【分析】
要解决△AMN周长最小的问题，属于轴对称在最短路径中的应用类问题，解题思路如下：①要使AM+MN+AN的和最小，可通过作点A关于BC、CD的对称点，利用轴对称性质将AM转化为A₁M，AN转化为A₂N，此时周长转化为A₁M+MN+A₂N，根据两点之间线段最短，当A₁、M、N、A₂四点共线时，线段和最小，△AMN周长最小；②求∠AMN+∠ANM的度数时，利用对称得到的角相等关系，结合已知∠BAD的度数先求出∠MAN的度数，再用三角形内角和定理即可计算出两角之和。
【解析】
分别作点A关于BC、CD的对称点$A_1,A_2$，连接$A_1A_2$，分别交BC、CD于点M、N。
根据轴对称的性质可得：$A_1M=AM$，$A_2N = AN$，$∠A_1=∠BAM$，$∠A_2=∠DAN$，且$∠A_1BC = ∠ABC=90°$，$∠A_2DC =∠ADC=90°$，因此$∠ABC+∠A_1BC=180°$，$∠ADC+∠A_2DC=180°$，即$A,B,A_1$三点共线，$A,D,A_2$三点共线。
此时$△AMN$ 的周长为 $AM+AN+MN=A_1M+A_2N+MN$，根据两点之间线段最短，$A_1M+A_2N+MN≥A_1A_2$，因此当M、N在线段$A_1A_2$上时，$△AMN$的周长最小。
在$△ A_1AA_2$中，$∠ A_1+∠ A_2=180°-∠ BAD=180°-110°=70°$，因此$∠ BAM+∠ DAN=∠ A_1+∠ A_2=70°$，可得$∠ MAN=∠ BAD - (∠ BAM+∠ DAN)=110°-70°=40°$。
在$△ AMN$中，根据三角形内角和定理，$∠ AMN+∠ ANM=180°-∠ MAN=180°-40°=140°$。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了轴对称的实际应用与角度计算，解题的关键是掌握最短路径问题的作图方法，通过作对称点将周长最值问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合角的等量关系与三角形内角和定理推导求解即可。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先观察到△ABC是等腰三角形，AC=BC，可先根据三角形内角和计算出两个底角的度数，再结合已知的∠OAB、∠OBA的度数，推导其余相关角的度数。要计算AO的长度，可尝试构造全等三角形，将AO和已知长度的AC建立等量关系，因此考虑作∠CAO的平分线，交BO的延长线于D，连接CD，再过D作AB的垂线，通过多次证明三角形全等，最终得到AO与AC相等的结论。
【解析】
作$∠CAO$的平分线，交BO的延长线于点D，连接CD，过点D作 $DH⊥AB$ 于点H，则$∠DHA=∠DHB=90°$。
因为 $AC=BC=5$，所以$∠CAB=∠CBA$。
因为$∠ACB=80°$，所以$∠CAB=∠CBA = \frac{1}{2}(180°-∠ACB)=50°$。
又$∠OAB=10°$，$∠OBA=30°$，所以$∠CAO=∠CAB-∠OAB=40°$，$∠CBO=∠CBA-∠OBA=20°$，$∠AOD=∠OAB+∠OBA=40°$。
所以$∠CAD=∠OAD=\frac{1}{2}∠CAO=20°$，则$∠DAH=∠OAD+∠OAB=30°$，即$∠DAH=∠DBH$。
在$△DAH$和$△DBH$中：
$\begin{cases}∠DAH=∠DBH \\∠DHA=∠DHB \\DH=DH\end{cases}$
所以 $△DAH ≌ △DBH$(AAS)，得 $DA=DB$。
在$△ACD$和$△BCD$中：
$\begin{cases}AC=BC \\CD=CD \\DA=DB\end{cases}$
所以$△ACD ≌ △BCD$(SSS)，得$∠ACD=∠BCD=\frac{1}{2}∠ACB=40°$，因此$∠ACD=∠AOD$。
在$△ACD$和$△AOD$中：
$\begin{cases}∠ACD=∠AOD \\∠CAD=∠OAD \\AD=AD\end{cases}$
所以$△ACD ≌ △AOD$(AAS)，得 $AC=AO$，因此$AO=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形全等的综合应用类题目，解题核心是合理构造辅助线，通过角度计算找到全等三角形的判定条件，利用全等的性质实现边的等量转换，对辅助线的构造能力和角度推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

