【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。其次，这两个小三角形的面积还可分别以AB、AC为底，DE、DF为对应底上的高，用三角形面积公式表示。联立两个面积相等的等式，代入AB=2AC的条件，即可求出DE与DF的比值。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，因此$ S_{△ ABD} = S_{△ ACD} $。
∵$ DE ⊥ AB $，$ DF ⊥ AC $，
∴根据三角形面积公式可得：$ S_{△ ABD} = \frac{1}{2} AB · DE $，$ S_{△ ACD} = \frac{1}{2} AC · DF $。
联立面积相等的关系可得：$ \frac{1}{2} AB · DE = \frac{1}{2} AC · DF $，约去$ \frac{1}{2} $后得$ AB · DE = AC · DF $。
将$ AB=2AC $代入上式，得$ 2AC · DE = AC · DF $，
∵AC为三角形边长，不为0，两边同时除以AC得$ 2DE = DF $，
因此$ DE:DF = 1:2 $。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题采用面积法求解，核心是利用三角形中线等分面积的性质，建立两条高与对应底边的关系，结合已知边长条件即可快速求出比值，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.7

【分析】要判断哪组高对应的三角形不存在，我们可以利用三角形面积不变的特点，先把高的比转化为对应边长的比，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）进行验证：如果三边满足三边关系则三角形存在，不满足则不存在。具体步骤为：①根据面积公式推导边长与对应高的反比关系；②将每个选项的高之比转化为边长之比；③逐一验证三边关系即可。
【解析】设三角形的面积为$S$，三条高分别为$h_1$、$h_2$、$h_3$，对应三边长为$a$、$b$、$c$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah_1=\frac{1}{2}bh_2=\frac{1}{2}ch_3$，可得$a=\frac{2S}{h_1}$，$b=\frac{2S}{h_2}$，$c=\frac{2S}{h_3}$，因此三边长之比$a:b:c=\frac{1}{h_1}:\frac{1}{h_2}:\frac{1}{h_3}$，即边长比等于对应高的倒数比。
逐一验证选项：
A. 高之比为$1:1:2$，边长比为$\frac{1}{1}:\frac{1}{1}:\frac{1}{2}=2:2:1$，满足$2+1＞2$、$2+2＞1$，符合三边关系，三角形存在；
B. 高之比为$1:2:3$，边长比为$\frac{1}{1}:\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=6:3:2$，因为$3+2=5＜6$，不符合“两边之和大于第三边”，三角形不存在；
C. 高之比为$2:3:4$，边长比为$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}=6:4:3$，满足$3+4＞6$、$3+6＞4$、$4+6＞3$，符合三边关系，三角形存在；
D. 高之比为$3:4:5$，边长比为$\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\frac{1}{5}=20:15:12$，满足$15+12＞20$、$15+20＞12$、$12+20＞15$，符合三边关系，三角形存在。
【答案】B
【知识点】三角形面积公式；三角形三边关系
【点评】本题将高的比例关系与三角形三边关系结合考查，解题核心是通过面积相等实现高的比到边长比的转化，考察对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】0.6

【分析】
本题是等腰三角形与中线结合的周长计算问题，解题思路如下：①首先根据等腰三角形性质可知AB=AC，结合中线定义可得AD=DC=½AC=½AB；②BD将三角形周长分为两部分，对应AB+AD和BC+CD两种组合，需分两种情况讨论计算；③计算出边长后，必须用三角形三边关系验证能否构成三角形，排除不符合的情况，最终得到AB的长度。
【解析】
设AB=AC=2x，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=x。
分两种情况讨论：
情况1：若AB+AD=10，
则2x + x = 10，解得x=$\frac{10}{3}$，
∴AB=AC=$\frac{20}{3}$，
此时BC + CD =18，即BC + $\frac{10}{3}$ =18，解得BC=$\frac{44}{3}$。
∵$\frac{20}{3}$ + $\frac{20}{3}$ =$\frac{40}{3}$ ＜ $\frac{44}{3}$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去。
情况2：若AB+AD=18，
则2x +x =18，解得x=6，
∴AB=AC=12，
此时BC + CD =10，即BC +6=10，解得BC=4。
验证三边：12+4＞12，12+12＞4，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，AB的长为12。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形中线的定义；三角形三边关系
【点评】
本题易错点在于易忽略分类讨论，或计算后未验证三边关系导致出现增解，解题时需牢记涉及等腰三角形边长的问题，计算后必须验证三边是否符合构成三角形的条件。
