12. (2025·江苏南京二模)已知$a^2 = (-3)^2$，且$\sqrt[3]{3a - 2b} + \sqrt[3]{a + b} = 0$，则$2a^2 - b = \_\_\_\_\_\_$
答案：12. 6或30 解析: 由题意,得 $a^2=9$,$3a-2b+a+b=0$,所以 $a=\pm 3$,$b=4a$,即 $b=12$ 或 $-12$. 所以 $2a^2-b=6$ 或 30.
解析：
【分析】
解题时先从已知条件入手，第一步根据$a^2=(-3)^2$可求出$a^2$的值，得到a的两个可能取值；第二步利用立方根的性质：若两个立方根的和为0，则这两个立方根互为相反数，对应的被开方数也互为相反数，据此列出关于a、b的等式，整理得到a与b的数量关系；最后将a的不同取值代入求出对应的b值，再代入待求代数式计算即可，注意不要漏了a的负取值。
【解析】
解：由$a^2=(-3)^2$，得$a^2=9$，因此$a=3$或$a=-3$。
因为$\sqrt[3]{3a - 2b} + \sqrt[3]{a + b} = 0$，所以$\sqrt[3]{3a - 2b} = -\sqrt[3]{a + b}$。
根据立方根的性质$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$，可得$-\sqrt[3]{a + b}=\sqrt[3]{-(a+b)}$，因此$3a - 2b = -(a + b)$。
整理等式：
$3a - 2b = -a - b$
移项得$3a + a = 2b - b$
即$b = 4a$。
分两种情况计算：
①当$a=3$时，$b=4×3=12$，则$2a^2 - b = 2×9 - 12 = 18 - 12 = 6$；
②当$a=-3$时，$b=4×(-3)=-12$，则$2a^2 - b = 2×9 - (-12) = 18 + 12 = 30$。
【答案】
6或30
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，代数式求值
【点评】
本题考查平方根、立方根性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握平方根有正负两个互为相反数的解，以及两个立方根互为相反数时被开方数也互为相反数的性质，计算时注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. 已知$m,n$为正整数，且$A = \sqrt[m-n]{m+n+10}$是$m+n+10$的算术平方根，$B = \sqrt[m-2n+3]{4m+6n-1}$是$4m+6n-1$的立方根。
（1）求$m,n$的值；
（2）求$A-B$的立方根。
答案：13. (1) 由题意,得 $\begin{cases} m-n=2,\\ m-2n+3=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=4,\\ n=2. \end{cases}$ 所以 $m=4,n=2$.
(2) 由(1),得 $m=4,n=2$,则 $m+n+10=16$,$4m+6n-1=27$. 则 $A=\sqrt{16}=4$,$B=\sqrt[3]{27}=3$. 所以 $A-B=1$,即 $A-B$ 的立方根是 1.
解析：
【分析】
要解决本题，首先需要掌握算术平方根和立方根的根指数特征：算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3。第一问可根据这两个特征列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到m、n的值；第二问将求得的m、n代入A、B的表达式，先算出A、B的值，再求A-B的立方根即可。
【解析】
（1）根据算术平方根和立方根的定义，可得方程组：
$\begin{cases} m-n=2\\ m-2n+3=3 \end{cases}$
化简第二个方程得$m-2n=0$，即$m=2n$，将其代入第一个方程，得$2n-n=2$，解得$n=2$，则$m=2×2=4$。
（2）把$m=4$，$n=2$代入得：
$m+n+10=4+2+10=16$，因此$A=\sqrt{16}=4$；
$4m+6n-1=4×4+6×2-1=27$，因此$B=\sqrt[3]{27}=3$；
则$A-B=4-3=1$，1的立方根为1。
【答案】
(1) $\begin{cases} m=4 \\ n=2 \end{cases}$；(2) 1
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义，二元一次方程组的解法
【点评】
本题核心是考查对算术平方根、立方根概念的掌握，解题的突破口是根据根指数的对应关系列方程组，整体计算量小，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
14. 已知一个长方体水池的长、宽、高之比为$2:2:4$，其体积为$16\ 000\ \mathrm{dm}^3$.
