【分析】
解题思路如下：首先明确平方根与算术平方根的符号规则：①$\sqrt{a}$表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数；②$\pm\sqrt{a}$才表示$a$的平方根，正数的平方根有2个，互为相反数。题目要求写出“16的平方根是±4”的数学表达式，首先16的平方根的正确表示是$\pm\sqrt{16}$，它的运算结果为±4，对应表达式为$\pm\sqrt{16}=\pm4$，再逐一排查各选项的错误即可选出正确答案。
【解析】
首先回忆平方根的相关表示规则：正数$a$的平方根记作$\pm\sqrt{a}$，其中$\sqrt{a}$是$a$的算术平方根，结果为非负数。
1. 推导正确表达式：16的平方根需用$\pm\sqrt{16}$表示，其运算结果为±4，因此对应的数学表达式为$\pm\sqrt{16}=\pm4$。
2. 逐一判断选项：
A选项：$\sqrt{16}=4$表示16的算术平方根是4，仅对应正的平方根，不符合题意；
B选项：$\pm\sqrt{16}$的结果是±4，和右侧的4不相等，等式错误；
C选项：$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，结果只能是4，不能等于±4，等式错误；
D选项：$\pm\sqrt{16}=\pm4$准确表示了16的平方根是±4，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平方根的概念；平方根的符号表示；算术平方根的概念
【点评】
本题核心考查平方根与算术平方根的符号差异，要注意根号前没有±号时，仅表示非负的算术平方根，求一个正数的平方根时必须在根号前添加±号，避免混淆两者的表示。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先从平方的基本性质切入，首先任意实数的平方都是非负数，由此可以先确定a的取值范围，再结合平方根、算术平方根的定义，逐个分析每个选项的正确性，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据平方的性质可知，任意实数的平方都大于等于0，即$x^2 ≥ 0$。
已知$x^2=a$，因此$a=x^2 ≥ 0$，即a一定是非负数，故A选项说法正确。
再逐一分析其余选项：
B选项：若$x^2=a$，则x是a的平方根，算术平方根仅指平方根中非负的那一个，x也可能为负数，比如$(-2)^2=4$，-2不是4的算术平方根，因此B错误。
C选项：x不一定是正数，x可以是负数，也可以是0，比如$0^2=0$、$(-3)^2=9$均满足等式，因此C错误。
D选项：当x=0时，$0^2=0=a$，等式成立，因此x可以为0，D错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方的非负性；平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题考查平方的性质与平方根、算术平方根的概念辨析，解题的关键是明确平方根包含正负两种情况，算术平方根仅指非负的平方根，同时牢记平方数恒为非负数。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先明确平方根的定义：若一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数。对于第(1)问，直接根据定义找平方等于25的数即可；第(2)问是易错题，不能直接求81的平方根，需要先计算$\sqrt{81}$的结果（$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，结果为正），再对计算得到的数求平方根。
【解析】
(1) 因为$(±5)^2=25$，根据平方根的定义，可得25的平方根是±5；
(2) 先计算$\sqrt{81}$的值：$\sqrt{81}$表示81的算术平方根，因此$\sqrt{81}=9$；再求9的平方根，因为$(±3)^2=9$，所以9的平方根是±3，即$\sqrt{81}$的平方根是±3。
【答案】
(1) ±5；(2) ±3
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的运算
【点评】
本题是平方根的基础考查题，易错点在于第二问容易忽略先化简$\sqrt{81}$，错误直接计算81的平方根得到±9；同时要注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8

【分析】
解决本题首先要熟练掌握平方根的核心性质：①正数有两个平方根，且它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根。各小问思考路径如下：
(1) 已知正数的一个平方根，另一个平方根就是它的相反数，求原数只需将已知平方根平方即可；
(2) 正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数相加和为0；
(3) 分别排查正数、0、负数的平方根特征，即可找到平方根等于本身的数；
(4) 代数式没有平方根说明代数式的值为负数，据此列不等式求解即可。
【解析】
(1) 因为正数的两个平方根互为相反数，已知$-\sqrt{5}$是$x$的一个平方根，所以另一个平方根是$\sqrt{5}$；$x=(-\sqrt{5})^2=5$。
(2) 正数的两个平方根互为相反数，108是正数，它的两个平方根$a$和$b$互为相反数，所以$a+b=0$。
(3) 正数有两个不同的平方根，负数没有平方根，只有0的平方根是它本身，所以这个数是0。
(4) 负数没有平方根，若$3x+2$没有平方根，则$3x+2＜0$，移项得$3x＜-2$，解得$x＜-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$，5；(2) 0；(3) 0；(4) $x＜-\frac{2}{3}$
【知识点】
平方根的性质，平方根的定义，解一元一次不等式
【点评】
本题是平方根的基础应用题型，重点考查对平方根概念和性质的理解，需要牢记特殊数的平方根特征，以及负数没有平方根这一规则的应用，解题时注意审题，避免混淆平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】
0.85

