【分析】
解题需先明确题干的两个核心要求：一是该数为无理数，二是该数比-2大，因此分两步思考：第一步先根据无理数的定义排除有理数选项，缩小选择范围；第二步再将剩余的无理数分别和-2比较大小，选出同时满足两个条件的选项即可。
【解析】
步骤1：筛选无理数
无理数是无限不循环小数，选项A中的0、选项B中的-1都属于整数，是有理数，因此先排除A、B两个选项。
步骤2：比较实数大小
将-2转化为二次根式形式即$-\sqrt{4}$，根据负数比较大小的规则：绝对值越大的负数，数值越小。
对选项C：$\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，因此$|-\sqrt{2}|＜|-2|$，可得$-\sqrt{2}＞-2$，符合要求；
对选项D：$\sqrt{5}＞\sqrt{4}$，因此$|-\sqrt{5}|＞|-2|$，可得$-\sqrt{5}＜-2$，不符合要求。
综上，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别、实数大小比较、二次根式估值
【点评】
本题属于基础题，重点考察对基础概念的掌握和细节判断能力，解题时需注意不要漏看“无理数”“比-2大”两个限制条件，同时要牢记负数比较大小的规则，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
要估算$\sqrt{23}$的取值范围，我们可以利用“对于正数，被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的性质，通过计算相邻整数和中间值的平方，逐步缩小$\sqrt{23}$所在的区间。首先先确定$\sqrt{23}$的整数范围，再计算区间中点的平方，进一步缩小范围就能得到答案。
【解析】
我们通过平方法比较大小：
1. 先确定$\sqrt{23}$的整数范围：
$4^2=16$，$5^2=25$，
因为$16＜23＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$；
2. 再计算4.5的平方进一步缩小范围：
$4.5^2=20.25$，
因为$20.25＜23＜25$，所以$\sqrt{20.25}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4.5＜\sqrt{23}＜5$。
因此$\sqrt{23}$的值在4.5和5之间。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的估算、实数大小比较
【点评】
本题是无理数估算的常规题型，核心方法是平方法，通过计算相关数值的平方，将算术平方根的大小比较转化为有理数的大小比较，解题时只需逐步缩小被开方数所在的平方区间即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这个问题，首先需要估算出$\sqrt{17}$的取值范围。我们可以利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，先找到17介于哪两个相邻正整数的平方之间，就能确定$\sqrt{17}$介于哪两个相邻整数之间，进而得到a、b的值，最后计算$a+b$的结果。
【解析】
首先计算与17相邻的完全平方数：
∵ $4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$
∴ 根据算术平方根的大小比较规律，可得$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$
即 $4＜\sqrt{17}＜5$
又
∵ a、b是相邻的整数，且$a＜\sqrt{17}＜b$
∴ $a=4$，$b=5$
∴ $a+b=4+5=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数的估算，解题的核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，以此确定无理数的整数范围，属于基础类题目，熟练掌握常见的完全平方数可快速求解。
【难度系数】
0.85

【分析】
要解决这个问题，首先需明确无理数的定义，以及这类算术平方根中有理数的特征：只有当被开方数是完全平方数时，它的算术平方根才是有理数，其余都是无理数。因此解题步骤为：①先找出1~2026中所有的完全平方数，这些数对应的算术平方根就是有理数；②用数的总个数减去有理数的个数，即可得到无理数的个数。
【解析】
首先，若$\sqrt{n}$（n为正整数）是有理数，则n是完全平方数。
计算相邻正整数的平方：
