10. 以“万”为单位，准确值5万与近似值5万最多相差
5 000
。
答案：10. 5 000 解析:因为近似值为5万的数大于或等于45 000,小于54 999,所以准确值5万与近似值5万最多相差$50 000－45 000＝5 000$．
解析：
【分析】
解题时首先回忆四舍五入求近似数的规则：近似值为5万是精确到万位，需根据千位数字的大小判断是“四舍”还是“五入”得到近似值。第一步先确定近似值等于5万的所有数的取值范围，找到这个范围的最大值和最小值；第二步分别计算最大值、最小值与准确值5万的差值；第三步比较两个差值的大小，较大的那个就是所求的最多相差的数值。
【解析】
根据四舍五入法，近似值为5万的数的取值范围是：大于等于45000，小于等于54999。
分别计算两个端点与准确值5万的差值：
$50000 - 45000 = 5000$
$54999 - 50000 = 4999$
因为$5000 ＞ 4999$，所以准确值5万与近似值5万最多相差5000。
【答案】
5000
【知识点】
四舍五入法；近似数取值范围；有理数减法
【点评】
本题重点考查对近似数四舍五入规则的应用，解题的核心是准确锁定近似值对应的原数的取值边界，易错点是容易只考虑“四舍”得到的最大值，忽略“五入”得到的最小值，从而误算最大差值。
【难度系数】
0.6
11. 8位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数作为该运动员的最终得分，且当用四舍五入取近似值的方法精确到十分位时，该运动员得8.3分。若精确到百分位，则该运动员的得分是
8.33
分。
答案：11. 8.33 解析:由题意,得该运动员得分去掉一个最高分和一个最低分后的总分大于或等于$8.25×6＝49.5$(分),小于$8.35×6＝50.1$(分)．又裁判的打分都是整数,所以该运动员得分去掉一个最高分和一个最低分后的总分为50分,即该运动员的得分精确到百分位是$50÷6≈8.33$(分)．
解析：
【分析】
解题思路如下：
1. 首先明确四舍五入的规则：当精确到十分位得到8.3时，实际的平均得分的取值范围是≥8.25且＜8.35，这是因为小于8.25的数四舍五入到十分位是8.2，大于等于8.35的数四舍五入到十分位是8.4，均不符合题意。
2. 去掉一个最高分和一个最低分后，剩余6个有效打分，平均分为6个打分的总分除以6，因此用平均分的范围乘6，即可得到6个打分总分的取值范围。
3. 由于每个裁判的打分都是整数，6个整数的和仍为整数，结合总分的取值范围就能确定总分的唯一整数值。
4. 最后用总分除以6，计算结果后四舍五入到百分位即可得到答案。
【解析】
解：由四舍五入精确到十分位得8.3可知，有效得分的平均分$a$满足：
$8.25 ≤ a ＜ 8.35$
去掉1个最高分和1个最低分后，剩余6个得分，设这6个得分的总分为$S$，则$a=\frac{S}{6}$，代入不等式得：
$8.25×6 ≤ S ＜ 8.35×6$
计算得：$49.5 ≤ S ＜ 50.1$
因为每个裁判的打分都是整数，所以6个得分的总和$S$也为整数，在49.5到50.1之间的整数只有50，即$S=50$。
因此精确到百分位的得分为：$50÷6\approx8.33$（分）
【答案】
8.33
【知识点】
近似数的取值范围，平均数计算，整数的性质
【点评】
本题考查近似值相关的实际应用，解题核心是根据四舍五入的规则反推准确值的取值范围，再结合打分是整数的限定条件确定总分，需要注意近似区间的边界是否可取，避免出错。
【难度系数】
0.7
12. 对非负实数$x$“四舍五入”到个位的值记为$(x)$，即当$n$为非负整数时，若$n-0.5≤ x＜ n+0.5$，则$(x)=n$. 例如: $(1.34)=1$，$(4.86)=5$. 若$(0.5x-1)=7$，则实数$x$的取值范围为________.
