12. (2026·江苏盐城期末)已知一个正数的两个不同平方根分别是$x+2$和$-2x+2$.
(1) 求$x$的值；
(2) 求$2x+1$的平方根.
答案：(1) 因为一个正数的两个不同平方根分别是$x+2$和$-2x+2$,所以$(x+2)+(-2x+2)=0$,解得$x=4$.则$x$的值为4。
(2) 由(1),得$x=4$,则$2x+1=9$.又9的平方根是$\pm3$,所以$2x+1$的平方根是$\pm3$。
解析：
【分析】
解题时首先回忆平方根的核心性质：正数有两个不同的平方根，二者互为相反数，互为相反数的两个数和为0。（1）问求x值，就可以利用这个性质列出关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值；（2）问先将（1）中求出的x代入代数式算出2x+1的具体值，再根据平方根的定义求这个正数的平方根，注意平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
(1) 解：
∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，即：
$(x+2)+(-2x+2)=0$
去括号得：$x+2-2x+2=0$
合并同类项得：$-x+4=0$
解得：$x=4$
(2) 把$x=4$代入$2x+1$得：
$2x+1=2×4+1=9$
∵ $(\pm3)^2=9$
∴ 9的平方根是$\pm3$，即$2x+1$的平方根是$\pm3$
【答案】
(1) $x=4$；(2) $\pm3$
【知识点】
1. 正数平方根的性质
2. 解一元一次方程
3. 求平方根
【点评】
本题是平方根性质的基础应用，解题的关键是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，求平方根时要注意结果有两个，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
13. 已知有理数$a$在数轴上对应的位置如图所示，试化简：$\pm\sqrt{(2a+1)^2} + 2|a-1|$.
答案：由题图,得$-\frac{1}{2}＜a＜0$,所以$2a+1＞0$,$a-1＜0$,即$\sqrt{(2a+1)^2}=2a+1$,$|a-1|=1-a$.所以$\pm\sqrt{(2a+1)^2}+2|a-1|=\pm(2a+1)+2(1-a)=\pm(2a+1)+2-2a=3$或$1-4a$。
解析：
【分析】
解决这类化简题首先要从数轴获取a的取值范围，再根据取值范围判断根号内、绝对值内代数式的正负性；接着利用二次根式、绝对值的性质去掉根号和绝对值符号，最后注意原式带±号，需分两种情况分别计算得到最终结果。
【解析】
由数轴可得a的取值范围：$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$，
因此可判断代数式的正负：$2a+1 ＞ 0$，$a-1 ＜ 0$，
根据二次根式的性质得：$\sqrt{(2a+1)^2}=|2a+1|=2a+1$，
根据绝对值的性质得：$|a-1|=1-a$，
将上述化简结果代入原式：
$\pm\sqrt{(2a+1)^2} + 2|a-1|=\pm(2a+1)+2(1-a)=\pm(2a+1)+2-2a$
分两种情况计算：
① 取正号时：原式$=2a+1+2-2a=3$
② 取负号时：原式$=-2a-1+2-2a=1-4a$
【答案】
3或$1-4a$
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题核心是结合数轴判断代数式的正负，再利用二次根式和绝对值的性质化简，解题时要注意原式的±号需分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
14. 已知$2a+3$是一个正数，且它的一个平方根比另一个平方根大2，则$a$的值为（
C
）
A.1
B.3
C.$-1$
D.11
答案：C 解析:设正数$2a+3$的一个平方根为$x$.由题意,得它的另一个平方根为$x-2$.所以$x+x-2=0$,解得$x=1$.所以$2a+3=1^2=1$,解得$a=-1$.则$a$的值为$-1$。
解析：
【分析】
解这道题首先要用到正数平方根的核心性质：一个正数有两个互为相反数的平方根，二者相加和为0。我们可以结合题干“一个平方根比另一个大2”的条件，先设其中一个平方根为x，另一个平方根就为x-2，再利用两个平方根和为0的性质列方程求出平方根的取值，进而求出被开方数2a+3的值，最后解关于a的一元一次方程就能得到a的值。
【解析】
设正数$2a+3$的一个平方根为$x$，由题意得它的另一个平方根为$x-2$。
根据正数的两个平方根互为相反数，和为0，可列方程：
$x + (x-2) = 0$
解得$x=1$。
根据平方根的定义，被开方数等于平方根的平方，因此：
$2a+3 = 1^2 = 1$
解此方程：$2a = 1-3 = -2$，得$a=-1$。
【答案】C
【知识点】平方根的性质；解一元一次方程
【点评】本题属于基础题型，核心考查对正数平方根性质的运用，解题关键是牢记“正数的两个平方根互为相反数”这一性质，以此为突破口列方程求解即可，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的概念。
【难度系数】0.7
15. 若$n$为正整数，且$n^3 + 2n^2$的平方根是奇数，则满足条件的$n$中，最小的两个数之和为
30
。
