1. 如图,在△ABC中,∠A=60°,O为△ABC内一点,且∠BOC=140°.若$BO_1$平分∠ABO,$CO_1$平分∠ACO,$BO_2$平分∠$ABO_1$,$CO_2$平分∠$ACO_1$,…,$BO_n$平分∠$ABO_{n-1}$,$CO_n$平分∠$ACO_{n-1}$(n为大于1的正整数),则∠$BO_1C$=
100°
,∠$BO_{2026}C$=
$60°+\dfrac{80°}{2^{2026}}$
.
答案：1. $100°\quad 60°+\dfrac{80°}{2^{2026}}$ 解析: 因为$∠ BOC=140°$,所以$∠1+∠2=180°-∠ BOC=40°$. 因为$∠ A=60°$,所以$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=120°$. 所以$∠ ABO+∠ ACO=∠ ABC+∠ ACB-∠1-∠2=80°$. 因为$O_1B$平分$∠ ABO$,$O_1C$平分$∠ ACO$,所以$∠ ABO_1=\dfrac{1}{2}∠ ABO$,$∠ ACO_1=\dfrac{1}{2}∠ ACO$. 所以$∠ ABO_1+∠ ACO_1=\dfrac{1}{2}(∠ ABO+∠ ACO)=40°$,即$∠ O_1BC+∠ O_1CB=∠ ABC-∠ ABO_1+∠ ACB-∠ ACO_1=80°$. 所以$∠ BO_1C=180°-(∠ O_1BC+∠ O_1CB)=100°$. 同理,得$∠ ABO_2+∠ ACO_2=\dfrac{1}{2}(∠ ABO_1+∠ ACO_1)=20°$, 即$∠ O_2BC+∠ O_2CB=∠ ABC-∠ ABO_2+∠ ACB-∠ ACO_2=100°$. 所以$∠ BO_2C=180°-(∠ O_2BC+∠ O_2CB)=80°$. 归纳类推,得$∠ BO_nC=180°-(120°-\dfrac{80°}{2^n})=60°+\dfrac{80°}{2^n}$, 其中$n$为正整数, 所以$∠ BO_{2026}C=60°+\dfrac{80°}{2^{2026}}$.
解析：
【分析】
解题时先利用三角形内角和定理，求出∠1+∠2的度数，再结合∠A的度数求出∠ABC与∠ACB的和，进而得到∠ABO+∠ACO的总度数；接下来根据角平分线的定义，可得每一次平分后，∠ABOₙ+∠ACOₙ的度数是上一级的$\frac{1}{2}$，再代入三角形内角和公式求出对应∠BOₙC的度数，最后归纳出通用规律代入n=2026即可求解。
【解析】
解：
∵∠BOC=140°，在△BOC中，$∠1+∠2=180°-∠ BOC=180°-140°=40°$，
在△ABC中，∠A=60°，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴$∠ ABO+∠ ACO=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠1+∠2)=120°-40°=80°$。
①求$∠ BO_1C$：
∵$BO_1$平分$∠ ABO$，$CO_1$平分$∠ ACO$，
∴$∠ ABO_1=\frac{1}{2}∠ ABO$，$∠ ACO_1=\frac{1}{2}∠ ACO$，
∴$∠ ABO_1+∠ ACO_1=\frac{1}{2}(∠ ABO+∠ ACO)=\frac{1}{2}×80°=40°$，
则$∠ O_1BC+∠ O_1CB=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ ABO_1+∠ ACO_1)=120°-40°=80°$，
在△$BO_1C$中，$∠ BO_1C=180°-(∠ O_1BC+∠ O_1CB)=180°-80°=100°$。
②推导通用规律求$∠ BO_{2026}C$：
同理，$BO_2$平分$∠ ABO_1$，$CO_2$平分$∠ ACO_1$，可得$∠ ABO_2+∠ ACO_2=\frac{1}{2}(∠ ABO_1+∠ ACO_1)=20°$，
此时$∠ BO_2C=180°-(120°-20°)=80°$，
以此类推，对正整数n，$∠ ABO_n+∠ ACO_n=\frac{80°}{2^n}$，
∴$∠ BO_nC=180°-(120°-\frac{80°}{2^n})=60°+\frac{80°}{2^n}$，
当n=2026时，$∠ BO_{2026}C=60°+\frac{80°}{2^{2026}}$。
【答案】
$100°$；$60°+\dfrac{80°}{2^{2026}}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题将角平分线的性质与三角形内角和定理结合，需要通过计算前几个特殊角度归纳出通用的规律，既考查基础几何知识的应用，也考查归纳推理的能力，解题的关键是找准每次平分后角度的变化规律。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线交于点$P$，将$△ ABC$沿$DE$折叠使得点$A$与点$P$重合.若$∠ BDP + ∠ CEP = 76°$，则$∠ BPC$的度数是$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