$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，……，$44^2=1936$，$45^2=2025$，$46^2=2116＞2026$
由此可知，1~2026中共有45个完全平方数，即这组数据中有理数有45个。
这组数据总共有2026个数，因此无理数的个数为：$2026-45=1981$（个）
【答案】
1981
【知识点】
1. 无理数的定义 2. 算术平方根 3. 完全平方数
【点评】
本题考查无理数的判定，解题核心是抓住“算术平方根为有理数的被开方数必为完全平方数”这一规律，通过估算完全平方数的取值范围快速确定有理数的个数，避免逐个判断，降低计算量。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先从已知条件入手，先将$(x-2)(x+6)$展开，结合有理数的运算性质推导出$x^2+4x$是有理数；再将四个选项中的式子分别展开，观察展开式是否可以用“$x^2+4x$”这个有理式表示，若能表示为有理数的加减运算，则该式子为有理数，反之则不一定是有理数。
【解析】
先化简已知条件：
$\because (x-2)(x+6)=x^2+4x-12$，且该结果是有理数，12是有理数
$\therefore x^2+4x$是有理数（有理数加有理数仍为有理数）。
接下来逐一分析选项：
A选项：$(x-3)(x+7)=x^2+4x-21$，将$x^2+4x$是有理数代入，可得该式为有理数减21，结果一定是有理数；
B选项：$(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$，代入$x^2+4x$是有理数，可得该式为有理数加3，结果一定是有理数；
C选项：$(x+2)(x-6)=x^2-4x-12$，仅已知$x^2+4x$是有理数，无法推出$x^2-4x$为有理数（$x$是无理数，$-4x$不一定是有理数），因此该式不一定是有理数；
D选项：$(x+2)^2=x^2+4x+4$，代入$x^2+4x$是有理数，可得该式为有理数加4，结果一定是有理数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘法运算，有理数的性质，无理数的概念
【点评】
本题侧重考查推理能力，需要熟练掌握整式乘法的计算法则，结合有理数、无理数的运算性质进行判断，解题核心是从已知条件中提炼出固定的有理式，再对比各选项展开式进行分析。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先要将含根号的不等式转化为关于a、b的整数取值范围，因为不等式两边都是正数，可通过平方去掉根号，且不等号方向不变；得到a、b的取值区间后，分别计算区间内正整数的个数，最后求两者的差值即可得到结果。
【解析】
∵ $a,b,n$ 均为正整数，
对不等式 $n-1＜\sqrt{a}＜n$ 两边同时平方（正数平方后不等号方向不变），可得：
$(n-1)^2 ＜ a ＜ n^2$
其中a为正整数，取值为$(n-1)^2+1, (n-1)^2+2, \dots, n^2-1$，
则a的个数为：$n^2-(n-1)^2-1=2n-2$；
同理，对不等式$n＜\sqrt{b}＜n+1$两边同时平方，可得：
$n^2 ＜ b ＜ (n+1)^2$
其中b为正整数，取值为$n^2+1, n^2+2, \dots, (n+1)^2-1$，
则b的个数为：$(n+1)^2-n^2-1=2n$；
因此满足条件的a的个数比b的个数少：$2n-(2n-2)=2$。
【答案】
2
【知识点】
不等式的性质；算术平方根的性质；整数计数
【点评】
本题核心是通过平方运算将含根号的不等式转化为整数的取值区间，解题时要注意区间端点不包含在内，避免计数时出现多算或少算的错误。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 解题思路：已知面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$，设$\sqrt{2}=1+x$（$x$为正数），则该正方形边长为$1+x$，其面积可拆分为四个小图形的面积和。根据完全平方公式，$(1+x)^2=1+2x+x^2$，对应四个部分的面积，忽略数值极小的$x^2$项，即可得到关于$x$的一元一次方程，求解后得到$\sqrt{2}$的初步近似值。
(2) 解题思路：由(1)可知$\sqrt{2}＜1.5$，因此设$\sqrt{2}=1.5-y$（$y$为很小的正数），同理将边长为1.5的正方形面积拆分为四个小图形的面积和，忽略极小的$y^2$项，得到关于$y$的一元一次方程，求解后即可得到更准确的$\sqrt{2}$近似值。
【解析】