【分析】
首先观察题干条件，已知AC平分∠BAD，且CE垂直AB，根据角平分线的性质，可过点C作AD延长线的垂线CF，得到CE=CF，进而证明△AEC和△AFC全等，得到AE=AF；再结合四边形ABCD对角互补的条件，可推出∠B=∠CDF，从而证明△CEB和△CFD全等，得到BE=DF；最后设BE为未知数，利用AE=AF建立等量关系求解，即可算出AE与BE的比值。
【解析】
如图，过点C作 $CF⊥AD$，交AD的延长线于点F，则$∠ CFD=∠ AFC=90°$。
$\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ AEC=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ AEC=∠ AFC$，$∠ CEB=∠ CFD$。
$\because ∠ BAC=∠ DAC$，$\therefore AC$平分$∠ BAD$，根据角平分线的性质得 $CE=CF$。
在$△ AEC$和$△ AFC$中：
$\begin{cases}∠ AEC=∠ AFC \\∠ EAC=∠ FAC \\AC=AC\end{cases}$
$\therefore △ AEC ≌ △ AFC$（AAS），$\therefore AE=AF$。
$\because$ 四边形ABCD的对角互补，$\therefore ∠ B + ∠ ADC = 180°$，
又$\because ∠ CDF + ∠ ADC = 180°$，$\therefore ∠ B=∠ CDF$。
在$△ CEB$和$△ CFD$中：
$\begin{cases}∠ CEB=∠ CFD \\∠ B=∠ CDF \\CE=CF\end{cases}$
$\therefore △ CEB ≌ △ CFD$（AAS），$\therefore BE=DF$。
设 $BE=DF=a$，$\because AB=15$，$AD=12$，
$\therefore AE=15-a$，$AF=12+a$，
由$AE=AF$得：$12+a=15-a$，解得$a=1.5$。
$\therefore AE=15-1.5=13.5$，$BE=1.5$，
$\therefore \frac{AE}{BE}=\frac{13.5}{1.5}=9$。

【答案】
9
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，补角的性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是结合角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将已知线段长度和待求线段建立关联，再利用对角互补的条件推导等角，通过全等性质得到线段等量关系，列方程求解即可得到结果，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，顶角∠A=20°，可先求出底角∠ABC=∠ACB=80°，但题目给出的AD=BC的条件无法直接利用，因此考虑通过构造辅助线转化相等线段：以BC为边作等边三角形BCE，将BC转化为BE，可得AD=BE，再结合等腰三角形三线合一的性质得到相关角的度数，进而证明△ABD和△BAE全等，即可求出∠DBA的度数。
【解析】
在BC上方以BC为边作等边三角形BCE，连接AE，
∴$BC = BE = EC$，$∠EBC =∠ECB=60°$。
∵$AD=BC$，
∴$AD=BE$。
∵$AB=AC$，$∠BAC=20°$，
∴$∠ABC=∠ACB$，直线AE垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴$∠EAB=\frac{1}{2}∠BAC=10°$。
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ABC=\frac{1}{2}×(180°-∠BAC)=\frac{1}{2}×(180°-20°)=80°$，
∴$∠ABE=∠ABC - ∠EBC=80°-60°=20°$，
∴$∠ABE=∠BAD=20°$。
在$△ ABD$和$△ BAE$中：
$\{\begin{array}{l}AD=BE\\∠BAD=∠ABE\\AB=BA\end{array} $
∴$△ ABD ≌ △ BAE$（SAS），
∴$∠DBA =∠EAB=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的经典题型，解题关键是通过构造等边三角形转化相等线段，构造出全等三角形，将待求角转化为已知可求的角，综合考察了辅助线构造能力和特殊三角形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.3

【分析】
解题时首先回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合题目中$OC=CP=\frac{1}{2}AB$的条件，可判断O、P两点中必有一个是斜边AB的中点。接下来通过分析三种临界情况求n的范围：第一种是O与端点B重合，求n的最小值；第二种是O与端点A重合，求n的最大值；第三种是O、P两点重合，该情况不符合题意要排除，综合三类情况即可得到n的取值范围。
【解析】
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合$OC=CP=\frac{1}{2}AB$（O、P两点不重合）的条件，可得O、P两点中必有一点为斜边AB的中点。
设P为AB的中点：
1. 如图①，当点O与点B重合时，$OC=CP=\frac{1}{2}AB=PB=BC$，因此$△CPB$是等边三角形，可得$∠B=60°$。
∵$∠ACB=90°$，直角三角形两锐角互余，
∴$∠A=90°-60°=30°$，即$n=30$，此时n取最小值。
2. 如图②，当点P与点O重合时，不符合“O、P两点不重合”的要求，此时$△ABC$为等腰直角三角形，$∠A=∠B=45°$，即$n=45$，该值需要排除。
3. 如图③，当点O与点A重合时，$OC=PC=\frac{1}{2}AB=AP=AC$，因此$△APC$是等边三角形，可得$∠A=60°$，即$n=60$，此时n取最大值。
综上，n的取值范围是$30≤n≤60$且$n≠45$。