答案：2. $109°$ 解析: 由折叠的性质,得$∠ PDE=∠ ADE$,$∠ PED=∠ AED$, 所以$∠ BDP+2∠ ADE=180°$,$∠ CEP+2∠ AED=180°$, 即$∠ BDP+∠ CEP+2(∠ ADE+∠ AED)=360°$. 因为$∠ BDP+∠ CEP=76°$, 所以$∠ ADE+∠ AED=142°$. 又$∠ ADE+∠ AED=180°-∠ A=∠ ABC+∠ ACB$, 所以$∠ ABC+∠ ACB=142°$. 因为$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线交于点$P$, 所以$∠ PCB=\dfrac{1}{2}∠ ACB$,$∠ PBC=\dfrac{1}{2}∠ ABC$. 所以$∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=180°-\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=109°$.
解析：
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：①先利用折叠前后对应角相等的性质，结合平角为180°的特点，把已知的∠BDP+∠CEP=76°代入，求出∠ADE+∠AED的度数；②再根据三角形内角和定理，得到∠ADE+∠AED=180°-∠A，同时△ABC中∠ABC+∠ACB也等于180°-∠A，由此得到∠ABC与∠ACB的和；③最后利用角平分线的定义，得到△BPC中两个底角的和，再用三角形内角和即可求出∠BPC的度数。
【解析】
由折叠的性质可得：$∠ PDE=∠ ADE$，$∠ PED=∠ AED$。
因为平角为$180°$，所以$∠ BDP + 2∠ ADE = 180°$，$∠ CEP + 2∠ AED = 180°$，
将两式相加得：$∠ BDP + ∠ CEP + 2(∠ ADE + ∠ AED) = 360°$，
已知$∠ BDP + ∠ CEP = 76°$，代入得：$76° + 2(∠ ADE + ∠ AED) = 360°$，
解得：$∠ ADE + ∠ AED = (360° - 76°) ÷ 2 = 142°$。
在$△ ADE$中，根据三角形内角和定理：$∠ ADE + ∠ AED + ∠ A = 180°$，
所以$∠ A = 180° - 142° = 38°$。
在$△ ABC$中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 38° = 142°$。
因为$BP$平分$∠ ABC$，$CP$平分$∠ ACB$，所以$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ ACB$，
因此$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 142° = 71°$。
在$△ BPC$中，$∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 71° = 109°$。
【答案】
$109°$
【知识点】
折叠的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是几何综合类基础题，将折叠性质、三角形内角和、角平分线的知识点结合考查，解题的核心是灵活进行角的等量转化，通过中间量$∠ A$建立起已知条件和待求角之间的联系，熟练掌握双角平分线的角度计算模型可提升解题效率。
【难度系数】
0.65
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线交于点O，$∠ ACB$的邻补角平分线所在直线与$∠ ABC$的平分线相交于点D，与$∠ ABC$的邻补角平分线相交于点E.有下列结论：①$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$；②$∠ D=\frac{1}{2}∠ A$；③$∠ E=∠ A$；④$∠ E+∠ DCF=90°+∠ ABD$.其中一定正确的有（
C
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（第3题）
答案：3. C 解析: 因为$∠ ABC$的平分线与$∠ ACB$的平分线相交于点$O$, 所以$∠ ABD=∠ OBC=\dfrac{1}{2}∠ ABC$,$∠ OCB=∠ OCA=\dfrac{1}{2}∠ ACB$. 所以$∠ OBC+∠ OCB=\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$. 又$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$, 所以$∠ OBC+∠ OCB=90°-\dfrac{1}{2}∠ A$. 所以$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-(90°-\dfrac{1}{2}∠ A)=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$. 故①正确; 因为$CD$平分$∠ ACF$, 所以$∠ DCF=\dfrac{1}{2}∠ ACF$. 