【分析】
要解决这道题，首先明确点A受噪音影响的判断标准：火车到点A的距离≤250m时，A处受影响。第一步，过A作MN的垂线AD，得到点A到MN的最短距离AD=200m，小于250m，说明A处一定会受噪音影响。第二步，找到MN上到A的距离恰好为250m的两个点B、C，这两个点分别是受影响的起点和终点，线段BC就是会产生噪音影响的行驶路段。第三步，在直角三角形ABD中用勾股定理计算BD的长度，结合等腰三角形三线合一的性质得到BC=2BD，最后用路段长度除以火车速度，即可算出受影响的总时间。
【解析】
过点A作AD⊥MN于点D，由题意得AD=200m。
设火车行驶到点B处时A处开始受噪音影响，行驶到点C处时A处结束受噪音影响，则AB=AC=250m。
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴BC=2BD。
在Rt△ABD中，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{250^2-200^2}=\sqrt{22500}=150\ \mathrm{m}$
∴$BC=2×150=300\ \mathrm{m}$
已知火车行驶速度为20m/s，则受噪音影响的时间为：
$t=\frac{300}{20}=15\ \mathrm{s}$

【答案】
C
【知识点】
勾股定理，点到直线的距离，行程公式应用
【点评】
本题结合生活中的噪音影响场景，考查实际问题转化为几何模型的能力，解题核心是确定受影响的路段长度为圆与直线相交的弦长，再结合勾股定理、行程关系计算，难度适中，能有效考察知识的应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
我们可以结合旋转性质、等边三角形性质、勾股定理逆定理逐个判断4个结论：第一步先利用旋转得到的等角、等边，结合等边三角形ABC的边角关系证明△BO'A和△BOC全等，判断结论①；第二步由旋转60°且BO=BO'，可得△BO'O是等边三角形，直接得到OO'的长度，判断结论②；第三步结合OA、OO'、O'A的长度，用勾股定理逆定理判断△AOO'是直角三角形，再加等边三角形的内角即可求出∠AOB的度数，判断结论③；第四步要求△AOB的面积，过B作AO延长线的高，利用∠AOB的补角为30°求出高的长度，再用三角形面积公式计算，判断结论④。
【解析】
连接$OO'$，过点B作$BE⊥AO$，交AO的延长线于点E。
1. 验证结论①：
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=CB$，$∠ABC=60°$。
∵线段BO绕点B逆时针旋转$60°$得到$BO'$，
∴$BO'=BO$，$∠O'BO=60°$。
∴$∠O'BO=∠ABC$，即$∠O'BO-∠ABO=∠ABC-∠ABO$，推导得$∠ABO'=∠CBO$。
在$△BO'A$和$△BOC$中：
$\begin{cases} BO'=BO \\ ∠ABO'=∠CBO \\ AB=CB \end{cases}$
∴$△BO'A≌△BOC(SAS)$，即$△BO'A$可以由$△BOC$绕点B逆时针旋转$60°$得到，①正确。
2. 验证结论②：
∵$BO'=BO$，$∠O'BO=60°$，
∴$△BO'O$是等边三角形，
∴$OO'=OB=4$，即点O与点$O'$的距离为4，②正确。
3. 验证结论③：
由$△BO'A≌△BOC$得$O'A=OC=5$，已知$OA=3$，$OO'=4$，
∴$OA^2+OO'^2=3^2+4^2=25=5^2=O'A^2$，
由勾股定理逆定理得$△AOO'$是直角三角形，$∠AOO'=90°$。
又
∵$△BO'O$是等边三角形，
∴$∠BOO'=60°$，
∴$∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=90°+60°=150°$，③正确。
4. 验证结论④：
∵$∠AOB=150°$，
∴$∠BOE=180°-150°=30°$，
在$Rt△BOE$中，$∠BOE=30°$，
∴$BE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$S_{△AOB}=\frac{1}{2}·OA·BE=\frac{1}{2}×3×2=3≠6$，④错误。
综上，正确的结论共3个。
【答案】
C

【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是典型的旋转类几何综合题，解题核心是利用旋转构造全等三角形和特殊三角形，将分散的已知线段集中到同一个三角形中分析，既考查了基础几何性质的应用，也考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6