【难度系数】
0.6

【分析】
遇到三角形中点的条件，首先联想到三角形中线的性质：三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分。我们先通过中线的等积性质，梳理图中各三角形与四边形BEFD的面积关系，求出△ABC的总面积，再利用三角形面积公式算出AB边上的高CH。要求AC的最小值，根据垂线段最短的性质，点C到直线AB的所有线段中，垂线段CH最短，因此AC的最小值就等于CH的长度。
【解析】
解：连接BF，过点C作$CH ⊥ AB$于点H。
∵ D、E分别是AB、BC的中点，
∴ AE、CD均为△ABC的中线，
∴ $S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，$S_{△ ADC}=S_{△ BDC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$；
且FD是△ABF的中线，FE是△BCF的中线，
∴ $S_{△ AFD}=S_{△ BFD}$，$S_{△ CEF}=S_{△ BEF}$。
∵ $S_{△ ACE}=S_{△ CEF}+S_{△ ACF}$，$S_{△ BCD}=S_{△ CEF}+S_{四边形BEFD}$，且$S_{△ ACE}=S_{△ BCD}$，
∴ $S_{四边形BEFD}=S_{△ ACF}=5$。
又
∵ $S_{△ AFD}+S_{△ CEF}=S_{△ BFD}+S_{△ BEF}=S_{四边形BEFD}=5$，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ ACF}+S_{四边形BEFD}+S_{△ AFD}+S_{△ CEF}=5+5+5=15$。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AB · CH$，
代入AB=6，得$\frac{1}{2} × 6 × CH =15$，解得$CH=5$。
根据垂线段最短可知，点C到直线AB的线段中，垂线段CH最短，因此$AC ≥ CH=5$，即AC的长的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，垂线段最短
【点评】
本题将三角形中线的面积性质与几何最值相结合，解题核心是通过等积转化求出△ABC的面积，进而得到点C到AB的高，再利用垂线段最短求解AC的最小值，着重考查面积转化的数学思想。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题已知△ABC的面积和各边延长的倍分关系，求△DEF的面积，解题核心是利用“同高三角形的面积比等于对应底的比”这一性质。首先通过连接辅助线AE、CD，将△DEF拆分为△FCD、△FCE、△DCE三个部分，再依次根据给出的线段倍分关系，分别计算每个拆分出的小三角形的面积，最后求和即可得到△DEF的面积。
【解析】
解：如图，连接AE、CD。
∵ $BD=AB$，△ABC和△BCD同高，$S_{△ABC}=1$
∴ $S_{△BCD}=S_{△ABC}=1$，则$S_{△ACD}=S_{△ABC}+S_{△BCD}=1+1=2$
∵ $CE=2BC$，△ABC和△ACE同高，△BCD和△DCE同高
∴ $S_{△ACE}=2S_{△ABC}=2×1=2$，$S_{△DCE}=2S_{△BCD}=2×1=2$
∵ $AF=3CA$，
∴ $FC=AF+AC=4AC$
又
∵ △ACD和△FCD同高，△ACE和△FCE同高
∴ $S_{△FCD}=4S_{△ACD}=4×2=8$，$S_{△FCE}=4S_{△ACE}=4×2=8$
∴ $S_{△DEF}=S_{△FCD}+S_{△FCE}+S_{△DCE}=8+8+2=18$
【答案】
18
【知识点】
同高三角形面积性质、三角形面积计算、辅助线构造
【点评】
本题考查三角形面积的相关计算，解题的关键是合理添加辅助线拆分目标图形，将未知面积转化为多个可推导的小三角形面积之和，计算时要准确对应线段倍分关系和面积的比例，避免倍数计算错误。
【难度系数】
0.4

【分析】
(1) 要判断DO是否为△DEF的角平分线，核心是证明∠EDA=∠FDA。首先根据AD是△ABC的角平分线可得到一组等角，再结合两组平行线的性质，利用“两直线平行，内错角相等”得到角的等量关系，通过等量代换即可证明∠EDA=∠FDA，从而得到结论。
(2) 条件交换类问题，需将原结论作为已知条件，把选中的原条件作为待证结论，依然结合角平分线的定义、平行线的性质与判定进行推导，验证逻辑是否成立即可。
【解析】
(1) DO是△DEF的角平分线，理由如下：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD。
∵$DE//AB$，$DF//AC$，
∴∠FAD=∠EDA（两直线平行，内错角相等），∠EAD=∠FDA（两直线平行，内错角相等）。
∴∠EDA=∠FDA。
又
∵点O在EF上，
∴DO是△DEF的角平分线。
(2) 所得说法正确，示例：选择与“$DE//AB$”交换，理由如下：
∵$DF//AC$，
∴∠EAD=∠FDA（两直线平行，内错角相等）。
∵AD是△ABC的角平分线，DO是△DEF的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，∠FDA=∠EDA。
∴∠FAD=∠EDA，
∴$DE//AB$（内错角相等，两直线平行）。
（交换其他条件推导合理即可）
【答案】
(1) DO 是$△DEF$的角平分线. 理由如下:因为 AD 是$△ABC$的角平分线,所以$∠EAD=∠FAD$. 因为$DE// AB$,$DF// AC$,所以$∠FAD=∠EDA$,$∠EAD=∠FDA$. 所以$∠EDA=∠FDA$. 又点 O 在 EF 上,所以 DO 是$△DEF$的角平分线.
