【分析】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的基本概念，解题时需依次回忆各概念的定义，逐个判断选项的正误即可。首先明确相关概念规则：①正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做它的算术平方根，0的平方根和算术平方根都是0，负数没有平方根；②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，依据上述规则逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：4的平方根是±2，并非只有2，因此A错误；
B选项：2的算术平方根是√2，4是2的平方，属于概念混淆，因此B错误；
C选项：0的平方根是0，因此C错误；
D选项：因为3³=27，所以27的立方根是3，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要区分平方根和算术平方根的差异，避免漏记正数有两个平方根、误记0没有平方根的误区，熟练掌握立方根的计算即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查平方根、算术平方根和立方根的性质辨析，解题时可逐个分析选项，结合三类方根的定义及特殊数的方根特点，通过举反例排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆相关性质：负数没有平方根但有立方根；正数有两个互为相反数的平方根，正的平方根叫算术平方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的平方根、算术平方根、立方根都是0。
【解析】
我们逐一判断各选项：
A. 负数存在立方根，但负数没有平方根，因此该选项错误；
B. 正数的平方根有2个（互为相反数），立方根只有1个，二者不可能相等；负数没有平方根，只有0的平方根和立方根都为0，二者相等，因此该选项正确；
C. 正数的平方根有正、负两个，而正数的立方根为正数，二者不可能同号，因此该选项错误；
D. 举反例：0的算术平方根和立方根都为0，二者相等；1的算术平方根和立方根都为1，二者相等；0.001的算术平方根为0.01，立方根为0.1，此时算术平方根小于立方根，因此该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 立方根的性质
3. 算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分平方根、算术平方根和立方根的差异，解题时熟练运用特殊值举反例的方法可以快速排除错误选项，要注意牢记0、1、负数等特殊数的方根特征。
【难度系数】
0.75

【分析】
本题考查立方根的相关计算，解题思路如下：首先明确立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么x叫做a的立方根。对于三个小问分别处理：(1)直接找到立方等于216的正整数即可；(2)结合幂的乘方运算规则，找到立方后等于$10^{-9}$的数；(3)注意需先计算出$\sqrt{729}$的结果，再对结果求立方根，不可直接对729求立方根。
【解析】
(1) 计算可得$6^3=6×6×6=216$，根据立方根的定义，可知216的立方根是6；
(2) 根据幂的乘方法则，$(10^{-3})^3=10^{(-3)×3}=10^{-9}$，因此$10^{-9}$的立方根是$10^{-3}$；
(3) 先化简算术平方根：因为$27^2=729$，所以$\sqrt{729}=27$；再求27的立方根，因为$3^3=27$，所以27的立方根是3，即$\sqrt{729}$的立方根是3。
【答案】
(1) 6；(2) $10^{-3}$；(3) 3
【知识点】
立方根的概念，算术平方根的运算，负整数指数幂
【点评】
本题属于立方根相关的基础计算题，易错点是第三问容易忽略先化简算术平方根，直接对729求立方根导致错误，掌握立方根的定义、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先回忆立方根的相关规律：当被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点就对应向右（或向左）移动1位。首先观察待求的被开方数2370与已知的被开方数的关系，发现2370是2.37的1000倍（即2.37的小数点向右移动3位得到2370），因此对应立方根的小数点只需在$\sqrt[3]{2.37}$的结果基础上向右移动1位即可得到答案。
【解析】
首先对被开方数2370进行变形：
$2370 = 2.37 × 1000 = 2.37 × 10^3$
根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$可得：
$\sqrt[3]{2370}=\sqrt[3]{2.37 × 10^3}=\sqrt[3]{2.37} × \sqrt[3]{10^3}$
已知$\sqrt[3]{2.37} \approx 1.333$，且$\sqrt[3]{10^3}=10$，代入计算：
$\sqrt[3]{2370} \approx 1.333 × 10 = 13.33$
【答案】
13.33
【知识点】
立方根的运算性质；立方根小数点移动规律
【点评】
本题是立方根规律的基础应用题，解题核心是找准待求被开方数与已知被开方数的倍数关系（为1000的整数次幂），再结合立方根的小数点移动规律计算即可，掌握规律后解题非常简便。