因为$∠ ACF=∠ ABC+∠ A$,$∠ DCF=∠ OBC+∠ D$, 所以$\dfrac{1}{2}∠ ACF=\dfrac{1}{2}∠ ABC+\dfrac{1}{2}∠ A$, 即$∠ D=\dfrac{1}{2}∠ A$. 故②正确; 因为$∠ MBC=∠ A+∠ ACB$,$∠ BCN=∠ A+∠ ABC$, 所以$∠ MBC+∠ BCN=∠ A+∠ ACB+∠ A+∠ ABC=180°+∠ A$. 因为$BE$平分$∠ MBC$,$CE$平分$∠ BCN$, 所以$∠ EBC=\dfrac{1}{2}∠ MBC$,$∠ ECB=\dfrac{1}{2}∠ BCN$, 即$∠ EBC+∠ ECB=\dfrac{1}{2}(∠ MBC+∠ BCN)=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$. 所以$∠ E=180°-(∠ EBC+∠ ECB)=180°-(90°+\dfrac{1}{2}∠ A)=90°-\dfrac{1}{2}∠ A$. 故③错误; 因为$∠ DCF=∠ DBC+∠ D$, 所以$∠ E+∠ DCF=90°-\dfrac{1}{2}∠ A+∠ DBC+\dfrac{1}{2}∠ A=90°+∠ DBC$. 因为$∠ ABD=∠ DBC$, 所以$∠ E+∠ DCF=90°+∠ ABD$. 故④正确. 综上,正确的有3个.
解析：
【分析】
本题是三角形角平分线相关的角度结论判断题，解题时需结合角平分线的定义、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，逐个对4个结论进行推导验证即可判断正误。首先利用角平分线表示出相关角的数量关系，再代入内角和或外角公式推导目标角的表达式，和结论对比判断对错即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵ $BO$平分$∠ABC$，$CO$平分$∠ACB$，
∴ $∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$，
∴ $∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)$，
在$△ ABC$中，$∠ABC+∠ACB=180°-∠A$，
∴ $∠OBC+∠OCB=\frac{1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$，
在$△ BOC$中，$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-\frac{1}{2}∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$，故①正确。
2. 验证结论②：
∵ $CD$平分$∠ACF$（$∠ACF$是$∠ACB$的邻补角），
∴ $∠DCF=\frac{1}{2}∠ACF$，
由三角形外角性质可得：$∠ACF=∠ABC+∠A$，$∠DCF=∠DBC+∠D$，
又
∵ $BD$平分$∠ABC$，
∴ $∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC$，
代入得：$\frac{1}{2}(∠ABC+∠A)=\frac{1}{2}∠ABC + ∠D$，
化简得$∠D=\frac{1}{2}∠A$，故②正确。
3. 验证结论③：
∵ $BE$平分$∠MBC$（$∠MBC$是$∠ABC$的邻补角），$CE$平分$∠BCN$（$∠BCN$是$∠ACB$的邻补角），
∴ $∠EBC=\frac{1}{2}∠MBC$，$∠ECB=\frac{1}{2}∠BCN$，
由外角性质得：$∠MBC=∠A+∠ACB$，$∠BCN=∠A+∠ABC$，
∴ $∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A$，
∴ $∠EBC+∠ECB=\frac{1}{2}(∠MBC+∠BCN)=\frac{1}{2}(180°+∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A$，
在$△ BEC$中，$∠E=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A≠∠A$，故③错误。
4. 验证结论④：
由外角性质得$∠DCF=∠DBC+∠D$，
结合前面推导的$∠E=90°-\frac{1}{2}∠A$，$∠D=\frac{1}{2}∠A$，
∴ $∠E+∠DCF=(90°-\frac{1}{2}∠A)+∠DBC+\frac{1}{2}∠A=90°+∠DBC$，
又
∵ $BD$平分$∠ABC$，
∴ $∠ABD=∠DBC$，
∴ $∠E+∠DCF=90°+∠ABD$，故④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查三角形内外角平分线相关的角度计算，解题时需熟练运用角平分线的性质和三角形内外角的数量关系，逐一推导验证结论，注意区分内角平分线和外角平分线对应的角的关系，避免混淆。
【难度系数】
0.6
4. 如图，$∠ ABD$和$∠ ACE$是$△ ABC$的外角，BF和CG分别是$∠ ABD$和$∠ ACE$的平分线，延长FB和GC交于点H.若$∠ A=α$，$∠ H=β$，则$α$与$β$之间的数量关系为
$α+2β=180°$
.