答案：12. $15≤x＜17$ 解析:由题意,得$6.5≤0.5x－1＜7.5$,解得$15≤x＜17$. 则x的取值范围为$15≤x＜17$．
解析：
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位记为(x)，若(x)=n，则满足n-0.5≤x＜n+0.5。已知(0.5x-1)=7，说明这里的n=7，我们只需要把定义中的x替换为“0.5x-1”、n替换为7，列出对应的不等式组，再解不等式组就能得到x的取值范围。
【解析】
根据新定义的规则，由(0.5x-1)=7可得：
$7-0.5 ≤ 0.5x - 1 ＜ 7+0.5$
即：
$6.5 ≤ 0.5x - 1 ＜ 7.5$
不等式各部分同时加1，得：
$7.5 ≤ 0.5x ＜ 8.5$
不等式各部分同时乘2，得：
$15 ≤ x ＜ 17$
【答案】
$15≤x＜17$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式组求解
【点评】
本题属于新定义结合不等式的基础应用题，解题关键是正确理解新定义的运算规则，将陌生的新定义问题转化为常规的不等式求解问题，解题时需注意不等号的边界是否包含等号，避免写错不等号方向。
【难度系数】
0.7
13. (2026·江苏苏州期末)把一个四位数$x$先四舍五入到十位，所得的数为$y$，再将$y$四舍五入到百位，所得的数为$z$，最后将$z$四舍五入到千位，所得的数恰好为$3× 10^3$.
(1) 数$x$的最小值和最大值分别是什么？
(2) 用数$x$的最大值减数$x$的最小值，得到的差用科学记数法表示是什么(结果精确到千位)？
答案：13. (1) 由题意,得z的取值范围为$2.5×10^{3}≤z≤3.4×10^{3}$. 当z取最小值,即$z＝2.5×10^{3}$时,$y≥2.45×10^{3}$,即y的最小值为$2.45×10^{3}$. 同理,得x的最小值为2 445. 当z取最大值,即$z＝3.4×10^{3}$时,$y≤3.44×10^{3}$,即y的最大值为$3.44×10^{3}$. 同理,得x的最大值为3 444. 综上,数x的最小值和最大值分别是2 445和3 444.
(2) 由(1),得数x的最大值是3 444,数x的最小值是2 445. 所以$3 444－2 445＝999≈1×10^{3}$．
解析：
【分析】
本题考查近似数的逆推计算，解题时从最终的四舍五入结果反向推导即可：①先根据四舍五入到千位得$3×10^3$，确定z的取值范围；②再根据z是y四舍五入到百位的结果，推导y的最值范围；③最后根据y是x四舍五入到十位的结果，推导x的最大值和最小值。第二问先计算最值的差，再按照要求对差取近似值，用科学记数法表示即可。要注意四舍五入规则中，“五入”得到的近似数对应原数的最小值，“四舍”得到的近似数对应原数的最大值，避免边界值取错。
【解析】
(1) 已知z四舍五入到千位后为$3×10^3$，根据四舍五入规则，z的取值范围为$2.5×10^3 ≤ z ≤ 3.4×10^3$：
① 求x的最小值：当z取最小值$2.5×10^3$时，z是y四舍五入到百位的结果，因此y的最小值为$2.45×10^3$（$2.45×10^3$四舍五入到百位可得$2.5×10^3$）；又y是x四舍五入到十位的结果，因此x的最小值为2445（2445四舍五入到十位可得$2.45×10^3$）。
② 求x的最大值：当z取最大值$3.4×10^3$时，z是y四舍五入到百位的结果，因此y的最大值为$3.44×10^3$（$3.44×10^3$四舍五入到百位可得$3.4×10^3$）；又y是x四舍五入到十位的结果，因此x的最大值为3444（3444四舍五入到十位可得$3.44×10^3$）。
综上，x的最小值为2445，最大值为3444。
(2) 计算最大值与最小值的差：$3444 - 2445 = 999$，将999精确到千位，得$1000 = 1×10^3$。
【答案】
(1) 最小值是2445，最大值是3444；
(2) $1×10^3$
【知识点】
近似数；四舍五入法；科学记数法
【点评】
本题核心是利用四舍五入的规则反向推导原数的取值范围，解题时要注意从最后一次近似操作向前逆推，区分“四舍”和“五入”对应的边界值，同时要掌握科学记数法表示近似数的规范要求。
【难度系数】
0.7
14. 已知一个全长为 400 m 的标准半圆式跑道（由两个半圆和两条线段组成），每条跑道的宽是 1.22 m. 现在要在该跑道上进行 200 m 赛跑，若终点在同一直线上，则第一道运动员和第四道运动员的起跑线应相差
11.5
m.
