【分析】
解题时首先明确：等腰三角形两腰相等，腰上的中线会将腰分为长度相等的两段。我们可以先设腰长为未知数，分两种情况讨论：第一种是腰长加半腰长的和为9cm，第二种是腰长加半腰长的和为15cm，分别计算出腰长后，必须用三角形三边关系验证所得的三边长能否构成三角形，不符合的情况要舍去，最终得到正确的腰长。
【解析】
设这个等腰三角形的腰长为x cm，已知△ABC为等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线，因此AD=CD=$\frac{1}{2}x$ cm，周长被分成9cm和15cm两部分，分两种情况讨论：
1. 当AB+AD=9 cm时：
列方程得 $x+\frac{1}{2}x=9$，解得x=6。
此时三角形总周长为9+15=24 cm，底边长为$24-6×2=12$ cm，三边长为6 cm、6 cm、12 cm。
因为$6+6=12$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，该情况舍去。
2. 当AB+AD=15 cm时：
列方程得 $x+\frac{1}{2}x=15$，解得x=10。
此时底边长为$24-10×2=4$ cm，三边长为10 cm、10 cm、4 cm，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，等腰三角形的腰长为10 cm。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的经典易错题，解题关键是结合中线的性质分情况讨论周长的两种组成情况，易错点是计算完边长后忽略验证三角形三边关系，误选包含6cm的选项，解答这类问题时一定要养成验证三边关系的习惯。
【难度系数】
0.6

【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的高，首先可结合等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直平分BC，BD=CD。本题是双动点最短路径问题，需结合“两点之间线段最短”和“垂线段最短”两个原理分析：要让BM+MN的值最小，首先当B、M、N三点共线时，BM+MN=BN，此时长度比M不在BN上时更小；而BN是从点B到AC上点N的线段，根据垂线段最短，当BN⊥AC时BN的长度最小，因此BM+MN的最小值就是AC边上的高BN的长度。接下来先通过勾股定理求出AD的长度，再利用三角形面积的两种计算方式即可求出BN的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC=10 cm，AD⊥BC，BC=12 cm，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$BD=CD=\frac{1}{2}BC=6\ \mathrm{cm}$，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$，
结合两点之间线段最短和垂线段最短可知：当B、M、N三点共线，且BN⊥AC时，BM+MN的值最小，最小值为BN的长度。
∵△ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}BC·AD$，也可表示为$\frac{1}{2}AC·BN$，
∴$\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×AC×BN$，
代入数值计算得：$BN=\frac{AD·BC}{AC}=\frac{8×12}{10}=9.6\ \mathrm{cm}$，
即BM+MN的最小值是9.6 cm。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、最短路径问题、勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形与最短路径结合的典型题型，解题的核心是准确判断出BM+MN取最小值时的线段位置，再结合面积法求高得到结果，能较好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
题目给出了特殊角度（45°、60°）和线段倍数关系（PC=2PB），解题时可优先通过作垂线构造含特殊角的直角三角形，利用30°直角三角形的性质推导线段相等，再结合等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质逐步推导角度关系，最终求出∠ACB的度数。
【解析】
过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，