【难度系数】
0.8

【分析】
这组题目是利用立方根的定义求解含未知数的三次方程，解题思路清晰：首先通过移项、系数化为1等操作，将原式变形为「[含x的整式]³ = 常数」的标准形式，再对等式两边同时开立方，把三次方程转化为熟悉的一元一次方程，最后解一元一次方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 移项得：$x^3 = -64$，
对等式两边同时开立方得：$x = \sqrt[3]{-64}$，
$\because (-4)^3 = -64$，$\therefore x = -4$。
(2) 系数化为1得：$x^3 = \frac{512}{343}$，
对等式两边同时开立方得：$x = \sqrt[3]{\frac{512}{343}}$，
$\because 8^3 = 512, 7^3 = 343$，$\therefore x = \frac{8}{7}$。
(3) 系数化为1得：$(x-1)^3 = \frac{125}{27}$，
对等式两边同时开立方得：$x-1 = \sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{5}{3}$，
移项计算得：$x = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$。
(4) 两边同时乘2得：$(3x-2)^3 = 64$，
对等式两边同时开立方得：$3x - 2 = \sqrt[3]{64} = 4$，
移项、系数化为1得：$3x = 6, x = 2$。
【答案】
(1) $x=-4$；(2) $x=\dfrac{8}{7}$；(3) $x=\dfrac{8}{3}$；(4) $x=2$
【知识点】
立方根的运算，等式的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是立方根章节的典型基础习题，通过将三次方程降次为一次方程的解题过程，既可以巩固立方根的计算方法，也能强化对等式变形规则的掌握，适合用来夯实立方根相关的基础运算能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题思路：首先明确正方体体积与棱长的关系为体积等于棱长的立方，要得到第二个正方体的棱长，需先求出它的体积。第一步先根据第一个正方体的棱长计算其体积，第二步结合第二个正方体体积比第一个大127cm³的条件，求出第二个正方体的体积，第三步对第二个正方体的体积开立方，所得结果即为第二个正方体的棱长。
【解析】
解：根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为正方体棱长）：
1. 计算第一个正方体纸盒的体积：
已知第一个正方体棱长为6cm，所以它的体积为$V_1=6^3=216(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算第二个正方体纸盒的体积：
由题意得第二个正方体体积比第一个大127cm³，因此$V_2=216+127=343(\mathrm{cm}^3)$
3. 求第二个正方体的棱长：
设第二个正方体棱长为$a_2$，则$a_2^3=343$，开立方得$a_2=\sqrt[3]{343}=7(\mathrm{cm})$
【答案】
第二个正方体纸盒的棱长是7 cm。
【知识点】
正方体体积计算，立方根的运算
【点评】
本题是立方根的实际应用基础题，解题关键是理清两个正方体体积的数量关系，熟练掌握立方根的运算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题的核心是运用立方根的定义：若x是y的立方根，则x³=y。首先根据题目的已知条件列出等式，再通过乘方运算变形，最后对照立方根的定义逐一验证选项即可得出正确结论。
【解析】
已知−b是a的立方根，根据立方根的定义可得：
$(-b)^3 = a$
计算左边的乘方：$-b^3 = a$
对等式变形可得：$b^3 = -a$
再次根据立方根的定义可知，b是−a的立方根。
逐一分析选项：
A选项：若−b是−a的立方根，则需满足$(-b)^3=-a$，与已知$(-b)^3=a$矛盾，故A错误；
B选项：若b是a的立方根，则需满足$b^3=a$，与推导得的$b^3=-a$矛盾，故B错误；
C选项符合推导结论，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义；乘方的符号性质
【点评】
本题考查立方根的基础应用，解题关键是牢记立方根与原数的立方对应关系，注意立方运算的符号规律：负数的立方仍为负数，正数的立方仍为正数，避免因正负号混淆出错。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先观察方程结构，通过移项将含立方根的项单独放在等号一侧，可得到$\sqrt[3]{x-2}=x-2$，即一个数的立方根等于它本身。根据立方根的性质，立方根等于自身的数有且仅有-1、0、1三个，因此只需分三种情况令$x-2$分别等于这三个数，求解$x$后代入原方程验证是否成立即可。
【解析】
解：对原方程移项得：$\sqrt[3]{x-2}=x-2$
已知立方根等于本身的数为$-1$、$0$、$1$，分三类讨论：
1. 当$\sqrt[3]{x-2}=-1$时，两边同时立方得$x-2=(-1)^3=-1$，解得$x=1$；
2. 当$\sqrt[3]{x-2}=0$时，两边同时立方得$x-2=0^3=0$，解得$x=2$；