【分析】
要求∠AED与∠ACB的度数差，首先考虑将两个角转化为共顶点的角，利用网格中平行线内错角相等的性质，把∠AED转化为∠GAE，∠ACB转化为∠FAG，二者的差即为∠FAE；接下来只需计算∠FAE的度数，可通过勾股定理计算△AEF三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而得出角度。
【解析】
如图，根据网格中平行线的性质，易得：
$∠GAE=∠AED$，$∠FAG=∠ACB$，
$\therefore ∠AED - ∠ACB = ∠GAE - ∠FAG = ∠FAE$。
由勾股定理计算各边的平方：
$AF^2=1^2+2^2=5$，$EF^2=1^2+2^2=5$，$AE^2=3^2+1^2=10$，
$\therefore AF^2 + EF^2 = 5+5=10=AE^2$，且$AF=EF$，
$\therefore △AFE$是等腰直角三角形，且$∠AFE=90°$，
$\therefore ∠FAE=45°$，即$∠AED - ∠ACB=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
平行线性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形判定
【点评】
本题结合网格背景考查角度计算，解题的关键是利用平行线性质实现角度的转化，再通过勾股定理及逆定理判断三角形形状求角度，综合性较强，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决蚂蚁爬行最短路径问题，核心是将立体表面的折线路径转化为平面内两点间的线段距离（两点之间线段最短）。蚂蚁需要先爬过鱼缸顶部边缘BC再进入缸内到达G点，我们可以通过对称变换将内侧路径翻折到外侧：作点G关于BC的对称点G'，此时蚂蚁从A到BC上任意点P再到G的长度AP+PG等价于AP+PG'，当A、P、G'三点共线时总长度最短，即AG'的长度就是最短路径长，最后结合已知边长用勾股定理计算即可。
【解析】
如图，作EF关于直线BC的对称线段$E'F'$，点G的对应点为点$G'$，连接$AG'$，则线段$AG'$的长即为蚂蚁爬行的最短路线的长，根据对称性质可得$BE'=BE$，$E'G'=EG$。
已知$AB=60\ \mathrm{cm}$，$AE=40\ \mathrm{cm}$，$EG=60\ \mathrm{cm}$，
先计算$BE=AB-AE=60-40=20\ \mathrm{cm}$，因此$BE'=BE=20\ \mathrm{cm}$，
可得$AE'=AB+BE'=60+20=80\ \mathrm{cm}$，且$E'G'=EG=60\ \mathrm{cm}$，
又$∠ E'=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AE'G'$中，由勾股定理得：
$AG'=\sqrt{AE'^2+E'G'^2}=\sqrt{80^2+60^2}=\sqrt{6400+3600}=\sqrt{10000}=100\ \mathrm{cm}$。
所以蚂蚁爬行的最短路线的长为100 cm。
【答案】
100
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质
【点评】
本题结合生活场景，将立体图形的路径问题转化为平面几何问题求解，解题关键是利用对称把折线路径转化为直线路径，再用勾股定理计算长度，能有效考查学生的转化思维和几何计算能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先根据△ABC的三边长，利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形；再结合折叠的轴对称性质，可知DE=AE，△CDE的周长中CD为定值，因此周长最小的问题可转化为求DE+CE的最小值，即等价于求AE+CE的最小值，根据两点之间线段最短，当A、E、C三点共线时AE+CE最小，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求出CE的长。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：已知AB=9，AC=12，BC=15，计算得$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，即$AB^2+AC^2=BC^2$，由勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，$∠ BAC=90°$。
2. 由折叠的性质可得：点A和点D关于射线BM对称，因此$BD=AB=9$，$AE=DE$，$∠ BDE=∠ BAC=90°$，故$∠ CDE=90°$。
3. 计算CD的长：$CD=BC-BD=15-9=6$。
4. 分析周长最小值的情况：$△ CDE$的周长$=CD+DE+CE=6+DE+CE$，CD为定值，因此当$DE+CE$最小时，周长最小。结合$DE=AE$，可得$DE+CE=AE+CE$，根据两点之间线段最短，当E为AC与BM的交点时，$AE+CE=AC$，此时$DE+CE$取得最小值，即$△ CDE$周长最小。
5. 勾股定理列方程求解：设此时$CE=x$，则$DE=AE=12-x$，在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得$CE^2=DE^2+CD^2$，代入得$x^2=(12-x)^2+6^2$，展开得$x^2=144-24x+x^2+36$，化简解得$x=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
勾股定理及逆定理；轴对称的性质；最短路径问题
【点评】
本题是几何综合题，将折叠性质、勾股定理和最短路径问题结合考查，解题关键是利用轴对称转化线段，把周长最小值问题转化为两点之间线段最短的常见模型，再通过勾股定理构造方程求解，很好地体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 观察给出的勾为奇数的勾股数样例：当勾为n时，股均为“勾的平方减1的一半”，弦为“勾的平方加1的一半”，代入样例验证均成立，据此可写出对应代数式；
(2) 要证明柏拉图公式给出的a,b,c是勾股数，根据勾股数的定义，只需验证两个较小数的平方和等于最大数的平方即可。首先判断c=m²+1是三个数中最大的，分别计算a²+b²和c²，对比是否相等即可证明；
(3) 已知最大数是弦，且弦与股的差为1，因此股等于弦减1，先得到股的表达式；再根据勾股定理，勾的平方=弦的平方-股的平方，利用完全平方公式展开化简，结合勾是正整数即可得到勾的表达式。
【解析】
(1) 观察样例规律：当勾为n（n≥3且n为奇数）时，股为$\frac{1}{2}(n^2-1)$，弦为$\frac{1}{2}(n^2+1)$；
(2) 已知$a=2m$，$b=m^2-1$，$c=m^2+1$（m为大于1的整数），计算$a^2+b^2$：
$a^2+b^2=(2m)^2+(m^2-1)^2=4m^2+m^4-2m^2+1=m^4+2m^2+1$
再计算$c^2$：
$c^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$
可得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理，且a,b,c均为正整数，因此a,b,c为勾股数；
(3) 已知$2a^2+2a+1$是勾股数中最大的数（即弦），且弦与股的差为1，因此股为：
$2a^2+2a+1-1=2a^2+2a$
根据勾股定理，勾²=弦²-股²，代入计算：
勾²=$(2a^2+2a+1)^2-(2a^2+2a)^2$
$=(2a^2+2a)^2+2(2a^2+2a)+1-(2a^2+2a)^2$
$=4a^2+4a+1=(2a+1)^2$
因为勾为正整数，所以勾=$2a+1$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}(n^2-1)$；$\frac{1}{2}(n^2+1)$
(2) 证明见解析；
(3) 另外两个数分别为$2a+1$、$2a^2+2a$
【知识点】
勾股定理；勾股数的定义；整式的运算
【点评】
本题结合传统数学文化考查勾股数的规律探究与证明，既需要学生具备观察归纳的能力，也要求能熟练运用整式运算和勾股定理完成验证推导，注重对逻辑推理能力的考察。
【难度系数】
0.7