∴$∠ CDA=∠ CDP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDP$中，$∠ APC=60°$，
∴$∠ PCD=90°-∠ APC=30°$，
∴$PD=\frac{1}{2}PC$，
∵$PC=2PB$，即$PB=\frac{1}{2}PC$，
∴$PB=PD$，
∴$∠ PBD=∠ PDB$，
∵$∠ APC$是$△ PBD$的外角，
∴$∠ APC=∠ PBD+∠ PDB=60°$，
∴$∠ PBD=∠ PDB=30°$，
∴$∠ PBD=∠ PCD=30°$，
∴$BD=CD$，
∵$∠ ABC=45°$，
∴$∠ ABD=∠ ABC-∠ PBD=45°-30°=15°$，
∵$∠ PDB$是$△ ABD$的外角，
∴$∠ PDB=∠ ABD+∠ BAD$，
∴$∠ BAD=∠ PDB-∠ ABD=30°-15°=15°$，
∴$∠ BAD=∠ ABD$，
∴$AD=BD$，
∴$AD=CD$，
∴$\mathrm{Rt}△ ACD$为等腰直角三角形，
∴$∠ ACD=45°$，
∴$∠ ACB=∠ ACD+∠ PCD=45°+30°=75°$。
【答案】
C
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题的解题核心是结合已知条件构造含特殊角的直角三角形辅助线，通过推导线段与角度的等量关系逐步求解，对逻辑推理能力和辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断满足条件的等边△PMN的个数，首先结合已知条件推导角的关系：OP平分120°的∠AOB，可得∠AOP=∠BOP=60°。要得到等边△PMN，只需保证PM=PN且∠MPN=60°即可。我们可以通过构造全等三角形推导PM和PN的等量关系：先在OA上截取OE=OP得到等边△OPE，再证明△PEM和△PON全等，即可得到PM=PN，由此可知只要∠MPN=60°就能得到等边△PMN，这样的角可以画出无数个，对应无数组M、N点。
【解析】
解：
∵OP平分∠AOB，∠AOB=120°，
∴$∠ AOP=∠ BOP=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
如图，在OA上截取OE=OP，连接PE，
∴△OPE为等边三角形，
∴$EP=OP$，$∠ PEO=∠ EPO=60°$，
∴$∠ PEO=∠ PON=60°$，$∠ EPO=∠ MPN=60°$，
∴$∠ EPO-∠ MPO=∠ MPN-∠ MPO$，即$∠ EPM=∠ OPN$。
在△PEM和△PON中：
$\begin{cases}∠ MEP=∠ NOP \\EP=OP \\∠ EPM=∠ OPN\end{cases}$
∴△PEM≌△PON（ASA），
∴$PM=PN$，
又
∵$∠ MPN=60°$，
∴△PMN为等边三角形。
由此可知，只要$∠ MPN=60°$，即可得到满足条件的等边△PMN，M、N可分别在OA、OB上取无数组对应的点，故这样的三角形有无数个。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定
【点评】
本题属于动态几何问题，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，推导出等边三角形的成立条件，避免受固定思维影响误认为只有1个符合条件的三角形，锻炼了几何推理和动态分析能力。
【难度系数】
0.5

【分析】
解题时首先结合折叠的性质，得到对应边、对应角相等，先求出CE的长度；再利用已知的∠B和∠C的倍数关系，结合三角形外角的性质，推导出△CDE是等腰三角形，得到DE和CE相等，最后利用DE和BD相等的关系求出BD的长。
【解析】
由折叠的性质可得：$∠ AED = ∠ B$，$AE = AB = 5$，$DE = BD$。
已知$AC=8$，因此$CE = AC - AE = 8 - 5 = 3$。
因为$∠ B = 2∠ C$，所以$∠ AED = 2∠ C$。
又因为$∠ AED$是$△ CDE$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ AED = ∠ C + ∠ CDE$。
代入$∠ AED = 2∠ C$得：$2∠ C = ∠ C + ∠ CDE$，化简可得$∠ C = ∠ CDE$。
根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可得$DE = CE = 3$。
又因为$DE = BD$，所以$BD = 3$。
【答案】
3
【知识点】