3. 当$\sqrt[3]{x-2}=1$时，两边同时立方得$x-2=1^3=1$，解得$x=3$。
将三个解代入原方程检验，均满足等式成立，因此$x$的值为1或2或3。
【答案】
C
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 根式方程求解
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是立方根章节的典型易错题，解题核心是牢记立方根等于自身的三个特殊值，避免漏解，求出根后要代入原方程检验确保结果正确。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这道题，首先明确立方根为负整数的条件：被开方数必须是负的完全立方数（即某个负整数的三次方）。第一步先对375分解质因数，提取出已经是三次方的因数，剩下的因数与m的乘积必须是一个完全立方数；再结合m是最大负整数的要求，只需让这个乘积是绝对值最小的符合要求的负完全立方数，即可求出m的值。
【解析】
先对375分解质因数：
$375 = 5 × 5 × 5 × 3 = 5^3 × 3$
因此$\sqrt[3]{375m} = \sqrt[3]{5^3 × 3m} = 5\sqrt[3]{3m}$
已知$\sqrt[3]{375m}$是负整数，所以$\sqrt[3]{3m}$必须是负整数，即$3m$是负的完全立方数。
完全立方数的所有质因数的指数都是3的倍数，$3m$中已有1个质因数3，因此还需要补充2个3才能让3的指数为3；要使m是最大的负整数，需让$3m$是绝对值最小的符合要求的负完全立方数，即$3m = (-3)^3 = -27$。
解得：$m = -27 ÷ 3 = -9$
验证比-9大的负整数：m=-1、-3、-6时，3m分别为-3、-9、-18，都不是完全立方数，不符合要求，因此满足条件的最大负整数m为-9。
【答案】
D
【知识点】
立方根的定义，完全立方数，质因数分解
【点评】
本题核心考查立方根的性质与完全立方数的特征，解题的关键是先拆分被开方数，明确剩余部分需要满足的条件，求解时注意“最大负整数”的要求对应绝对值最小的符合要求的负立方数，避免搞反大小关系。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时先回忆平方根、立方根的定义：若a是b的平方根，则$a^2=b$；若c是d的立方根，则$c^3=d$。我们可以先根据第一个条件列出关于x的方程，求出x的值；再把x代入第二个条件列出的关于y的方程，求出y的值；最后计算$3x+y$的结果，再分别求它的平方根和立方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏写。
【解析】
第一步：根据平方根的定义求x
∵3是$2x-1$的一个平方根
∴$2x - 1 = 3^2 = 9$
解方程得：$2x = 10$，$x = 5$
第二步：根据立方根的定义求y
∵$-3$是$y-3x$的立方根
∴$y - 3x = (-3)^3 = -27$
把$x=5$代入上式：$y - 3×5 = -27$
即$y - 15 = -27$，解得$y = -12$
第三步：计算$3x+y$并求对应根
$3x + y = 3×5 + (-12) = 15 - 12 = 3$
根据平方根的定义，3的平方根为$\pm\sqrt{3}$；
根据立方根的定义，3的立方根为$\sqrt[3]{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$；$\sqrt[3]{3}$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟练掌握平方根和立方根的定义，根据定义建立方程求出未知数的值，计算时注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根，立方根的符号与被开方数符号一致。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是一道结合新定义变换与根式运算的题目，首先要明确变换规则：输入有序数对(x,y)时，输出的第一个数是x的算术平方根，第二个数是y的立方根。对于嵌套的变换运算，需按照从内到外的顺序计算，先求出内层T(9,-1)的结果，再将该结果作为新的输入代入变换T计算最终值，计算时要注意算术平方根为非负数，负数的立方根仍为负数。
【解析】
根据变换规则分步计算：
第一步，计算内层变换$T(9,-1)$：
当$x=9$，$y=-1$时，$\sqrt{9}=3$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，因此$T(9,-1)=(3,-1)$。
第二步，计算外层变换$T(3,-1)$：
当$x=3$，$y=-1$时，$\sqrt{3}$保留原式，$\sqrt[3]{-1}=-1$，因此$T(3,-1)=(\sqrt{3},-1)$。
综上，$T(T(9,-1))=(\sqrt{3},-1)$。
【答案】
$(\sqrt{3},-1)$
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算，立方根计算
【点评】
本题侧重考查对新定义的理解能力和根式的基础运算能力，解题关键是准确读懂变换规则，按照从内到外的顺序逐步运算，注意区分算术平方根和立方根的符号特性，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.85