答案：4. $α+2β=180°$ 解析: 因为$BF$和$CG$分别是$∠ ABD$和$∠ ACE$的平分线, 所以$∠ DBF=\dfrac{1}{2}∠ ABD$,$∠ ECG=\dfrac{1}{2}∠ ACE$. 又$∠ ABD=∠ A+∠ ACB$,$∠ ACE=∠ A+∠ ABC$, 所以$∠ ABD+∠ ACE=180°+∠ A$, 即$∠ DBF+∠ ECG=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$. 又$∠ BCH=∠ ECG$,$∠ CBH=∠ DBF$, 所以$∠ BCH+∠ CBH=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$, 即$∠ H=180°-(∠ BCH+∠ CBH)=90°-\dfrac{1}{2}∠ A$. 又$∠ A=α$,$∠ H=β$, 所以$β=90°-\dfrac{1}{2}α$. 整理,得$α+2β=180°$. 所以$α$与$β$之间的数量关系为$α+2β=180°$.
解析：
【分析】
本题是三角形外角平分线相交的角度推导题，解题思路如下：第一步，先利用三角形外角的性质，将△ABC的两个外角∠ABD、∠ACE用内角表示，求出两个外角的和与∠A的关系；第二步，结合角平分线的定义，得到两个外角被平分后的半角之和；第三步，利用对顶角相等，将半角之和转化为△HBC的两个内角之和；第四步，结合三角形内角和为180°，推导∠H与∠A的数量关系，整理即可得到α和β的关系。
【解析】
∵BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的平分线，
∴$∠ DBF=\frac{1}{2}∠ ABD$，$∠ ECG=\frac{1}{2}∠ ACE$。
根据三角形外角的性质：$∠ ABD=∠ A+∠ ACB$，$∠ ACE=∠ A+∠ ABC$，
∴$∠ ABD+∠ ACE=(∠ A+∠ ACB)+(∠ A+∠ ABC)$，
又
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
代入得：$∠ ABD+∠ ACE=180°+∠ A$，
∴$∠ DBF+∠ ECG=\frac{1}{2}(∠ ABD+∠ ACE)=90°+\frac{1}{2}∠ A$。
∵$∠ BCH=∠ ECG$（对顶角相等），$∠ CBH=∠ DBF$（对顶角相等），
∴$∠ BCH+∠ CBH=90°+\frac{1}{2}∠ A$。
在△HBC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ H=180°-(∠ BCH+∠ CBH)=180°-(90°+\frac{1}{2}∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$，
将$∠ A=α$，$∠ H=β$代入得：$β=90°-\frac{1}{2}α$，
整理得：$α+2β=180°$。
【答案】
$α+2β=180°$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度推导的常规题型，核心是将三角形内外角性质与角平分线定义结合，通过等量代换逐步建立未知角和已知角的关系，掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$AE$平分$∠ BAC$，$AD ⊥ BC$于点$D$，$∠ ABD$的平分线$BF$所在直线与射线$AE$相交于点$G$。若$∠ ABC=3∠ C$，且$∠ G=20°$，则$∠ DFB$的度数为（
C
）
A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
（第5题）（第6题）
答案：5. C 解析: 因为$AE$平分$∠ BAC$,$BF$平分$∠ ABD$, 所以$∠ CAE=∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,$∠ ABF=∠ DBF=\dfrac{1}{2}∠ ABD$. 设$∠ CAE=∠ BAE=x$,$∠ C=y$. 又$∠ ABC=3∠ C$, 所以$∠ ABC=3y$. 由外角的性质,得$∠ ABF=∠ BAE+∠ G$,$∠ ABD=∠ BAC+∠ C$. 又$∠ G=20°$, 所以$∠ ABF=x+20°$,$∠ ABD=2x+y$, 即$\dfrac{1}{2}∠ ABD=x+\dfrac{y}{2}$. 所以$\dfrac{y}{2}=20°$, 即$y=40°$. 所以$∠ ABC=120°$, 即$∠ ABD=60°$. 所以$∠ DBF=30°$. 又$AD⊥ BC$, 所以$∠ D=90°$, 即$∠ DFB+∠ DBF=90°$. 所以$∠ DFB=60°$.