（$π$取 3.14，结果精确到 0.1 m）
答案：14. 11.5 解析:设第一跑道半圆部分的半径为r m. 因为每条跑道的宽为1.22 m,所以第四跑道半圆部分的半径为$r＋3×1.22＝(r＋3.66)m$. 因为赛跑路程为200 m,且终点在同一直线上,所以第一跑道的运动员与第四跑道的运动员起跑线应相差$\frac{1}{2}×2π×(r＋3.66)－\frac{1}{2}×2πr＝3.66π≈11.5$(m)．
解析：
【分析】
要解决这道题，首先明确200米赛跑在半圆式跑道上的路程组成：包含一段直道和一段半圆弯道，其中直道部分各跑道长度完全相同，因此起跑线的差距仅来源于弯道（半圆）的长度差。接下来确定第一道和第四道的弯道半径差：第一道到第四道间隔3个跑道宽度，因此第四道的半圆半径比第一道多$3×1.22\mathrm{m}$。最后计算两个半圆弧长的差即可，计算过程中半径$r$会抵消，无需知道$r$的具体数值。
【解析】
设第一跑道半圆部分的半径为$r\,\mathrm{m}$。
∵每条跑道宽$1.22\,\mathrm{m}$，第四道与第一道间隔3个跑道宽度，
∴第四跑道半圆部分的半径为 $ r + 3×1.22 = (r + 3.66) \, \mathrm{m} $。
∵200m赛跑仅经过1个半圆弯道，直道长度各跑道相同，
∴起跑线相差的长度 = 第四道半圆弧长 - 第一道半圆弧长
即：$ \frac{1}{2}×2π(r + 3.66) - \frac{1}{2}×2πr = π(r + 3.66) - πr = 3.66π $
代入$π=3.14$，得：$ 3.66×3.14 ≈ 11.5 \, \mathrm{m} $
【答案】
11.5
【知识点】
圆的周长计算，近似数求解，跑道起跑线问题
【点评】
本题结合体育赛场的实际场景考查圆周长公式的应用，解题的核心是明确起跑线的差值仅来自弯道部分，需注意跑道序号差与宽度倍数的对应关系（第$n$道与第1道的半径差为$(n-1)×$跑道宽），同时200米赛跑仅经过一个半圆弯道，不要误算为整圆的周长差，最后按要求对结果取近似值即可。
【难度系数】
0.6
15. 新素养 应用意识 公元3世纪，我国数学家就能利用近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$（$a,r$为正整数，且$a$取尽可能大的正整数），得到无理数的近似值. 例如：$\sqrt{2}$可化为$\sqrt{1^2 +1}$，再由近似公式，得$\sqrt{1^2 +1} \approx1 + \frac{1}{2×1}=\frac{3}{2}=1.5$.
（1）利用上述公式，估算$\sqrt{17}$的近似值；
（2）已知正整数$m,n$满足$n＜\sqrt{m}＜n+1$，利用近似公式求$\sqrt{m}$所有可能取值之和的近似值（用含$n$的代数式表示）.
