【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出了两个直角、两组相等的边$AE=AC$、$EF=BC$，首先可利用HL判定证明$Rt△ AEF$和$Rt△ ACB$全等，得到对应边$AF=AB$；接下来发现$AG$是两个小直角三角形的公共斜边，结合$AF=AB$，再次用HL证明$Rt△ AGF$和$Rt△ AGB$全等，得到$AG$平分$∠ BAC$的结论；最后利用直角三角形两锐角互余求出$∠ BAC$的度数，除以2即可得到$∠ EAG$的度数。
【解析】
$\because EF⊥ AC$，$\therefore ∠ AFE=90°$，
又$\because ∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ AFE=∠ ABC$，
在$Rt△ AEF$和$Rt△ ACB$中：
$\begin{cases}AE=AC \\EF=CB\end{cases}$
$\therefore Rt△ AEF≌ Rt△ ACB(\mathrm{HL})$，
$\therefore AF=AB$，
在$Rt△ AGF$和$Rt△ AGB$中：
$\begin{cases}AG=AG \\AF=AB\end{cases}$
$\therefore Rt△ AGF≌ Rt△ AGB(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ FAG=∠ BAG$，即$∠ EAG=\frac{1}{2}∠ BAC$，
$\because$在$Rt△ ABC$中，$∠ C+∠ BAC=90°$，$∠ C=40°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-40°=50°$，
$\therefore ∠ EAG=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础综合题，解题核心是两次运用HL定理证明直角三角形全等，推导得出角的倍分关系，再结合直角三角形内角性质计算角度，能有效考查对全等判定定理的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先观察已知条件：△ABC中AB=AC，∠BDC=∠BAC，AE⊥BD，要求BE的长度。我们可以通过作辅助线构造全等三角形实现线段的转化：先过点A作AF垂直于CD的延长线于点F，利用三角形内角和与对顶角相等推出∠ABE=∠ACF，先证明△ABE≌△ACF，将BE转化为CF；再证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到DF=DE，最后结合已知的DE、CD长度计算CF的长度，即可得到BE的长。
【解析】
过点A作$AF⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$F$，则$∠ AFC=∠ AFD=90°$。
$\because AE⊥ BD$，$\therefore ∠ AEB=∠ AED=90°$，即$∠ AEB=∠ AFC=90°$。
设$AC$与$BD$的交点为$H$，
$\because ∠ BAC=∠ BDC$，$∠ BAC+∠ ABE+∠ AHB=180°$，$∠ BDC+∠ ACF+∠ CHD=180°$，且$∠ AHB=∠ CHD$（对顶角相等），
$\therefore ∠ ABE=∠ ACF$。
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ AFC \\∠ ABE=∠ ACF \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=CF$，$AE=AF$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中：
$\begin{cases}AD=AD \\AE=AF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
$\therefore DE=DF=3$。
$\because CF=CD+DF$，$CD=2$，
$\therefore CF=2+3=5$，即$BE=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；HL定理；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是通过构造辅助线得到两组全等三角形，将未知线段转化为已知线段的和进行求解，解题的关键是结合已知角相等、边相等的条件，找到全等三角形的判定依据，掌握辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.6

【分析】
要求BD的长度，需要将BD和已知的AE、DE建立等量关系。由题中给出的AC=BC、∠CBF=∠CAE，以及CD垂直BF的直角条件，可通过构造全等三角形实现线段转化：过点C作AE的垂线，先证△BCD与△ACH全等，得到BD=AH、CD=CH，再证Rt△CDE和Rt△CHE全等，得到DE=HE，最后将AH拆分为AE与HE的和，即可求出BD的长度。
【解析】
过点C作CH⊥AE，交AE的延长线于点H，连接CE，则$∠ CHE=∠ CHA=90°$。
∵CD⊥BF，
∴$∠ CDB=∠ CDE=90°$，可得$∠ CDB=∠ CHA=90°$。
在$△ BCD$和$△ ACH$中：
$\begin{cases}∠ CDB=∠ CHA \\∠ CBD=∠ CAH \\BC=AC\end{cases}$
∴$△ BCD≌△ ACH$（AAS），可得$CD=CH$，$BD=AH$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$和$\mathrm{Rt}△ CHE$中：
$\begin{cases}CE=CE \\CD=CH\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ CDE≌\mathrm{Rt}△ CHE$（HL），可得$DE=HE$。
∴$BD=AH=AE+HE=AE+DE$，代入$AE=4$，$DE=1$，得$BD=4+1=5$。
【答案】
5
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，HL定理
【点评】
本题侧重考查逻辑推理能力，解题核心是合理构造辅助线，通过两次证明三角形全等完成线段的等量代换，将未知线段转化为已知线段的和求解，是全等三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要证明OC平分∠MON，需证明∠COD=∠COE，可先证明点C到OM、ON的距离相等，即CD=CE。已知CA=CB、AD=BE，且CD、CE分别垂直OM、ON，可先通过HL判定Rt△ADC和Rt△BEC全等得到CD=CE，再证明Rt△ODC和Rt△OEC全等，即可得到对应角相等，证明OC平分∠MON。