解析：
【分析】
解题时首先梳理已知条件：存在两条角平分线（AE平分∠BAC，BF平分∠ABD）、∠ABC和∠C的倍数关系、∠G的已知度数以及AD⊥BC的垂直条件。我们可以通过设未知数表示相关角，利用角平分线定义转化角度关系，再结合三角形外角的性质建立等量关系求出∠C的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余求出目标角∠DFB的度数。
【解析】
解：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴$∠ CAE=∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABF=∠ DBF=\dfrac{1}{2}∠ ABD$。
设$∠ CAE=∠ BAE=x$，$∠ C=y$，
∵$∠ ABC=3∠ C$，
∴$∠ ABC=3y$。
根据三角形外角的性质：
$∠ ABF$是$△ ABG$的外角，故$∠ ABF=∠ BAE+∠ G$；
$∠ ABD$是$△ ABC$的外角，故$∠ ABD=∠ BAC+∠ C$。
已知$∠ G=20°$，代入得$∠ ABF=x+20°$，$∠ ABD=2x+y$，
又
∵$∠ ABF=\dfrac{1}{2}∠ ABD$，
∴$x+20°=\dfrac{1}{2}(2x+y)$，
化简得$\dfrac{y}{2}=20°$，解得$y=40°$，即$∠ C=40°$。
∴$∠ ABC=3×40°=120°$，则$∠ ABD=180°-120°=60°$，
∴$∠ DBF=\dfrac{1}{2}∠ ABD=30°$。
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ D=90°$，
在$Rt△ DFB$中，$∠ DFB+∠ DBF=90°$，
∴$∠ DFB=90°-30°=60°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题核心是通过设未知数建立角度的等量关系，考查了角平分线、三角形外角、直角三角形的相关性质，解题关键是找到不同角之间的转化关系，能够有效锻炼角度推导的逻辑能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=α$,$∠ ABC$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线交于点$A_1$,得$∠ A_1=$
$\dfrac{α}{2}$
;$∠ A_1BC$的平分线与$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$,得$∠ A_2$;$···$;$∠ A_{2\ 025}BC$的平分线与$∠ A_{2\ 025}CD$的平分线交于点$A_{2\ 026}$,得$∠ A_{2\ 026}$,则$∠ A_{2\ 026}=$
$\dfrac{α}{2^{2026}}$
.
答案：6. $\dfrac{α}{2}\quad \dfrac{α}{2^{2026}}$ 解析: 因为$A_1B$是$∠ ABC$的平分线,$A_1C$是$∠ ACD$的平分线, 所以$∠ A_1BC=\dfrac{1}{2}∠ ABC$,$∠ A_1CD=\dfrac{1}{2}∠ ACD$. 又$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$,$∠ A_1CD=∠ A_1BC+∠ A_1$, 所以$\dfrac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=\dfrac{1}{2}∠ ABC+∠ A_1$, 即$∠ A_1=\dfrac{1}{2}∠ A$. 因为$∠ A=α$, 所以$∠ A_1=\dfrac{α}{2}$. 同理,得$∠ A_2BC=\dfrac{1}{2}∠ A_1BC$,$∠ A_2CD=\dfrac{1}{2}∠ A_1CD$. 又$∠ A_1CD=∠ A_1BC+∠ A_1$,$∠ A_2CD=∠ A_2BC+∠ A_2$, 所以$\dfrac{1}{2}(∠ A_1BC+∠ A_1)=\dfrac{1}{2}∠ A_1BC+∠ A_2$, 即$∠ A_2=\dfrac{1}{2}∠ A_1=\dfrac{1}{2}·\dfrac{α}{2}=\dfrac{α}{2^2}$. 以此类推,$∠ A_n=\dfrac{α}{2^n}$($n$为正整数). 所以$∠ A_{2026}=\dfrac{α}{2^{2026}}$.
