10. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$AB$上,且$CD=CB$,$E$为$BD$的中点,$F$为$AC$的中点,连接$EF$交$CD$于点$M$,连接$AM$.
(1) 求证:$EF=\frac{1}{2}AC$;
(2) 若$∠ BAC=45°$,求线段$AM$,$DM$,$BC$之间的数量关系.
答案：10. (1) 因为 CD=CB,E 为 BD 的中点,所以 CE⊥BD,即∠AEC=90°. 因为 F 为 AC 的中点,所以 EF = $\frac{1}{2}AC$.
(2) 由(1),得 CE ⊥ BD. 因为∠BAC=45°,所以△AEC 是等腰直角三角形. 因为 F 为 AC 的中点,所以 EF 垂直平分 AC. 所以 AM=CM. 因为 CD = BC,CD = CM + DM,所以 BC = AM + DM.
解析：
【分析】
(1) 要证明$EF=\frac{1}{2}AC$，首先结合已知$CD=CB$、$E$是$BD$中点，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，推出$CE⊥ BD$得到直角$△ AEC$；再结合$F$是$AC$中点，利用直角三角形斜边中线的性质即可得到$EF$和$AC$的数量关系。
(2) 要推导$AM$、$DM$、$BC$的数量关系，首先由(1)的$CE⊥ BD$结合$∠ BAC=45°$，可判断$△ AEC$是等腰直角三角形；再结合$F$是$AC$中点，由等腰三角形三线合一可得$EF$垂直平分$AC$，根据垂直平分线的性质得$AM=CM$；最后结合$CD=CB$、$CD=CM+DM$，通过线段等量替换即可得到三者关系。
【解析】
(1) 证明：$\because CD=CB$，$E$为$BD$的中点，
$\therefore CE⊥ BD$（等腰三角形三线合一），即$∠ AEC=90°$，
又$\because F$为$AC$的中点，
$\therefore EF$是$\mathrm{Rt}△ AEC$斜边$AC$上的中线，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
(2) 解：由(1)可知$CE⊥ BD$，
$\because ∠ BAC=45°$，
$\therefore ∠ ACE=90°-∠ BAC=45°=∠ BAC$，
$\therefore AE=CE$，即$△ AEC$是等腰直角三角形，
$\because F$为$AC$的中点，
$\therefore EF$垂直平分$AC$（等腰三角形三线合一），
$\therefore AM=CM$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
$\because CD=CM+DM$，且$CD=CB$，
$\therefore BC=AM+DM$。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) $\boldsymbol{BC=AM+DM}$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是熟练掌握特殊三角形的性质，结合中点条件逐步推导角、线段的关系，通过等量替换得到线段关系，是几何证明的常考题型。
【难度系数】
0.7
11. 新素养 推理能力 在等腰三角形ABC中，AC=BC，D，E分别为AB，BC上一点，∠CDE=∠A。
（1）如图①，若BC=BD。求证：CD=DE；
（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H。若CD=BD，EH=3，求CE－BE的值。
答案：11. (1) 因为 AC=BC,所以∠A=∠B. 因为∠CDB = ∠A + ∠ACD = ∠CDE + ∠BDE,∠CDE = ∠A,所以∠ACD = ∠BDE. 又 BC = BD,所以 AC = BD. 所以△ADC≌△BED(ASA). 所以 CD=DE.
(2) 因为 CD = BD,所以∠B = ∠DCB. 由(1),得∠A = ∠B,且∠CDE = ∠A,所以∠CDE = ∠B. 所以∠DCB = ∠CDE. 所以 CE = DE. 在 DE 上取点 F,使 DF = BE,连接 CF. 所以△CDF≌△DBE(SAS). 所以 CF = DE,即 CF = CE. 所以△CEF 是等腰三角形. 又 CH ⊥ EF,所以 FH = EH = $\frac{1}{2}EF$,即 EF = 2EH. 又 EH = 3,所以 CE - BE = DE - DF = EF = 2EH = 6.
