【分析】
要求A、C两地的距离，可先连接AC，将实际问题转化为求△ABC中AC边长的数学问题。首先根据方位角的定义，结合A、B两地的正北方向线互相平行，利用平行线的内错角相等求出∠ABE的度数，进而得到∠ABC的度数，判断△ABC为直角三角形后，再结合已知的AB、BC长度，利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：如图，连接AC。
由题意得：AB=40 n mile，BC=30 n mile，AD、BE均为正北方向，故AD//BE，∠DAB=40°，∠CBE=50°。
∵两直线平行，内错角相等，
∴∠ABE=∠DAB=40°，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+50°=90°，即△ABC是直角三角形，∠ABC为直角。
根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50$（n mile）。

【答案】
50 n mile
【知识点】
方位角的应用，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类题目，解题的核心是结合方位角和平行线的性质判断出△ABC为直角三角形，能有效考查学生将实际问题转化为几何问题的能力，难度适中。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是勾股定理的实际应用问题，首先根据“垂直横渡”的条件可知△ABC为直角三角形，∠ABC=90°。已知BC的长度，以及AC与AB的长度关系，我们可以通过设未知数表示出AB和AC的长度，再结合勾股定理列方程求解即可得到河宽AB的长度。
【解析】
由题意可知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，BC=11 m。
设河的宽度AB为x m，则实际航行的路程AC=(x+1) m。
根据勾股定理可得：$AC^2=AB^2+BC^2$，代入数据得：
$(x+1)^2 = x^2 + 11^2$
展开左边得：$x^2 + 2x + 1 = x^2 + 121$
两边消去$x^2$，整理得：$2x=120$
解得：$x=60$
【答案】
60
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题将生活场景与数学知识结合，核心是从实际问题中抽象出直角三角形模型，利用已知的边长关系设未知数列方程求解，是勾股定理应用的基础题型，能很好地考查学生的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求河宽MP，已知MN的长度，只需先求出PN的长度，再通过$MP=MN-PN$计算即可。首先利用已知的$△ MNH$的三边长，通过勾股定理的逆定理判断$∠ N$是否为直角，若$∠ N$为直角，则$△ PNH$为直角三角形，即可利用勾股定理求出PN的长度，最终得到MP的值。
【解析】
解：已知$MH=34\ \mathrm{m}$，$NH=30\ \mathrm{m}$，$MN=16\ \mathrm{m}$，
先计算各边平方：
$MH^2=34^2=1156$，
$NH^2+MN^2=30^2+16^2=900+256=1156$，
因此$MH^2=NH^2+MN^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ N=90°$，即$△ PNH$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ PNH$中，$PH=31\ \mathrm{m}$，$NH=30\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$PN=\sqrt{PH^2-NH^2}=\sqrt{31^2-30^2}=\sqrt{961-900}=\sqrt{61}\ \mathrm{m}$，
所以$MP=MN-PN=16-\sqrt{61}\ (\mathrm{m})$。
【答案】
$(16-\sqrt{61})\mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；线段和差计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类题目，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理确定直角，再结合勾股定理求解未知线段，解题时要注意准确计算各边的平方，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是勾股定理的实际应用题，首先把实际场景转化为数学模型：剩余树干AC、地面BC、折断部分AB构成直角三角形ABC，∠C为直角。我们可以设离地面的折断高度AC为x m，那么折断部分AB的长度就是总树高减去AC，即(8-x)m，已知BC长度为4m，此时直角三角形三边的关系都可用含x的式子表示，再利用勾股定理列方程求解，就能得到折断高度。
【解析】
解：设这棵树在离地面x m处被折断，即AC=x m，则折断部分的长度AB=(8-x)m。
由题意得∠ACB=90°，△ABC为直角三角形，根据勾股定理：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将BC=4 m代入得：
$x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$
展开计算：
$x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$
消去$x^2$后整理得：
$16x = 48$
解得$x=3$
【答案】
3
【知识点】
勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是将树木折断的实际场景转化为直角三角形数学模型，通过设未知数结合勾股定理建立方程即可求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.8

【分析】
要计算树甲原来的高度，首先明确树高等于未折断部分AB的长度加上折断部分AC的长度，已知AB=4m，因此只需先求出AC的长度即可。题目给出了两棵树的水平距离，我们可以通过作辅助线构造直角三角形，将已知边长和水平距离转化为直角三角形的边，先后两次运用勾股定理计算：首先在直角三角形BCD中求出BD的长度，进而得到AD的长度，再在直角三角形ACD中求出AC的长度，最后将AC和AB相加就能得到树甲原来的高度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则∠D=90°。
由题意得，两棵树的水平距离DC=12 m。
在Rt△BCD中，BC=13 m，DC=12 m，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$ m。
已知AB=4 m，所以$AD=AB+BD=4+5=9$ m。
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$ m。
因此树甲原来的高度为$AC+AB=15+4=19$ m。
【答案】
19 m
【知识点】
勾股定理，辅助线构造，实际应用
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的典型习题，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，能有效锻炼几何建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7