答案：15. (1) 因为$\sqrt{17}$可化为$\sqrt{4^{2}＋1}$,所以由近似公式,得$\sqrt{17}＝\sqrt{4^{2}＋1}≈4＋\frac{1}{2×4}＝4＋\frac{1}{8}＝4.125$,即$\sqrt{17}$的近似值为4.125.
(2) 因为$n＜\sqrt{m}＜n＋1$,且m,n为正整数,所以$n^{2}＜m＜(n＋1)^{2}$,即m的所有可能取值为$n^{2}＋1$,$n^{2}＋2$,$…$,$n^{2}＋2n$. 设$\sqrt{m}$所有可能取值之和为S,则$S＝\sqrt{n^{2}＋1}＋\sqrt{n^{2}＋2}＋…＋\sqrt{n^{2}＋2n}$. 由近似公式,得$S≈n＋\frac{1}{2n}＋n＋\frac{2}{2n}＋…＋n＋\frac{2n}{2n}＝n·2n＋\frac{1＋2＋…＋2n}{2n}＝2n^{2}＋n＋\frac{1}{2}$,即$\sqrt{m}$所有可能取值之和的近似值为$2n^{2}＋n＋\frac{1}{2}$．
解析：
【分析】
（1）求解第一问时，需先遵循近似公式的使用规则：将被开方数拆为$a^2+r$的形式，其中$a$取尽可能大的正整数。对于$\sqrt{17}$，先找到小于17的最大完全平方数为$16=4^2$，因此$a=4$，$r=17-16=1$，再代入给定公式计算即可。
（2）求解第二问时，首先根据二次根式的大小关系$n＜\sqrt{m}＜n+1$，两边平方得到$m$的取值范围，确定$m$的所有可能取值；再将每个$\sqrt{m}$套用近似公式展开，对所有展开式求和时，先拆分整数部分和分数部分分别计算，化简后即可得到结果。
【解析】
（1）将$\sqrt{17}$改写为符合近似公式的形式：$\sqrt{17}=\sqrt{4^2+1}$，其中$a=4$（小于$\sqrt{17}$的最大正整数），$r=1$。
代入近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$，可得：
$\sqrt{17}\approx4+\frac{1}{2×4}=4+\frac{1}{8}=4.125$。
（2）已知$n＜\sqrt{m}＜n+1$，且$m、n$为正整数，将不等式三边同时平方，得$n^2＜m＜(n+1)^2$，展开得$n^2＜m＜n^2+2n+1$，因此$m$的所有可能取值为$n^2+1、n^2+2、\dots、n^2+2n$，共$2n$个值。
设$\sqrt{m}$所有可能取值之和为$S$，则：
$S=\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2}+\dots+\sqrt{n^2+2n}$
对每一项套用近似公式，每个式子的$a$均为$n$，$r$依次为$1、2、\dots、2n$，因此：
$S\approx(n+\frac{1}{2n})+(n+\frac{2}{2n})+\dots+(n+\frac{2n}{2n})$
拆分求和：整数部分共有$2n$个$n$相加，和为$n×2n=2n^2$；
分数部分分子为$1+2+\dots+2n$，由求和公式得$1+2+\dots+2n=\frac{(1+2n)×2n}{2}=n(2n+1)$，因此分数部分的和为$\frac{n(2n+1)}{2n}=\frac{2n+1}{2}=n+\frac{1}{2}$。
两部分相加得$S\approx2n^2+n+\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{4.125}$；（2）$\boldsymbol{2n^2 + n + \frac{1}{2}}$
【知识点】
新公式应用，二次根式估值，代数式化简
【点评】
本题以我国古代数学研究成果为背景，既渗透了数学文化，也综合考查了学生对新信息的提取应用能力、二次根式大小判断能力以及代数式的运算推导能力，要求学生能准确理解公式使用条件并灵活运用。
【难度系数】
0.7