【答案】
$30≤n≤60$ 且 $n≠45$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何动态取值范围类问题，解题核心是利用直角三角形斜边中线的性质确定其中一个点的位置，再通过分析极端临界情况、排除不符合题意的特殊情况得到最终结果，侧重考查几何性质的综合运用能力和分类讨论的思维。
【难度系数】
0.4

【分析】
本题已知多个角的数量关系及AB、AC的长度，要求CD的长，核心思路是通过构造辅助线创造全等三角形的条件，将已知线段转化为与CD相关的线段。首先由∠ADB=150°可得其邻补角为30°，与已知∠DBC=30°相等，因此先延长AD交BC于E，过E作EF⊥BD于F，延长DC交射线FE于H，先证明△BEF≌△DEF得到BE=DE，再依次证明△ABE≌△HDE、△ACE≌△HCE，分别得到HD=AB、HC=AC，最后通过线段差即可求出CD的长度。
【解析】
延长AD交BC于点E，过点E作$EF⊥BD$于点F，延长DC交射线FE于点H。
∴$∠BFE=∠DFE=90°$，
∵$∠ADB+∠EDF=180°$，$∠ADC+∠HDE=180°$，
又
∵$∠ADB=150°$，$∠DBC=30°$，$∠ABC+∠ADC=180°$，
∴$∠ABC=∠HDE$，$∠EDF = 180° - ∠ADB = 30°$，即$∠EDF =∠DBC$。
在$△BEF$和$△DEF$中：
$\{\begin{array}{l}∠BFE=∠DFE\\∠EBF=∠EDF\\EF=EF\end{array} $
∴$△BEF ≌ △DEF$(AAS)，
∴$∠BEF = ∠DEF$，$BE = DE$。
∵在$Rt△BEF$中，$∠DBC+∠BEF=90°$，
∴$∠BEF=∠DEF=60°$，
∴$∠CEH = 60°$，$∠BEA = 180°-∠BEF=120°$，
∵$∠BEA +∠DEC=180°$，
∴$∠DEC=180°-∠BEA=60°$，即$∠CEH=∠DEC$，$∠DEH=180°-∠CEH=120°$，
∴$∠BEA=∠DEH$。
在$△ABE$和$△HDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠HDE\\BE=DE\\∠BEA=∠DEH\end{array} $
∴$△ABE ≌ △HDE$(ASA)，
∴ $AB=HD$，$AE=HE$，
∵ $AB=8$，
∴ $HD=8$。
在$△ACE$和$△HCE$中：
$\{\begin{array}{l}AE=HE\\∠AEC=∠HEC\\CE=CE\end{array} $
∴$△ACE ≌ △HCE$(SAS)，
∴ $AC=HC$，
∵$AC=5$，
∴ $HC=5$，
∴ $CD=HD-HC=8-5=3$。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，解题关键是结合已知的特殊角、角互补的关系合理构造辅助线，通过多次全等三角形的证明实现已知线段向目标线段的转化，对学生的逻辑推理能力和辅助线构造能力有较高要求。
【难度系数】
0.3

