AD+DE+AE=3AD$，要使周长最小，需AD最小。
∵点D在BF上运动，根据垂线段最短，当$AD⊥ BF$（即D与F重合）时，AD取得最小值，此时$AD=AF=\dfrac{1}{2}AC=3$，
∴△ADE周长的最小值为$3×3=9$，故④正确。
4. 判断⑥：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE=60°$，
∴$∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
∴$△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ ACE=∠ ABD=30°$，是定值，不随点D的移动而变化，故⑥错误。
5. 判断⑤：由$∠ ACE=30°$可知，点E在与AC成$30°$角的固定射线CE上运动。作点A关于射线CE的对称点M，连接ME、MC，则$AE=ME$，△AEF的周长$=AF+AE+EF=3+ME+EF$，当M、E、F三点共线时，$ME+EF$最小，即△AEF周长最小。此时$AC=MC$，$∠ ACM=2∠ ACE=60°$，
∴△ACM是等边三角形，又F是AC的中点，
∴$MF⊥ AC$，即$∠ AFE=90°\ne60°$，故⑤错误。
综上，正确的结论是①②③④。
【答案】
①②③④

【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题
【点评】
本题综合考查了等边三角形的相关性质、全等三角形的判定与性质及最短路径的应用，解题核心是找到动点运动过程中的不变量，结合几何性质逐一验证结论，对几何综合分析能力有一定锻炼价值。
【难度系数】
0.6