【分析】
这组题目均是利用平方根的定义求解未知数的值，解题通用思路为：①先通过移项、系数化为1等操作，将方程整理为“含未知数的整式的平方=非负常数”的形式；②根据“如果a²=b(b≥0)，那么a是b的平方根，即a=±√b”的性质开平方，得到两个一元一次方程；③分别解一元一次方程得到x的两个解，注意不要漏写负根。
【解析】
(1) 系数化为1，得$x^2=\frac{9}{4}$，
根据平方根的定义开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$；
(2) 移项，得$9x^2=49$，
系数化为1，得$x^2=\frac{49}{9}$，
开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{49}{9}}=\pm\frac{7}{3}$；
(3) 移项、合并同类项，得$(x-1)^2=121$，
开平方，得$x-1=\pm11$，
当$x-1=11$时，解得$x=12$；当$x-1=-11$时，解得$x=-10$；
(4) 移项、合并同类项，得$(4x-1)^2=\frac{25}{9}$，
开平方，得$4x-1=\pm\frac{5}{3}$，
当$4x-1=\frac{5}{3}$时，$4x=\frac{8}{3}$，解得$x=\frac{2}{3}$；当$4x-1=-\frac{5}{3}$时，$4x=-\frac{2}{3}$，解得$x=-\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $x=\pm\frac{3}{2}$
(2) $x=\pm\frac{7}{3}$
(3) $x=12$或$x=-10$
(4) $x=\frac{2}{3}$或$x=-\frac{1}{6}$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程，等式的性质
【点评】
本题属于直接利用平方根解方程的基础题型，核心是熟练掌握平方根的性质，解题时注意先将方程转化为“平方项等于非负常数”的标准形式，开平方时不要漏掉负根，避免漏解。
【难度系数】
0.85

【分析】
首先观察已知等式，等式左边是绝对值和平方的和，绝对值与偶次平方都属于非负数，根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，即可求出x+y和xy的值。接下来求x²+y²的平方根，无需单独求解x、y的具体数值，可利用完全平方公式的变形公式x²+y²=(x+y)²-2xy，整体代入计算出x²+y²的值，最后根据平方根的定义求出结果即可，注意正数的平方根有两个，不要漏写负根。
【解析】
解：
∵$|x+y-5|≥0$，$(xy-6)^2≥0$，且$|x+y-5|+(xy-6)^2=0$，
∴$x+y-5=0$，$xy-6=0$，
即$x+y=5$，$xy=6$。
由完全平方公式$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$变形可得：
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，
将$x+y=5$，$xy=6$代入得：
$x^2+y^2=5^2-2×6=25-12=13$。
根据平方根的定义，13的平方根为$\pm\sqrt{13}$，
因此$x^2+y^2$的平方根是$\pm\sqrt{13}$。
【答案】
$\pm\sqrt{13}$
【知识点】
非负数的性质、完全平方公式、平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是熟练掌握非负数的性质和完全平方公式的变形应用，同时要注意正数的平方根有两个互为相反数的值，避免出现漏写负根的错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先要明确题目给出的新运算规则：任意数a、b满足a*b等于第一个数的平方减去第二个数。解题时先把x*13按照新运算规则转化为常规代数式，再结合x*13=2的条件列方程，最后根据平方根的定义求解即可，注意正数的平方根有两个，不要出现漏解的问题。
【解析】
根据新运算的定义$a*b=a^2 - b$，把$a=x$、$b=13$代入规则可得：
$x*13=x^2 - 13$
已知$x*13=2$，因此列方程：
$x^2 - 13 = 2$
移项计算得：$x^2=15$
根据平方根的定义，平方等于15的数是15的平方根，因此$x=\pm\sqrt{15}$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、平方根计算、解简易方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的代数方程求解，计算时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免只写正根漏写负根。
【难度系数】
0.7

