【分析】
（1）折叠后点A与点B重合，说明折痕是线段AB的垂直平分线，只需用尺规作出AB的垂直平分线，它与射线AC的交点即为点P。
（2）先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度，根据折叠性质可得AP=BP，设AP为x，用含x的式子表示出PC的长度，再在Rt△BCP中利用勾股定理列方程求解即可。
（3）由于点P在射线AC上，需分两种情况讨论：①点P在线段AC上，折叠后点C的对应点落在AB边上；②点P在AC的延长线上，折叠后点C的对应点落在AB的延长线上。两种情况均结合折叠的性质得到相等的边与直角，再用勾股定理列方程计算AP的长度。
【解析】
（1）作线段AB的垂直平分线，交射线AC于点P，作图结果如下：

（2）连接BP，
∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，
∴在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质可得AP=BP，设$AP=BP=x\ \mathrm{cm}$，则$PC=AC-AP=(8-x)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△BCP中，由勾股定理得$BP^2=BC^2+PC^2$，
代入得$x^2=6^2+(8-x)^2$，
展开化简得$16x=100$，解得$x=\frac{25}{4}$。
（3）分两种情况讨论：
①当点P在线段AC上时，折叠后点C的对应点$C'$落在AB边上。
由折叠性质得$BC'=BC=6\ \mathrm{cm}$，$C'P=CP$，$∠BC'P=∠ACB=90°$，
∴$AC'=AB-BC'=10-6=4\ \mathrm{cm}$，$∠AC'P=90°$。
设$AP=m\ \mathrm{cm}$，则$PC'=PC=(8-m)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△AC'P中，由勾股定理得$AP^2=AC'^2+C'P^2$，
代入得$m^2=4^2+(8-m)^2$，解得$m=5$，即$AP=5\ \mathrm{cm}$。
②当点P在AC的延长线上时，折叠后点C的对应点$C'$落在AB的延长线上。
由折叠性质得$BC'=BC=6\ \mathrm{cm}$，$C'P=CP$，$∠AC'P=∠ACB=90°$，
∴$AC'=AB+BC'=10+6=16\ \mathrm{cm}$。
设$PC'=PC=n\ \mathrm{cm}$，则$AP=AC+PC=(8+n)\ \mathrm{cm}$，
在Rt△AC'P中，由勾股定理得$AP^2=AC'^2+C'P^2$，
代入得$(8+n)^2=16^2+n^2$，解得$n=12$，
∴$AP=8+12=20\ \mathrm{cm}$。
综上，AP的长为5 cm或20 cm。
【答案】
（1）如图①所示：
（2）$\frac{25}{4}\ \mathrm{cm}$
（3）$5\ \mathrm{cm}$或$20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂直平分线尺规作图，折叠的性质，勾股定理应用
【点评】
本题结合折叠变换考查几何计算，解题核心是利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质转化已知条件，通过设未知数结合勾股定理列方程求解。第三问需注意“射线AC”的条件，要分类讨论点P的两种位置，避免漏解，同时要熟练掌握方程思想在几何边长计算中的运用。
【难度系数】
0.6