(2) 由(1)的全等结论可得OD=OE，结合线段和差关系，OD可表示为AO-AD，OE可表示为BO+BE，又已知AD=BE，代入AO、BO的长度即可构造关于AD的方程，求解即可得到AD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵$CD⊥OM$，$CE⊥ON$，
∴$∠ ADC=∠ ODC=∠ OEC=∠ BEC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中：
$\begin{cases} CA=CB \\ AD=BE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$，
∴$CD=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ ODC$和$\mathrm{Rt}△ OEC$中：
$\begin{cases} CD=CE \\ OC=OC \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ODC≌\mathrm{Rt}△ OEC(\mathrm{HL})$，
∴$∠ COD=∠ COE$，即OC平分$∠ MON$。
(2) 解：
由(1)得$\mathrm{Rt}△ ODC≌\mathrm{Rt}△ OEC$，
∴$OD=OE$。
∵$OD=AO-AD$，$OE=BO+BE$，且$AD=BE$，$AO=14$，$BO=6$，
代入得：$14-AD=6+AD$，
移项计算得$2AD=8$，解得$AD=4$。
【答案】
(1) OC平分$∠ MON$，证明见解析；
(2) $\boxed{4}$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；角平分线的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题重点考察直角三角形全等的判定和性质的应用，第一问通过两次证明直角三角形全等推导角相等，第二问利用全等得到的等线段关系构造方程求解，是全等三角形应用的基础题型，要求熟练掌握全等判定定理和角平分线的相关性质。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1)①要证明CA=CB，已知OA=OB，CA、CB分别垂直于OM、ON，可连接公共边OC，利用HL证明Rt△OAC和Rt△OBC全等，即可得到对应边相等。
②要证明CO平分∠ACB，根据角平分线的判定，需证明点O到AC、BC的距离相等，因此过O作AC、BC的垂线，先由四边形内角和推出一组角相等，结合OA=OB用AAS证全等得到两条垂线段相等，再用HL证直角三角形全等即可得到角相等，证明OC平分∠ACB。
(2)要找PC最小时点C的位置，首先确定点C的运动轨迹：过C作OM、ON的垂线，结合∠ACB=90°、AC=BC证全等，可得C到OM、ON的距离相等，推出C在∠MON的角平分线上运动；再根据垂线段最短，过定点P作角平分线的垂线，垂足就是PC最小时点C的位置。
【解析】
(1)① 连接 OC.
∵ CA⊥OM，CB⊥ON，
∴ ∠OAC=∠OBC=90°
又
∵ OA=OB，OC=OC，
∴ Rt△OAC≌Rt△OBC(HL)
∴ CA=CB
② 过点 O 分别作 OD⊥CB，交 CB 的延长线于点 D，OE⊥AC 于点 E
则∠OEA=∠OEC=∠ODC=∠ODB=90°
∵ ∠ACB=∠MON=90°，∠OAE+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°
∴ ∠OAE+∠OBC=180°
∵ ∠OBD+∠OBC=180°，
∴ ∠OAE=∠OBD
又
∵ OA=OB，
∴ △OAE≌△OBD(AAS)
∴ OE=OD
又
∵ OC=OC，
∴ Rt△OCE≌Rt△OCD(HL)
∴ ∠OCE=∠OCD，即 CO 平分∠ACB
(2) 过点 C 分别作 CD⊥OM 于点 D，CE⊥ON 于点 E
则∠ADC=∠ODC=∠OEC=∠BEC=90°
∵ ∠ACB=∠MON=90°，∠CAD+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°
∴ ∠CAD+∠OBC=180°
∵ ∠CBE+∠OBC=180°，
∴ ∠CAD=∠CBE
又
∵ AC=BC，
∴ △CAD≌△CBE(AAS)
∴ CD=CE
又
∵ OC=OC，
∴ Rt△OCD≌Rt△OCE(HL)
∴ ∠COD=∠COE，即 OC 平分∠MON，点C在∠MON的平分线上运动
根据垂线段最短，当PC⊥OC时，PC的长最小，过点P作∠MON的平分线的垂线，垂足即为所求点C'
【答案】
(1) ① 连接 OC. 因为 CA⊥OM,CB⊥ON,所以∠OAC=∠OBC=90°. 又 OA=OB,OC=OC,所以 Rt△OAC≌Rt△OBC(HL). 所以 CA=CB.
② 如图①,过点 O 分别作 OD⊥CB,交 CB 的延长线于点 D,OE⊥AC 于点 E,则∠OEA=∠OEC=∠ODC=∠ODB=90°. 因为∠ACB=∠MON=90°,∠OAE+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°,所以∠OAE+∠OBC=180°. 因为∠OBD+∠OBC=180°,所以∠OAE=∠OBD. 又 OA=OB,所以△OAE≌△OBD(AAS). 所以 OE=OD. 又 OC=OC,所以 Rt△OCE≌Rt△OCD(HL). 所以∠OCE=∠OCD,即 CO 平分∠ACB.
(2) 如图②,过点 C 分别作 CD⊥OM 于点 D,CE⊥ON 于点 E,作射线 OC,则∠ADC=∠ODC=∠OEC=∠BEC=90°. 因为∠ACB=∠MON=90°,∠CAD+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°,所以∠CAD+∠OBC=180°. 因为∠CBE+∠OBC=180°,所以∠CAD=∠CBE. 又 AC=BC,所以△CAD≌△CBE(AAS). 所以 CD=CE. 又 OC=OC,所以 Rt△OCD≌Rt△OCE(HL). 所以∠COD=∠COE,即 OC 平分∠MON. 所以点 C 在∠MON 的平分线上运动. 所以当点 C 运动到 PC⊥OC 时,PC 的长最小. 过点 P 作 OC 的垂线,垂足为 C',则此时点 C'即为所求作的点.


【知识点】
直角三角形全等判定；角平分线的判定与性质；垂线段最短
【点评】
本题综合考查全等三角形的证明、角平分线的性质和动点最值问题，解题关键是合理构造辅助线证明全等，先确定动点的运动轨迹，再结合垂线段最短求解，对逻辑推理和作图能力有一定要求。
【难度系数】
0.6