【分析】观察已知条件中的两个底数$(m+2024)$、$(m+2028)$，二者的平均值为$m+2026$，恰好是所求式子的底数，因此可以采用换元法简化运算：设$t=m+2026$，将已知条件转化为关于$t$的方程，利用完全平方公式展开后消去一次项，求出$t^2$的值，最后根据平方根的定义求解即可。
【解析】设$ t = m + 2026 $，则$ m + 2024 = t - 2 $，$ m + 2028 = t + 2 $。
将其代入原方程得：
$ (t-2)^2 + (t+2)^2 = 16 $
利用完全平方公式展开得：
$ (t^2 - 4t + 4) + (t^2 + 4t + 4) = 16 $
合并同类项后一次项抵消，得：
$ 2t^2 + 8 = 16 $
移项化简得$ t^2 = 4 $，即$ (m+2026)^2 = 4 $。
根据平方根的定义，4的平方根为$ \pm2 $，因此$ (m+2026)^2 $的平方根是$ \pm2 $。
【答案】B
【知识点】换元法求值；完全平方公式；平方根的定义
【点评】本题通过换元法将形式复杂的代数式转化为结构简单的式子，结合完全平方公式的特点抵消一次项，大幅降低计算量，是代数式求值和平方根结合类题目的典型考法。
【难度系数】0.7

【分析】
解题思路可分为四步：第一步，根据平方根的性质，只有非负数才有平方根，题目说明m没有平方根，可推出m是负数；第二步，解绝对值方程|m+3|=4，得到m的两个可能取值；第三步，结合m＜0的限制条件，筛选出符合要求的m的值；第四步，计算m²，再根据平方根的定义求出它的平方根即可。
【解析】
解：
∵负数没有平方根，且m没有平方根
∴$m ＜ 0$
∵$|m+3|=4$
∴$m+3=4$ 或 $m+3=-4$
解得：$m=1$ 或 $m=-7$
又
∵$m＜0$，故$m=1$不符合题意，舍去
∴$m=-7$
∴$m^2=(-7)^2=49$
∵$(±7)^2=49$
∴49的平方根为$±7$，即$m^2$的平方根是$±7$
【答案】
±7
【知识点】
平方根的性质，绝对值方程求解
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先根据平方根的性质确定m的取值范围，再结合绝对值方程的结果筛选出正确的m值，易错点有两个：一是忽略m的取值范围错选m=1，二是求正数的平方根时漏写负的结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路分三步：第一步先将两个多项式相加，合并同类项整理成标准形式；第二步根据“相加后不含x的二次项和一次项”的条件，可知二次项、一次项的系数均为0，据此列方程分别求出m、n的值；第三步将m、n代入-(mn +n)计算出结果，再根据平方根的定义求出它的平方根，注意平方根有两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
首先将两个多项式相加，合并同类项：
$\begin{aligned}&(7x^3 - 11mx^2 - 15x + 9)+(22x^2 - 5nx - 7)\\=&7x^3 + (-11m + 22)x^2 + (-15 -5n)x + (9-7)\\=&7x^3 + (22 -11m)x^2 + (-15 -5n)x + 2\end{aligned}$
∵相加后不含x的二次项和一次项
∴二次项系数、一次项系数均为0，可得：
$\begin{cases}22 - 11m = 0\\-15 - 5n = 0\end{cases}$
解第一个方程：$11m=22$，得$m=2$
解第二个方程：$5n=-15$，得$n=-3$
将$m=2$，$n=-3$代入$-(mn +n)$：
$\begin{aligned}-(mn +n)&=-[2×(-3)+(-3)]\\&=-(-6-3)\\&=9\end{aligned}$
∵$(±3)^2=9$，
∴9的平方根为±3。
【答案】
±3
【知识点】
多项式加减运算；平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是理解“多项式中不含某一项，即该项的系数为0”，注意平方根和算术平方根的区别，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先根据平方根的定义，对等式两边开平方得到$a^2+b^2-1$的两个可能取值，再结合平方数的非负性判断$a^2+b^2$的取值范围，舍去不符合条件的负值，最终得到正确结果。
【解析】
已知$(a^2 + b^2 - 1)^2 = 16$，根据平方根的定义，可得：
$a^2 + b^2 - 1 = ±\sqrt{16} = ±4$
分两种情况计算：
1. 当$a^2 + b^2 - 1 = 4$时，移项得$a^2 + b^2 = 4 + 1 = 5$；
2. 当$a^2 + b^2 - 1 = -4$时，移项得$a^2 + b^2 = -4 + 1 = -3$。
又因为任意实数的平方都是非负数，即$a^2 ≥ 0$，$b^2 ≥ 0$，因此$a^2 + b^2 ≥ 0$，显然$a^2 + b^2 = -3$不符合取值要求，舍去。
综上，$a^2 + b^2$的值为5。
【答案】
5
【知识点】
平方根的定义；平方的非负性
【点评】
本题是平方根性质的典型应用，易错点是开平方得到两个结果后，容易忽略$a^2 + b^2$的非负性，误将负值作为有效结果，解题时要注意挖掘题目中的隐含取值范围，对结果进行验证取舍。
【难度系数】
0.7