折叠的性质；三角形外角性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何折叠类的基础应用题型，核心是通过折叠实现边和角的等量转化，再结合角的数量关系推导等腰三角形，进而求解线段长度，解题时要注意挖掘折叠隐含的等量关系。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这个问题，可按以下思路思考：1. 焊的钢条均为等长，且$P_1A=P_1P_2$，因此图中$△ AP_1P_2$、$△ P_1P_2P_3$、$△ P_2P_3P_4$、$△ P_3P_4P_5$都是等腰三角形，可根据等腰三角形“等边对等角”的性质，将各个底角用含$α$的式子表示；2. 结合三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，依次推导每个外角的度数，得到第4根钢条对应的角和焊第5根钢条时所需的角的表达式；3. 理解“恰好用了4根钢条”的含义：第4根钢条可正常焊接，说明它所在的等腰三角形的底角小于$90°$（若底角$≥90°$，两个底角和$≥180°$，无法构成三角形），同时无法焊接第5根钢条，说明焊第5根时对应的角$≥90°$，据此列不等式组求解即可。
【解析】
由题意得：$AP_1 = P_1 P_2 = P_2 P_3 = P_3 P_4 = P_4 P_5$，
根据等腰三角形等边对等角的性质，得：
$∠A = ∠P_1 P_2 A = α$，
$∠P_2 P_1 P_3 = ∠P_2 P_3 P_1$，$∠P_3 P_2 P_4 = ∠P_3 P_4 P_2$，$∠P_4 P_3 P_5 = ∠P_4 P_5 P_3$。
根据三角形外角的性质，可得：
$∠P_2 P_1 P_3 = ∠A + ∠P_1 P_2 A = α + α = 2α$，
$∠P_3 P_2 P_4 = ∠P_2 P_3 P_1 + ∠A = 2α + α = 3α$，
$∠P_4 P_3 P_5 = ∠A + ∠P_3 P_4 P_2 = 3α + α = 4α$，
$∠P_5 P_4 B = ∠A + ∠P_4 P_5 P_3 = 4α + α = 5α$。
因为恰好用了4根钢条，因此需满足：第4根钢条可焊接，且第5根钢条无法焊接，列不等式组：
$\begin{cases}4α ＜ 90° \\5α ≥ 90° \end{cases}$
解不等式$4α ＜ 90°$得：$α ＜ 22.5°$，
解不等式$5α ≥ 90°$得：$α ≥ 18°$，
因此不等式组的解集为$18° ≤ α ＜ 22.5°$。
【答案】
$18° ≤ α ＜ 22.5°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，不等式组的应用
【点评】
本题是几何与不等式结合的典型题型，解题核心是准确理解“恰好4根钢条”的临界条件，结合等腰三角形、三角形外角的性质推导角度关系，列不等式组求解，解题时要注意两个临界条件缺一不可，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先观察已知条件：BD平分外角且BD⊥AD，看到“角平分线+垂直”的组合，优先考虑构造全等三角形，因此我们先延长AD、CB交于点E。第一步先证△ABD与△EBD全等，得到边和角的等量关系：AB=EB，AD=ED，∠BAD=∠E；第二步结合已知的角度关系2∠C+∠BAD=180°，以及△ACE的内角和为180°，推导得出∠C=∠CAE，即可得到AE=CE；最后结合已知边长计算CE长度，进而求出AD的长。
【解析】
分别延长AD、CB交于点E。
∵ BD平分∠ABE，
∴ ∠ABD = ∠EBD。
∵ BD⊥AE，
∴ ∠BDA = ∠BDE = 90°。
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD = ∠EBD \\BD = BD \\∠BDA = ∠BDE\end{array} $
∴ △ABD≌△EBD（ASA）。
∴ AB = EB = 5，AD = ED，∠BAD = ∠E，即 $AD=\frac{1}{2}AE$。
∴ CE = BC + EB = 3 + 5 = 8。
在△ACE中，由三角形内角和定理得：∠E + ∠C + ∠CAE = 180°，
又已知2∠C + ∠BAD = 180°，且∠BAD = ∠E，
∴ 2∠C + ∠E = 180°，对比内角和式子可得∠C = ∠CAE，
∴ AE = CE = 8，
