7. 新趋势 综合实践
(1)【问题初探】在数学活动课上,张老师给出如下问题:如图①,在△ABC中,AB=AC,点D在△ABC外,连接AD,BD,CD,且∠BDC=∠BAC,过点A作AE⊥BD于点E.求证:BE=CD+DE.
① 如图②,小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路:在BD上截取BF=CD,连接AF,将线段BE,CD,DE之间的数量关系转化为线段DE与EF之间的数量关系;
② 如图③,小龙同学从AE⊥BD于点E这个条件出发给出另一种解题思路:过点A作AG⊥CD,交CD的延长线于点G,将线段BE,CD,DE之间的数量关系转化为线段BE与CG之间的数量关系.
请你选择一名同学的解题思路,写出证明过程;
(2)【类比分析】张老师发现之前两名同学都运用了转化思想,将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系.为了帮助学生更好地感悟转化思想,张老师提出下面的问题,请你解答.
如图④,△ABC为等边三角形,△ACD是等腰直角三角形,其中AC=AD,∠CAD=90°,AE是边CD上的中线,连接BD交AE于点F.求证:BF=AF+DF;
(3)【学以致用】如图⑤,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在边AB上,过点B作BE⊥CD,交CD的延长线于点E,延长EB至点F,连接CF,使∠BCF=∠ABE,连接AF交CD于点G,且BE=8,CE=22,求△EGF的面积.
答案：7. (1) 下面解答任选一个即可.选择小辉同学的思路.证明如下:在 BD 上截取$BF=CD$,连接 AF,设 AC 与 BD 的交点为 O. 因为$∠BAC=∠BDC$,$∠AOB=∠COD$,且$∠BAC+∠ABF+∠AOB=∠BDC+∠ACD+∠COD=180^{\circ }$,所以$∠ABF=∠ACD$. 又$AB=AC$,所以$△ABF≌ △ACD$(SAS). 所以$AF=AD$. 因为$AE⊥DF$,所以$FE=DE$. 因为$BE=BF+EF$,所以$BE=CD+DE$.
选择小龙同学的思路.证明如下:过点 A 作$AG⊥CD$,交 CD 的延长线于点 G,设 AC 与 BD 的交点为 O. 同理,得$∠ABE=∠ACG$. 因为$AE⊥BD$,$AG⊥CD$,所以$∠AEB=∠G=90^{\circ }$. 因为$AB=AC$,所以$△ABE≌ △ACG$(AAS). 所以$BE=CG$,$AE=AG$. 因为$AD=AD$,所以$\mathrm{Rt}△ADE≌ \mathrm{Rt}△ADG$(HL). 所以$DE=DG$. 所以$BE=CG=CD+DG=CD+DE$.
(2) 在 BF 上截取$BH=DF$,连接 AH. 因为$△ABC$为等边三角形,所以$AB=AC$,$∠BAC=60^{\circ }$. 又$△ACD$为等腰直角三角形,$∠CAD=90^{\circ }$,$AC=AD$,所以$∠BAD=∠BAC+∠CAD=150^{\circ }$,$AB=AD$. 所以$∠ABD=∠ADB=\dfrac {1}{2}(180^{\circ }-∠BAD)=15^{\circ }$. 所以$△ABH≌ △ADF$(SAS). 所以$AH=AF$. 因为 AE 是边 CD 上的中线,所以 AE 平分$∠CAD$. 所以$∠DAE=45^{\circ }$. 所以$∠AFH=∠ADB+∠DAE=60^{\circ }$. 所以$△AHF$是等边三角形. 所以$AF=HF$. 所以$BF=HF+BH=AF+DF$.
(3) 过点 A 作$AM⊥CD$于点 M. 由题意,得$∠ABC=∠BAC=45^{\circ }$. 因为$∠CBE=∠ABC+∠ABE=∠BCF+∠BFC$,$∠ABE=∠BCF$,所以$∠BFC=∠ABC=45^{\circ }$. 因为$BE⊥CD$,所以$∠CEF=90^{\circ }$. 所以$∠ECF=∠EFC=45^{\circ }$. 所以$EF=CE$. 又$CE=22$,所以$EF=22$. 因为$AM⊥CD$,所以$∠AMC=∠AMG=90^{\circ }$,即$∠ACM+∠CAM=90^{\circ }$. 又$∠ACB=90^{\circ }$,所以$∠ACM+∠BCE=90^{\circ }$. 所以$∠CAM=∠BCE$. 因为$∠AMC=∠CEB=90^{\circ }$,$AC=CB$,所以$△ACM≌ △CBE$(AAS). 所以$AM=CE=22$,$CM=BE$. 又$BE=8$,所以$CM=8$. 所以$AM=FE$. 因为$∠AMG=∠FEG=90^{\circ }$,$∠AGM=∠FGE$,所以$△AMG≌ △FEG$(AAS). 所以$GM=GE$. 所以$GE=\dfrac {1}{2}EM=\dfrac {1}{2}(CE-CM)=7$. 所以$S_{△EGF}=\dfrac {1}{2}EF· EG=77$.