（1）求这个长方体水池的长、宽、高；
（2）将一个半径为$r\ \mathrm{dm}$的铁球放入注满水的该水池中，溢出水的体积为水池体积的$\frac{1}{800}$，求该铁球的半径（球的体积公式：$V_{球}=\frac{4}{3}π r^3$，$π\approx3$，结果保留根号）.
答案：14. (1) 由题意,设这个长方体水池的长、宽、高分别为 $2x\ \mathrm{dm}$,$2x\ \mathrm{dm}$,$4x\ \mathrm{dm}$,则 $2x· 2x· 4x=16\ 000$,解得 $x=10$. 则 $2x=20$,$4x=40$. 所以这个长方体水池的长、宽、高分别为 $20\ \mathrm{dm}$,$20\ \mathrm{dm}$,$40\ \mathrm{dm}$.
(2) 由题意,得 $\dfrac{4}{3}π r^3=\dfrac{1}{800}× 16\ 000$,所以 $r^3\approx 5$,解得 $r\approx \sqrt[3]{5}$. 所以该铁球的半径约为 $\sqrt[3]{5}\ \mathrm{dm}$.
解析：
【分析】
（1）已知长、宽、高的比例，我们可以通过设参数的方法，将长、宽、高用含同一未知数的式子表示，再结合长方体体积公式列方程，解出参数后即可得到长宽高的具体数值。
（2）注满水的水池放入铁球后，溢出水的体积与铁球体积相等是核心等量关系。先根据占比算出溢出水的体积，再代入球的体积公式，通过立方根运算就能求出铁球半径。
【解析】
（1）设长方体水池的长、宽、高分别为$2x\ \mathrm{dm}$、$2x\ \mathrm{dm}$、$4x\ \mathrm{dm}$。
根据长方体体积公式列方程：
$2x·2x·4x=16000$
化简得$16x^3=16000$，即$x^3=1000$，
开立方得$x=10$，
因此$2x=20$，$4x=40$。
（2）由题意可知，溢出水的体积等于铁球的体积：
溢出水的体积为$\frac{1}{800}×16000=20\ \mathrm{dm}^3$，即$V_{球}=20\ \mathrm{dm}^3$。
将$V_{球}=20$、$π≈3$代入球的体积公式$V_{球}=\frac{4}{3}πr^3$：
$\frac{4}{3}×3×r^3=20$
化简得$4r^3=20$，即$r^3=5$，
开立方得$r=\sqrt[3]{5}$。
【答案】
（1）长为$20\ \mathrm{dm}$，宽为$20\ \mathrm{dm}$，高为$40\ \mathrm{dm}$；
（2）铁球的半径约为$\sqrt[3]{5}\ \mathrm{dm}$。
【知识点】
立方根的应用、长方体体积计算、等体积代换
【点评】
本题侧重考查方程思想和立方根的基础应用，解题关键是掌握比例设元的方法，理解溢出水体积和铁球体积相等的等量关系，计算时注意开立方运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
15. (2025·江苏连云港二模)在小于1 000的非零自然数中,既不是完全平方数(平方根是整数),也不是完全立方数(立方根是整数)的数有
962
个.
答案：15. 962 解析: 因为 $31^2=961$,$32^2=1\ 024$,$961＜1\ 000＜1\ 024$,所以在小于 1 000 的非零自然数中有31 个数是完全平方数. 又 $9^3=729$,$10^3=1\ 000$,$729＜1\ 000$,所以在小于 1 000 的非零自然数中有9 个数是完全立方数. 又 $1^3=1^2$,$4^3=8^2$,$9^3=27^2$,所以在小于 1 000 的非零自然数中有 3 个数既是完全平方数,又是完全立方数. 所以在小于 1 000 的非零自然数中,既不是完全平方数也不是完全立方数的数有 $999-(31+9-3)=962$(个).