答案：30 解析:因为$n^3+2n^2$的平方根是奇数,且$n^2(n+2)=n^3+2n^2$,所以$n^2(n+2)$是奇数,即$n,n+2$都是奇数,且$n+2$的平方根为奇数.又$n$为正整数,所以$n$可取的最小的两个数分别为7,23,其和为30。
解析：
【分析】
解题时先从题干条件入手，第一步先对代数式$n^3+2n^2$因式分解，简化形式；再根据“平方根是奇数”拆解两层含义：①平方根是整数，说明该代数式本身是完全平方数；②平方根是奇数，说明该代数式是奇数的平方，即代数式的值为奇数。结合分解后的式子$n^2(n+2)$分析，$n^2$本身是完全平方数，因此要让整个乘积是完全平方数，$n+2$必须是完全平方数；同时乘积为奇数，说明$n$和$n+2$都为奇数，因此$n+2$是奇数的完全平方。最后按从小到大找符合条件的正整数$n$，取最小的两个求和即可。
【解析】
解：先对代数式因式分解：
$n^3 + 2n^2 = n^2(n+2)$
∵ $n^3 + 2n^2$的平方根是奇数
∴ 可得两个结论：
① $n^2(n+2)$是完全平方数：已知$n^2$是正整数的平方，因此$n+2$必须是完全平方数；
② $n^2(n+2)$是奇数（奇数的平方为奇数）：因此$n^2$和$n+2$均为奇数，即$n$为奇数，$n+2$是奇数的完全平方。
正整数范围内，从小到大的奇数完全平方为：$1^2=1$，$3^2=9$，$5^2=25$，$7^2=49$……
当$n+2=1$时，$n=-1$，不是正整数，舍去；
当$n+2=9$时，$n=7$，符合条件；
当$n+2=25$时，$n=23$，符合条件；
∴ 满足条件的最小两个$n$为7和23，和为$7+23=30$。
【答案】
30
【知识点】
平方根的定义；提公因式法因式分解；奇偶数性质
【点评】
本题需要结合多个知识点推导隐含条件，解题的核心是将“平方根是奇数”拆解为代数式为奇数的完全平方这一关键结论，能够锻炼学生的逻辑推导和知识点综合运用能力。
【难度系数】
0.5
16. 新趋势 情境素材 小明是一位善于思考、勇于创新的同学. 在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根. 比如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1没有平方根. 有一天，小明想：如果存在一个数i，使$i^2=-1$，那么$(-i)^2=-1$，因此－1就有两个平方根了. 进一步，小明想：因为$(\pm 2i)^2=-4$，所以－4的平方根就是±2i；因为$(\pm 3i)^2=-9$，所以－9的平方根就是±3i. 请你根据上面的信息，解答下列问题：
(1) 求－16，－25的平方根；
(2) 求$i^3,i^4,i^5,i^6,i^7,i^8$的值，并将你发现的规律用式子表示出来.
答案：(1) 因为$(\pm4i)^2=-16$,所以$-16$的平方根是$\pm4i$.因为$(\pm5i)^2=-25$,所以$-25$的平方根是$\pm5i$。
(2) 由题意,得$i^3=i^2· i=-i$,$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$,$i^5=i^4· i=i$,$i^6=i^5· i=i^2=-1$,$i^7=i^6· i=-i$,$i^8=i^7· i=1$. 规律:$i^{4n+1}=i$,$i^{4n+2}=-1$,$i^{4n+3}=-i$,$i^{4n+4}=1$($n$为自然数)。
解析：
【分析】
(1) 求负数的平方根可参照题目给出的示例思路：先找到正数a，使得a²等于该负数的绝对值，再结合$i^2=-1$，可得$(\pm ai)^2=-a^2$，据此即可求出对应负数的平方根；
(2) 计算i的高次幂时，利用已知条件$i^2=-1$，将高次幂拆分为$i^2$与低次幂的乘积，逐步计算即可，得到所有结果后观察结果的周期变化规律，归纳出通用表达式即可。
【解析】
(1) 因为$(\pm4i)^2=(\pm4)^2· i^2=16×(-1)=-16$，所以$-16$的平方根是$\pm4i$；
因为$(\pm5i)^2=(\pm5)^2· i^2=25×(-1)=-25$，所以$-25$的平方根是$\pm5i$。
(2) 根据$i^2=-1$，结合乘方运算法则计算：
$i^3=i^2· i=-1× i=-i$；
$i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1$；
$i^5=i^4· i=1× i=i$；
$i^6=i^5· i=i· i=i^2=-1$；
$i^7=i^6· i=-1× i=-i$；
$i^8=i^7· i=-i× i=-i^2=1$。
观察结果可知i的乘方结果每4次为一个循环，规律为：$i^{4n+1}=i$，$i^{4n+2}=-1$，$i^{4n+3}=-i$，$i^{4n+4}=1$（n为自然数）。
【答案】
(1) $-16$的平方根是$\pm4i$，$-25$的平方根是$\pm5i$；
(2) $i^3=-i$，$i^4=1$，$i^5=i$，$i^6=-1$，$i^7=-i$，$i^8=1$；规律：$i^{4n+1}=i$，$i^{4n+2}=-1$，$i^{4n+3}=-i$，$i^{4n+4}=1$（n为自然数）
【知识点】
平方根的定义，乘方的运算，规律探究
【点评】
本题属于新情境阅读类题型，以i的定义为载体，考查对平方根概念的理解、乘方运算的应用以及归纳总结能力，解题关键是读懂材料给出的i的性质，结合已学知识类比迁移求解。
【难度系数】
0.7
