【分析】
要判断能否裁出符合要求的长方形，不能仅对比两块纸片的面积大小，核心是对比长方形的长和正方形的边长：若长方形的长不大于正方形的边长，则可以裁出，反之则不能。解题步骤如下：第一步，根据长方形的长宽比设未知数，结合长方形面积列方程求出长方形的长和宽；第二步，根据正方形面积求出正方形的边长；第三步，比较长方形的长与正方形边长的大小，得出结论。
【解析】
设长方形纸片的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$）。
由长方形面积为$294\ \mathrm{cm}^2$，可得：
$3x· 2x=294$
化简得$6x^2=294$，即$x^2=49$。
因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{49}=7$。
因此长方形的长为$3x=3×7=21\ \mathrm{cm}$，宽为$2x=2×7=14\ \mathrm{cm}$。
面积为$444\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片的边长为$\sqrt{444}\ \mathrm{cm}$。
因为$444＞441=21^2$，所以$\sqrt{444}＞\sqrt{441}=21$，即正方形边长大于长方形的长，且长方形的宽14cm也小于正方形边长，因此可以沿着边的方向裁出符合要求的长方形。
【答案】
她的想法能实现。理由如下：长方形长、宽分别为21 cm、14 cm，正方形纸片的边长为$\sqrt{444}\ \mathrm{cm}$，$\sqrt{444}＞\sqrt{441}=21$，故能裁出符合要求的长方形。
【知识点】
算术平方根计算，实数大小比较，面积公式应用
【点评】
本题容易出现仅靠面积大小判断能否裁剪的错误，解题时需要结合边长的限制条件，通过计算对比边长大小才能得到正确结论，考查了实际问题中的算术平方根应用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决本题，首先明确：若一个数的算术平方根是整数，则这个数本身是完全平方数。第一步先将被开方数150分解质因数，分离出其中能开得尽方的因数，推导得出x需要满足的特征；再结合x的取值范围，找出所有符合条件的整数x，最后求和即可得到结果。
【解析】
先对150分解质因数：$150=5^2×6$，因此$\sqrt{150x}=\sqrt{5^2×6x}=5\sqrt{6x}$。
因为$\sqrt{150x}$是整数，所以$\sqrt{6x}$必须是整数，即$6x$是完全平方数。
完全平方数的所有质因数的指数均为偶数，6的质因数为2和3，各有1次，因此x必须包含因数$2×3=6$，可设$x=6k^2$（k为正整数）。
已知$0＜x＜150$，代入得$0＜6k^2＜150$，化简得$0＜k^2＜25$，所以正整数k可取1、2、3、4：
当k=1时，$x=6×1^2=6$
当k=2时，$x=6×2^2=24$
当k=3时，$x=6×3^2=54$
当k=4时，$x=6×4^2=96$
k=5时$x=6×25=150$，不符合$x＜150$的要求，舍去。
将所有符合条件的x相加：$6+24+54+96=180$。
【答案】B
【知识点】
算术平方根的定义，完全平方数的性质
【点评】
本题核心考查算术平方根的意义，解题关键是根据算术平方根为整数的特征，推导出被开方数为完全平方数，再结合取值范围筛选符合条件的x，解题时需注意边界值的取舍，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先明确min函数的含义是取三个数中的最小值，由算术平方根的被开方数非负可得x≥0，若x=0时三个数的最小值为0，不符合题意，因此x＞0。解题时采用分类讨论的思路：分别假设√x、x²、x是最小值且等于1/16，求出对应的x值后，再计算另外两个数，验证此时1/16是否为三个数中的最小值，若存在更小的数则该情况不成立，最终筛选出符合条件的x即可。
【解析】
由题意可知x＞0，分三类讨论：
1. 当$\sqrt{x}=\frac{1}{16}$时，解得$x=\frac{1}{256}$，此时$x^2=(\frac{1}{256})^2=\frac{1}{65536}$，显然$\frac{1}{65536}＜\frac{1}{256}＜\frac{1}{16}$，三个数的最小值为$\frac{1}{65536}$，不符合题意；
2. 当$x^2=\frac{1}{16}$时，结合x＞0解得$x=\frac{1}{4}$，此时$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，三个数的大小为$\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}$，最小值为$\frac{1}{16}$，符合题意；
3. 当$x=\frac{1}{16}$时，此时$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$，$x^2=(\frac{1}{16})^2=\frac{1}{256}$，显然$\frac{1}{256}＜\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}$，三个数的最小值为$\frac{1}{256}$，不符合题意。
综上，x的值为$\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
算术平方根计算；新定义运算；分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查算术平方根的相关计算，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，分类讨论后注意验证结果是否符合“取最小值”的要求，避免未检验导致的错误。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先（1）部分通过计算具体正数、0、负数的平方的算术平方根，归纳得到$\sqrt{a^2}$的化简规律；再计算非负数的算术平方根的平方，归纳得到$(\sqrt{a})^2$的化简规律。（2）部分应用规律解题时，先根据数轴上a、b的位置判断a、b、$a-b$、$b-a$的正负性，再结合$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$的性质将式子转化为绝对值化简问题，最后去括号合并同类项即可得到结果。
【解析】
（1）① 计算得：
$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt{5^2}=\sqrt{25}=5$，
$\sqrt{6^2}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$，
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$，$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$。
观察结果可归纳：对于任意有理数$a$，$\sqrt{a^2}=|a|$。
② 计算得：
$(\sqrt{4})^2=2^2=4$，$(\sqrt{9})^2=3^2=9$，
$(\sqrt{25})^2=5^2=25$，$(\sqrt{36})^2=6^2=36$，
$(\sqrt{49})^2=7^2=49$，$(\sqrt{0})^2=0^2=0$。
观察结果可归纳：对于任意非负有理数$a$，$(\sqrt{a})^2=a$。
（2）由数轴可知$-1＜a＜0＜b＜1$，因此$a＜0$，$b＞0$，$a-b＜0$，$b-a＞0$，代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=|a|-|b|+|a-b|-(b-a)\\&=-a - b + [-(a-b)] - b + a\\&=-a - b -a + b -b + a\\&=-a -b\end{aligned}$
【答案】
(1) ① $\boxed{2}$；$\boxed{5}$；$\boxed{6}$；$\boxed{0}$；$\boxed{3}$；$\boxed{6}$；$\boxed{|a|}$
② $\boxed{4}$；$\boxed{9}$；$\boxed{25}$；$\boxed{36}$；$\boxed{49}$；$\boxed{0}$；$\boxed{a}$
(2) $\boxed{-a-b}$
【知识点】
二次根式的性质；绝对值化简；数轴的应用
【点评】
本题通过从特殊到一般的推理过程总结二次根式的核心性质，再结合数轴判断代数式正负完成化简，解题时需注意$(\sqrt{a})^2$成立的前提是$a≥0$，去绝对值时要先判断绝对值内式子的正负，避免符号出错。
【难度系数】
0.7