【分析】
(1) 要证$BC'⊥BC$，即证$∠C'BD=90°$。首先根据轴对称的性质可得$△AC'D≌△ACD$，得到$C'D=CD$、$∠ADC'=∠ADC=60°$，可推出$∠BDC'=60°$。结合已知$BD=\frac{1}{2}CD$即$BD=\frac{1}{2}C'D$，可构造等边三角形$△BDP$，利用等边三角形性质、等腰三角形性质和外角定理推导$∠C'BD$的度数即可得证。
(2) 要求$∠C$的度数，由轴对称性质知$∠C=∠AC'D$，因此只需计算$∠AC'D$的度数。结合(1)中$∠C'BD=90°$和已知$∠ABC=45°$，可得$AB$平分$∠C'BC$，再结合$AD$平分$∠CDC'$，利用角平分线的性质可得点A到$C'D$、$BC'$的距离相等，通过HL证明$Rt△AC'F≌Rt△AC'G$得到$∠AC'F=∠AC'G$，结合平角性质即可算出$∠AC'D$的度数，即得$∠C$的度数。
【解析】
(1) 由轴对称的性质可知$△AC'D ≌ △ACD$，
$\therefore ∠ADC' =∠ADC$，$C'D=CD$。
$\because ∠ADC=60°$，且$∠BDC'+∠ADC'+∠ADC=180°$，
$\therefore ∠BDC'=180°-60°-60°=60°$。
在$C'D$上取点$P$，使$PD=BD$，连接$PB$，
$\because ∠BDP=60°$，$PD=BD$，
$\therefore △BDP$是等边三角形，
$\therefore BP=BD=PD$，$∠PBD=∠BPD=60°$。
又$\because BD=\frac{1}{2}CD$，$CD=C'D$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}C'D$，即$C'D=2BD=2PD$，
$\therefore PC'=C'D-PD=BD=BP$，
$\therefore ∠BC'P=∠PBC'$。
$\because ∠BPD$是$△PBC'$的外角，
$\therefore ∠BPD=∠BC'P +∠PBC'=2∠BC'P$，
$\therefore ∠BC'P=\frac{1}{2}∠BPD=30°$，
$\therefore ∠C'BD=∠PBC'+∠PBD=30°+60°=90°$，
$\therefore BC'⊥BC$。
(2) 过点$A$分别作$AE⊥BC$于$E$，$AF⊥C'D$于$F$，$AG⊥BC'$交$BC'$的延长线于$G$。
由(1)知$∠ADC'=∠ADC$，即$AD$平分$∠CDC'$，根据角平分线的性质，得$AE=AF$。
$\because ∠C'BD=90°$，即$∠ABC+∠ABC'=90°$，已知$∠ABC=45°$，
$\therefore ∠ABC'=90°-45°=45°=∠ABC$，即$AB$平分$∠C'BC$，根据角平分线的性质，得$AE=AG$，
$\therefore AF=AG$。
在$Rt△AC'F$和$Rt△AC'G$中，
$\{\begin{array}{l} AC'=AC'\\ AF=AG\end{array} $
$\therefore Rt△AC'F ≌ Rt△AC'G$（HL），
$\therefore ∠AC'F=∠AC'G$。
$\because ∠BC'P +∠AC'F +∠AC'G=180°$，$∠BC'P=30°$，
$\therefore ∠AC'F=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
由轴对称性质知$∠C=∠AC'D=∠AC'F=75°$。
【答案】
(1) 由题意,得$△AC'D ≌ △ACD$,所以$∠ADC' =∠ADC,∠AC'D=∠C,C'D=CD$. 又$∠ADC=60°$,$∠BDC'+∠ADC'+∠ADC=180°$,所以$∠BDC'=60°$. 如图,在边$C'D$上取点 P,使$PD=BD$,连接 PB,则$△BDP$ 是等边三角形. 所以 $BP=BD=PD,∠PBD=∠BPD=60°$. 又 $BD=\frac{1}{2}CD$,所以 $BD=\frac{1}{2}C'D$,即$PC' = PD = BP$. 所以 $∠BC'P = ∠PBC'$. 又$∠BPD = ∠BC'P + ∠PBC'$, 所以 $∠BC'P =∠PBC'=\frac{1}{2}∠BPD=30°$,即$∠C'BD=∠PBC'+∠PBD=90°$. 所以 $BC'⊥BC$.
(2) 如图,过点 A 分别作$BC,C'D,BC'$的垂线,垂足分别为 E,F,G. 由(1),得$∠AC'D=∠C,∠BC'P=30°,∠ADC'=∠ADC,∠C'BD=90°$. 所以 DA 平分$∠CDC'$,即 $AE=AF$. 又 $∠C'BD = ∠ABC +∠ABC',∠ABC = 45°$, 所以 $∠ABC' = 45°$, 即$∠ABC'=∠ABC$. 所以 AB 平分$∠C'BD$,即 $AE=AG$. 所以 $AF=AG$. 又 $AC'=AC'$,所以 $Rt△AC'F ≌ Rt△AC'G$(HL). 所以$∠AC'F=∠AC'G$. 又$∠BC'P+∠AC'F+∠AC'G=180°$,所以$∠AC'F=\frac{1}{2}(180°-∠BC'P)=75°$,即$∠C=75°$.

【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 等边三角形的判定与性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题综合考查了轴对称变换、特殊三角形的性质、角平分线性质及全等三角形的判定，解题时需要合理构造辅助线梳理边角关系，对综合运用几何知识点的能力和逻辑推理能力有较高要求。
【难度系数】
0.3