(2) 正确.答案不唯一,如:与“$DE// AB$”交换. 理由如下:因为$DF// AC$,所以$∠EAD=∠FDA$. 因为 AD 是$△ABC$的角平分线,DO 是$△DEF$的角平分线,所以$∠EAD=∠FAD$,$∠FDA=∠EDA$. 所以$∠FAD=∠EDA$. 所以$DE// AB$.
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题重点考查角平分线定义和平行线性质、判定的综合应用，解题关键是理清角之间的等量转换关系，条件互换类问题只需明确已知和待证，逐步推导即可验证结论是否成立。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要使AD将△ABC分为面积相等的两部分，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，若两个三角形同高，只需底相等则面积相等，因此只需找到BC的中点即可，三角形的中线恰好具有平分三角形面积的性质。
（2）已知AD可平分△ABC的面积，要构造折线AEF平分面积，可利用等积变换思路：通过作平行线，利用平行线间距离处处相等的性质，构造同底等高的三角形，对面积进行等价转化，即可得到满足要求的点F。
【解析】
（1）取BC的中点D，连接AD，点D即为所求。
理由：△ABD和△ACD共享从点A到BC的高，且D为BC中点，故$BD=CD$，两个三角形等底同高，因此$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，AD将菜地分为面积相等的两部分。
（2）存在符合要求的点F，构造方法如下：
① 取BC的中点D，连接AD、AE、DE；
② 过点A作$AF// DE$，交BC于点F，连接EF，点F即为所求。
理由：因为D是BC中点，故$S_{△ADB}=S_{△ADC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。由于$AF// DE$，点D和点E到直线AF的距离相等，△AEF和△ADF同底AF、高相等，因此$S_{△AEF}=S_{△ADF}$。两个三角形同时减去公共部分△AOF的面积，可得$S_{△AEO}=S_{△DFO}$，因此$S_{四边形ABFE}=S_{△ABD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，即折线A-E-F将菜地分为面积相等的两部分。
【答案】
14. (1) 如图①,取 BC 的中点 D,点 D 即为所求.理由如下:连接 AD. 因为 D 为 BC 的中点,所以$BD=CD$,即$△ABD$与$△ACD$等底同高. 所以$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
(2) 存在. 如图②,取 BC 的中点 D,连接 AD,AE,DE,过点 A 作$AF// DE$,交 BC 于点 F,点 F 即为所求. 理由如下:连接 EF 交 AD 于点 O. 因为 D 为 BC 的中点,所以$S_{△ADB}=S_{△ADC}$. 因为$DE// AF$,所以点 D 到 AF 的距离与点 E 到 AF 的距离相等,即$S_{△AEF}=S_{△ADF}$. 所以$S_{△AEO}=S_{△DFO}$,即$S_{四边形ABFE}=S_{四边形AEFC}$。
【知识点】
三角形中线的性质，等积变换，平行线的性质
【点评】
本题以三角形面积等分为载体，核心考查“等底等高的三角形面积相等”的性质，第二问通过平行线实现面积的等价转化，是三角形面积应用的典型题型，能有效锻炼几何转化思维。
【难度系数】
0.6