解析：
【分析】
（1）要证明CD=DE，可通过证明两线段所在的三角形全等求解。首先根据等腰三角形AC=BC得出∠A=∠B，再结合三角形外角性质和已知∠CDE=∠A，推出∠ACD=∠BDE；再由BC=BD等量代换得AC=BD，即可利用ASA证明△ADC≌△BED，从而得到CD=DE。
（2）要求CE-BE的差值，可通过线段转化求解。首先由CD=BD、∠A=∠B、∠CDE=∠A推出∠DCB=∠CDE，得到CE=DE；再采用截长补短的思路，在DE上取点F使DF=BE，构造全等三角形△CDF和△DBE，证得CF=CE，即△CEF为等腰三角形，结合CH⊥DE，利用等腰三角形三线合一得EF=2EH，最后通过CE-BE=DE-DF=EF，代入EH=3即可算出结果。
【解析】
（1）证明：
∵AC=BC，
∴∠A=∠B。
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴$∠ CDB = ∠ A + ∠ ACD$，
又
∵$∠ CDB = ∠ CDE + ∠ BDE$，且已知$∠ CDE = ∠ A$，
∴$∠ A + ∠ ACD = ∠ A + ∠ BDE$，即$∠ ACD = ∠ BDE$。
又
∵BC = BD，AC=BC，
∴AC = BD。
在$△ ADC$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\AC=BD \\∠ ACD=∠ BDE\end{cases}$
∴$△ ADC≌△ BED$（ASA），
∴CD=DE。
（2）解：
∵CD = BD，
∴$∠ B = ∠ DCB$。
由（1）知$∠ A = ∠ B$，又已知$∠ CDE = ∠ A$，
∴$∠ CDE = ∠ B$，
∴$∠ DCB = ∠ CDE$，
∴CE = DE。
在DE上取点F，使DF = BE，连接CF。
在$△ CDF$和$△ DBE$中：
$\begin{cases}CD=BD \\∠ CDF=∠ B \\DF=BE\end{cases}$
∴$△ CDF≌△ DBE$（SAS），
∴CF = DE。
又
∵CE=DE，
∴CF = CE，即$△ CEF$是等腰三角形。
∵CH ⊥ EF，根据等腰三角形三线合一，得$FH = EH = \frac{1}{2}EF$，即$EF = 2EH$。
∵EH = 3，
∴$EF=2×3=6$。
∴$CE - BE = DE - DF = EF = 6$。
【答案】
（1）CD=DE，证明成立；（2）$\boxed{6}$
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形的综合应用题，第一问通过角的等量代换寻找全等条件，第二问通过截长补短构造全等三角形实现线段转化，结合等腰三角形三线合一的性质求解，解题的核心是灵活进行角的等量代换，合理构造全等模型。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在等边三角形ABC中,D为边AB上一点,E为边BC上一点,连接DE并延长,交AC的延长线于点F,DE=FE,过点E作EG⊥BC,交AC于点G.
（1）求证:BD=CF；
（2）当DF⊥AB时,试判断以D,E,G三点为顶点的三角形的形状,并说明理由.
答案：12. (1) 过点 D 作 DH//AC 交 BC 于点 H,则∠DHB = ∠ACB,∠HDE = ∠F,∠DHE = ∠FCE. 因为△ABC 是等边三角形,所以 AB = AC,∠B = ∠ACB = 60°. 所以∠B = ∠DHB. 所以 DB = DH. 因为 DE = FE,所以△DEH ≌ △FEC(AAS). 所以 DH = FC. 所以 BD = CF.
(2) 以 D,E,G 三点为顶点的三角形是等边三角形. 理由如下:连接 DG. 因为 ED ⊥ AB,所以∠B + ∠DEB = 90°. 由(1),得∠B = ∠ACB = 60°,所以∠DEB = 90° - ∠B = 30°. 又 EG ⊥ BC,所以∠DEB + ∠GED = 90°,∠EGC + ∠GCE = 90°. 所以∠GED = 90° - ∠DEB = 60°,∠EGC = 90° - ∠GCE = 30°. 又∠CEF = ∠DEB = 30°,∠ACB = ∠F + ∠CEF,所以∠F = 30°,即∠F = ∠EGC. 所以 EF = EG. 又 DE = EF,所以 DE = EG,即△DEG 是等边三角形. 所以以 D,E,G 三点为顶点的三角形是等边三角形.
解析：
【分析】
（1）要证明BD=CF，已知DE=FE，可通过构造全等三角形实现线段等量代换。过点D作DH//AC交BC于H，先利用等边三角形的性质推出BD=DH，再证明△DEH和△FEC全等得到DH=CF，即可完成证明。
（2）判断△DEG的形状，结合DF⊥AB、EG⊥BC的条件，先计算∠DEG的度数，再结合DE=EF推导DE=EG，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可判定形状。
【解析】
(1) 过点D作$DH// AC$交BC于点H，则$∠ DHB = ∠ ACB$，$∠ HDE = ∠ F$，$∠ DHE = ∠ FCE$。
因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ B = ∠ ACB = 60°$，因此$∠ B = ∠ DHB$，可得$DB = DH$。
在$△ DEH$和$△ FEC$中：
$\begin{cases}∠ HDE=∠ F \\∠ DHE=∠ FCE \\DE=FE\end{cases}$
所以$△ DEH ≌ △ FEC(\mathrm{AAS})$，因此$DH = FC$，等量代换得$BD = CF$。
(2) 以D,E,G三点为顶点的三角形是等边三角形，理由如下：
因为$ED ⊥ AB$，所以$∠ B + ∠ DEB = 90°$，由(1)得$∠ B = 60°$，因此$∠ DEB = 90° - 60° = 30°$。
又因为$EG ⊥ BC$，所以$∠ DEB + ∠ GED = 90°$，$∠ EGC + ∠ GCE = 90°$，因此$∠ GED = 90° - 30° = 60°$，$∠ EGC = 90° - 60° = 30°$。
因为$∠ CEF = ∠ DEB = 30°$，$∠ ACB = ∠ F + ∠ CEF$，所以$∠ F = 60° - 30° = 30°$，即$∠ F = ∠ EGC$，可得$EF = EG$。
又已知$DE = EF$，因此$DE = EG$，结合$∠ GED=60°$，可得$△ DEG$是等边三角形。
【答案】
(1) 证明成立，$BD=CF$；
(2) 以D,E,G三点为顶点的三角形是等边三角形。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问作平行线构造全等三角形是解题的关键突破口，第二问通过角度计算推导边的关系和特殊角，考查了对几何定理的综合运用能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.6