解析：
【分析】
本题围绕全等三角形的应用展开，考查线段和差证明与面积计算，解题思路如下：
(1) 证明三条线段的和差关系，核心是用转化思想：①小辉的截长法：在BD上截取BF=CD，先证△ABF≌△ACD得到AF=AD，再利用等腰三角形三线合一得EF=DE，即可推出结论；②小龙的补短法：作AG⊥CD交CD延长线于G，先证△ABE≌△ACG得BE=CG、AE=AG，再证Rt△ADE≌Rt△ADG得DE=DG，即可转化得到结论。
(2) 沿用截长思路，在BF上截取BH=DF，先证△ABH≌△ADF得AH=AF，再结合角度推导证△AHF为等边三角形，得到AF=HF，即可推出BF=AF+DF。
(3) 先导角得△CEF为等腰直角三角形，求出EF长度；再作AM⊥CD，证△ACM≌△CBE得到AM、CM的长度，最后证△AMG≌△FEG得到GE的长度，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 任选一种思路证明即可：
选择小辉同学的思路：
证明：在BD上截取$BF=CD$，连接AF，设AC与BD的交点为O。
∵$∠BAC=∠BDC$，$∠AOB=∠COD$，且$∠BAC+∠ABF+∠AOB=∠BDC+∠ACD+∠COD=180^{\circ }$，
∴$∠ABF=∠ACD$。
又
∵$AB=AC$，
∴$△ABF≌ △ACD$（SAS）。
∴$AF=AD$。
∵$AE⊥DF$，
∴$FE=DE$（等腰三角形三线合一）。
∵$BE=BF+EF$，
∴$BE=CD+DE$。
选择小龙同学的思路：
证明：过点A作$AG⊥CD$，交CD的延长线于点G，设AC与BD的交点为O。
同理可得$∠ABE=∠ACG$。
∵$AE⊥BD$，$AG⊥CD$，
∴$∠AEB=∠G=90^{\circ }$。
又
∵$AB=AC$，
∴$△ABE≌ △ACG$（AAS）。
∴$BE=CG$，$AE=AG$。
∵$AD=AD$，
∴$\mathrm{Rt}△ADE≌ \mathrm{Rt}△ADG$（HL）。
∴$DE=DG$。
∴$BE=CG=CD+DG=CD+DE$。
(2) 证明：在BF上截取$BH=DF$，连接AH。
∵$△ABC$为等边三角形，
∴$AB=AC$，$∠BAC=60^{\circ }$。
又
∵$△ACD$为等腰直角三角形，$∠CAD=90^{\circ }$，$AC=AD$，
∴$∠BAD=∠BAC+∠CAD=150^{\circ }$，$AB=AD$。
∴$∠ABD=∠ADB=\dfrac {1}{2}(180^{\circ }-∠BAD)=15^{\circ }$。
∴$△ABH≌ △ADF$（SAS）。
∴$AH=AF$。
∵AE是边CD上的中线，等腰直角三角形三线合一，
∴AE平分$∠CAD$，即$∠DAE=45^{\circ }$。
∴$∠AFH=∠ADB+∠DAE=15^{\circ }+45^{\circ }=60^{\circ }$。
∴$△AHF$是等边三角形。
∴$AF=HF$。
∴$BF=HF+BH=AF+DF$。
(3) 解：过点A作$AM⊥CD$于点M。
由题意，$AC=BC$，$∠ACB=90^{\circ }$，
∴$∠ABC=∠BAC=45^{\circ }$。
∵$∠CBE=∠ABC+∠ABE=∠BCF+∠BFC$，且$∠ABE=∠BCF$，
∴$∠BFC=∠ABC=45^{\circ }$。
∵$BE⊥CD$，
∴$∠CEF=90^{\circ }$，
∴$∠ECF=∠EFC=45^{\circ }$，
∴$EF=CE=22$。
∵$AM⊥CD$，
∴$∠AMC=∠AMG=90^{\circ }$，即$∠ACM+∠CAM=90^{\circ }$。
又
∵$∠ACB=90^{\circ }$，
∴$∠ACM+∠BCE=90^{\circ }$，
∴$∠CAM=∠BCE$。
∵$∠AMC=∠CEB=90^{\circ }$，$AC=CB$，
∴$△ACM≌ △CBE$（AAS）。
∴$AM=CE=22$，$CM=BE=8$，
∴$AM=FE=22$。
∵$∠AMG=∠FEG=90^{\circ }$，$∠AGM=∠FGE$，
∴$△AMG≌ △FEG$（AAS）。
∴$GM=GE$，
∴$GE=\dfrac {1}{2}EM=\dfrac {1}{2}(CE-CM)=\dfrac {1}{2}× (22-8)=7$。
∴$S_{△EGF}=\dfrac {1}{2}EF· EG=\dfrac {1}{2}× 22× 7=77$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) $\boxed{77}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰（等边）三角形的性质
3. 截长补短法证线段和差
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，以转化思想为核心，将线段和差问题通过构造全等转化为线段等量问题，融合了角度推导、等腰/等边三角形性质、面积计算等考点，重点考查辅助线构造能力和逻辑推理能力，是全等章节的典型拓展题。
【难度系数】
0.3