解析：
【分析】
本题采用排除法求解，解题思路如下：首先明确小于1000的非零自然数总个数；再分别统计其中完全平方数、完全立方数的个数；注意有部分数既是完全平方数也是完全立方数，这部分数在统计时被重复计算，需要先减去重复计数的部分；最后用总个数减去“是完全平方数或完全立方数”的个数，即可得到所求结果。
【解析】
解：小于1000的非零自然数总共有$1000-1=999$个。
1. 计算完全平方数的个数：
因为$31^2=961＜1000$，$32^2=1024＞1000$，所以小于1000的非零自然数中共有31个完全平方数。
2. 计算完全立方数的个数：
因为$9^3=729＜1000$，$10^3=1000$，所以小于1000的非零自然数中共有9个完全立方数。
3. 计算重复计数的数的个数：
既是完全平方数又是完全立方数的数是六次方数，计算得$1^6=1$，$2^6=64$，$3^6=729$，$4^6=4096＞1000$，所以共有3个重复计数的数。
4. 计算所求数的个数：
根据去重计数规则，是完全平方数或完全立方数的总个数为$31+9-3=37$个，因此既不是完全平方数也不是完全立方数的数有$999-37=962$个。
【答案】
962
【知识点】
完全平方数，完全立方数，计数去重
【点评】
本题主要考查对完全平方、完全立方数的识别，以及计数时处理重叠部分的逻辑，易错点是容易遗漏既是完全平方数又是完全立方数的重叠部分，导致多减出现错误。
【难度系数】
0.7
16. 新素养 应用意识 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:求 59 319 的立方根.华罗庚脱口而出:39.众人十分惊奇,忙问计算的奥妙.
你知道怎样迅速准确地计算出结果吗?请你按下面的问题试一试:
(1) $10^3 = 1000$，$100^3 = 1000000$，你能确定59 319的立方根是几位数吗?并写出结果；
(2) 由59 319的个位数是9，你能确定59 319的立方根的个位数是几吗?并写出结果；
(3) 如果划去59 319后面的三位319得到数59，而$3^3 = 27$，$4^3 = 64$，那么由此你能确定59 319的立方根的十位数是几吗?答：
3
，因此59 319的立方根是
39
；
(4) 现在换一个数148 877，你能按这种方法说出它的立方根吗?
① 它的立方根是
两
位数；
② 它的立方根的个位数是
3
；
③ 它的立方根的十位数是
5
；
④ 148 877的立方根是
53
.
答案：16. (1) 能,是两位数.
(2) 能,是 9.
(3) 3 39
(4) ① 两 ② 3 ③ 5 ④ 53 解析:① 因为 $10^3=1\ 000$,$100^3=1\ 000\ 000$,所以 148 877 的立方根是两位数. ② 因为 $3^3=27$,所以能确定 148 877 的立方根的个位数是 3. ③ 因为 $5^3=125$,$6^3=216$,所以能确定 148 877 的立方根的十位数是 5. ④ 所以 148 877 的立方根是 53.
解析：
【分析】
我们可以通过三步法快速估算立方根：第一步先通过原数的大小范围判断立方根的位数；第二步利用10以内整数立方的个位特征匹配原数个位，得到立方根的个位数；第三步划去原数后三位，对比剩余数和一位数的立方大小，确定立方根的十位数，组合十位和个位即可得到最终结果。
【解析】
(1) 已知$10^3=1000$，$100^3=1000000$，因为$1000＜59319＜1000000$，所以59319的立方根介于10和100之间，是两位数；
(2) 观察1~9的立方的个位规律：只有$9^3=729$的个位是9，和59319的个位匹配，所以59319的立方根的个位数是9；
(3) 划去59319后三位319得到59，因为$3^3=27＜59＜4^3=64$，所以59319的立方根的十位数是3，组合得到59319的立方根是39；
(4) 对148877使用相同方法计算：
① 因为$10^3=1000＜148877＜1000000=100^3$，所以它的立方根是两位数；
② 148877的个位是7，只有$3^3=27$的个位是7，所以它的立方根的个位数是3；
③ 划去后三位得到148，因为$5^3=125＜148＜6^3=216$，所以它的立方根的十位数是5；
④ 组合得到148877的立方根是53。
【答案】
(1) 能，是两位数
(2) 能，是9
(3) 3；39
(4) ①两；②3；③5；④53
【知识点】
立方根的定义，立方数的特征，立方根估算方法
【点评】
本题以数学家华罗庚巧算立方根的故事为背景，考查立方根的估算技巧，熟练掌握10以内整数的立方结果及大小比较即可快速求解，能有效提升数学应用意识和巧算能力。
【难度系数】
0.7