∴ $AD=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题的核心是抓住“角平分线+垂线”的特征构造全等三角形，再结合角度关系推导等腰三角形实现边的转化，能够有效训练学生构造辅助线、转化边角关系的能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是等腰三角形背景下的线段长度求解问题，可按以下思路思考：第一步先梳理已知的等角关系：由AB=AC可得底角∠B=∠ACB，结合CD平分∠ACB、DE平分∠BDC的条件，可得到多组等角关系；第二步观察待求线段CD，已知BD、BE的长度，考虑用“截长法”将CD拆分为两段，分别与BD、BE相等，因此可在CD上截取DF=BD，结合DE是角平分线、公共边DE，可证△DBE和△DFE全等；第三步借助全等的性质得到角和边的等量关系，再结合三角形外角的性质推导得到剩下的线段CF=BE，即可求出CD的总长。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴∠B = ∠ACB。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD = ∠DCB = $\frac{1}{2}$∠ACB，即∠B = 2∠DCB。
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE = ∠CDE。
在DC上截取DF = DB，连接EF。
在△DBE和△DFE中：
$\{\begin{array}{l}DB=DF \\∠BDE=∠FDE \\DE=DE\end{array} $
∴△DBE≌△DFE（SAS）。
∴∠B = ∠DFE，BE = FE。
∵∠DFE是△EFC的外角，
∴∠DFE = ∠DCB + ∠FEC。
结合∠B = 2∠DCB，代入得：2∠DCB = ∠DCB + ∠FEC，
∴∠FEC = ∠DCB，
∴EF = CF，即BE = CF。
∵BD = 3，BE=2，
∴CD = DF + CF = BD + BE = 3+2=5。
【答案】
5
【知识点】
1.等腰三角形的性质与判定 2.全等三角形的判定与性质 3.角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了角平分线、全等三角形、等腰三角形的相关知识，解题的核心是合理运用截长法构造全等三角形，将待求线段转化为两条已知线段的和，体现了转化的数学思想，能够较好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解决本题首先从等腰直角三角形的基础性质入手，先推导得到AD=BD=CD、各锐角为45°等隐含结论；再结合角平分线的条件计算相关角的度数，寻找等角、等边关系，通过证明三角形全等，结合等腰三角形判定、直角三角形斜边中线的性质，逐个验证4个结论是否成立。
【解析】
已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADB=∠ADN=90°，∠BAD=∠CAD=45°。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°。
∴∠BFD=90°-∠CBE=67.5°，∠AEB=90°-∠ABE=67.5°，
又
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠AFE=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE。
∵M为EF中点，
∴AM⊥BE，即∠AMB=∠BMN=90°。
∴∠DAN=90°-∠AFE=22.5°，即∠DAN=∠DBF=22.5°。
1. 证①：在△FBD和△NAD中，
$\{\begin{array}{l}∠ FBD=∠ NAD\\ BD=AD\\ ∠ BDF=∠ ADN=90°\end{array} $
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF=DN，故①正确。
2. 证④：
∵AD=CD，DF=DN，
∴AD-DF=CD-DN，即AF=CN，又
∵AF=AE，
∴AE=CN，故④正确。
3. 证②：在△AMB和△NMB中，
$\{\begin{array}{l}∠ ABM=∠ NBM\\ BM=BM\\ ∠ AMB=∠ NMB=90°\end{array} $
∴△AMB≌△NMB（ASA），
∴AM=NM，即M是AN中点。
在Rt△ADN中，DM是斜边AN的中线，
∴DM=AM=MN=$\frac{1}{2}$AN，
∴DM=MN，△DMN是等腰三角形，故②正确。
4. 证③：
∵DM=AM，
∴∠MDA=∠DAN=22.5°，
∴∠DMN=∠DAN+∠MDA=45°，
又
∵∠BMN=90°，
∴∠BMD=∠BMN-∠DMN=45°，
∴∠BMD=∠DMN，即MD平分∠BMN，故③正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，等腰三角形判定
【点评】
本题综合性较强，将等腰直角三角形、角平分线、全等三角形、等腰三角形的知识点结合考查，需要学生具备较强的角度计算和逻辑推理能力，通过逐层推导边、角关系即可判断各个结论的正误。
【难度系数】
0.6