解析：
【分析】
解题时首先结合角平分线的定义，将平分后的角用原三角形的内角、外角表示，再利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）建立角的等量关系，通过化简推导出∠A₁与∠A的数量关系；再用相同的方法推导∠A₂与∠A₁的关系，总结出∠Aₙ的通用规律，最后代入n=2026即可得到最终结果。
【解析】
∵ $A_1B$平分$∠ABC$，$A_1C$平分$∠ACD$
∴ $∠A_1BC=\dfrac{1}{2}∠ABC$，$∠A_1CD=\dfrac{1}{2}∠ACD$
根据三角形外角的性质：$∠ACD=∠A+∠ABC$，$∠A_1CD=∠A_1BC+∠A_1$
代入得：$\dfrac{1}{2}(∠A+∠ABC)=\dfrac{1}{2}∠ABC+∠A_1$
化简后得$∠A_1=\dfrac{1}{2}∠A$，已知$∠A=α$，故$∠A_1=\dfrac{α}{2}$。
同理，$A_2B$平分$∠A_1BC$，$A_2C$平分$∠A_1CD$
可得$∠A_2=\dfrac{1}{2}∠A_1=\dfrac{α}{2^2}$
以此类推，可总结规律：$∠A_n=\dfrac{α}{2^n}$（n为正整数）
当n=2026时，$∠A_{2026}=\dfrac{α}{2^{2026}}$。
【答案】
$\dfrac{α}{2}$；$\dfrac{α}{2^{2026}}$
【知识点】
三角形外角性质；角平分线定义；规律探究
【点评】
本题是角平分线与三角形外角性质结合的规律探究题，解题核心是通过等量代换推导出后一个角的大小是前一个角的$\dfrac{1}{2}$的通用规律，熟练掌握基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$AB⊥AC$，$D$，$E$分别是射线$AC$，$AB$上的动点，$∠ AED$的平分线与$∠ CDE$的平分线所在直线相交于点$M$.问：$∠ M$的度数是否发生改变？若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由.
答案：7. $∠ M$的度数不变. 因为$AB⊥ AC$, 所以$∠ A=90°$. 因为$∠ AED$的平分线与$∠ CDE$的平分线所在直线相交于点$M$, 所以$∠ MED=\dfrac{1}{2}∠ AED$,$∠ EDF=\dfrac{1}{2}∠ CDE$. 又$∠ CDE=∠ A+∠ AED$,$∠ EDF=∠ M+∠ MED$, 所以$∠ M=∠ EDF-∠ MED=\dfrac{1}{2}∠ CDE-\dfrac{1}{2}∠ AED=\dfrac{1}{2}(∠ CDE-∠ AED)=\dfrac{1}{2}∠ A=45°$, 即$∠ M$的度数不变.
解析：
【分析】
要判断∠M的度数是否改变，我们可以通过推导∠M的表达式，看表达式中是否存在随动点D、E变化的量。首先由AB⊥AC可得到固定直角∠A=90°；再结合角平分线的定义，将∠MED、∠EDM分别用∠AED、∠CDE表示；接下来利用三角形外角的性质，分别得到∠CDE是△ADE的外角，等于∠A与∠AED的和，∠EDM是△MDE的外角，等于∠M与∠MED的和；最后将上述关系代入消元，就能得到∠M的固定值。
【解析】
∠M的度数不发生改变，求解过程如下：
∵$AB⊥AC$，
∴$∠A=90°$。
∵$EM$平分$∠AED$，$DM$平分$∠CDE$，
∴$∠MED=\dfrac{1}{2}∠AED$，$∠EDM=\dfrac{1}{2}∠CDE$。
∵$∠CDE$是$△ ADE$的外角，
∴$∠CDE=∠A+∠AED$。
∵$∠EDM$是$△ MDE$的外角，
∴$∠EDM=∠M+∠MED$。
代入角度关系推导得：
$\begin{aligned}∠M&=∠EDM - ∠MED\\&=\dfrac{1}{2}∠CDE-\dfrac{1}{2}∠AED\\&=\dfrac{1}{2}(∠CDE-∠AED)\\&=\dfrac{1}{2}∠A\\&=\dfrac{1}{2}×90°=45°\end{aligned}$
因此∠M的度数不随D、E的运动发生改变。
【答案】
$∠M$的度数不发生改变，其值为$45°$
【知识点】
垂直的定义，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是典型的双角平分线定值问题，解题核心是利用三角形外角的性质搭建动角和定角之间的联系，通过代数消元得到定值，能有效考查角度关系的推导能力。
【难度系数】
0.7