(1) 设$\sqrt{2}=1+x$，根据正方形面积公式，大正方形面积为$(1+x)^2=x^2+2x+1$，已知面积为2，因此$x^2+2x+1=2$；
由于$x$数值很小，$x^2$可忽略，得到方程$2x+1=2$；
解方程得$2x=1$，$x=0.5$，因此$\sqrt{2}\approx1+0.5=1.5$。
(2) 由(1)可知$x^2＞0$，因此$2x+1＜2$，解得$x＜0.5$，即$\sqrt{2}＜1.5$。设$\sqrt{2}=1.5-y$（$y＞0$且数值很小）：
边长为1.5的正方形面积为$1.5^2=2.25$，拆分的四个部分面积和为$2 + y(1.5-y) + y(1.5-y) + y^2=2.25$，
整理得：$-y^2+3y+2=2.25$，
略去数值极小的$y^2$，得方程$3y+2=2.25$，
解得$y=\frac{0.25}{3}\approx0.0833$，因此$\sqrt{2}\approx1.5-0.0833=1.4167$。
【答案】
(1) $2x+1$；$2x+1=2$；$0.5$；$1.5$
(2) 因为 $x^2＞0,$ 所以 $2x+1＜2,$ 解得 $x＜0.5.$ 所以$\sqrt{2}＜1.5.$设$\sqrt{2}=1.5-y,$示意图如图1所示. 由面积公式,得 $y^2+2y(1.5-y)+2=1.5^2.$ 整理,得 $-y^2+3y+2=2.25.$ 略去 $y^2$,得方程 $3y+2=2.25,$ 解得$y=0.08\dot{3}.$则$\sqrt{2}\approx1.416\ 7.$

【知识点】
无理数的估算；完全平方公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题借助数形结合的方法，通过正方形面积的拆分将无理数估算转化为简单的一元一次方程求解，既直观易懂，又能帮助理解无理数的大小意义，是估算无理数近似值的一种实用方法。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决这类问题的核心思路是先确定无理数的取值范围：①先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，即可确定无理数介于哪两个相邻整数之间，较小的整数就是它的整数部分，小数部分等于无理数减去整数部分；②拓展一计算含无理数式子的小数部分时，先结合无理数的范围算出整个式子的取值范围，确定其整数部分，再用原式减去整数部分即可得到小数部分，注意小数部分一定是大于等于0且小于1的数；③拓展二则需要对被开方式$n^2+n$进行放缩，结合$n$是正整数的条件，证明$\sqrt{n^2+n}$介于$n$和$n+1$之间，即可得到其整数部分。
【解析】
基础问题
因为$9＜13＜16$，对三个数同时开算术平方根可得$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$的整数部分是3，小数部分为$\sqrt{13}-3$。
拓展一
由$3＜\sqrt{13}＜4$可得：
$9+3＜9+\sqrt{13}＜9+4$，即$12＜9+\sqrt{13}＜13$，因此$9+\sqrt{13}$的整数部分是12，小数部分$a=(9+\sqrt{13})-12=\sqrt{13}-3$；
对$3＜\sqrt{13}＜4$两边同时乘$-1$得$-4＜-\sqrt{13}＜-3$，再加9得$9-4＜9-\sqrt{13}＜9-3$，即$5＜9-\sqrt{13}＜6$，因此$9-\sqrt{13}$的整数部分是5，小数部分$b=(9-\sqrt{13})-5=4-\sqrt{13}$。
拓展二
$\sqrt{n^2+n}$（$n$为正整数）的整数部分是$n$，理由如下：
因为$n$为正整数，所以$n^2 ＜ n^2+n ＜ n^2+2n+1$，而$n^2+2n+1=(n+1)^2$，因此可得$\sqrt{n^2}＜\sqrt{n^2+n}＜\sqrt{(n+1)^2}$，即$n＜\sqrt{n^2+n}＜n+1$，所以$\sqrt{n^2+n}$的整数部分为$n$。
【答案】
$3$；$\sqrt{13}-3$
【拓展一】$\sqrt{13}-3$；$4-\sqrt{13}$
【拓展二】$n$，理由见解析
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数的整数与小数部分
3. 不等式的性质
【点评】
本题围绕无理数的估算展开考查，解题的关键是掌握利用相邻完全平方数确定无理数范围的方法，拓展部分需要灵活迁移基础方法，注意小数部分恒为非负且小于1的特征，能有效训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7