与直角三角形三条边长对应的3个正整数$(a,b,c)$，称为勾股数.《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”的“3,4,5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的正整数倍，如:$(6,8,10),(9,12,15),(12,16,20)$等都是勾股数.当然，勾股数远远不止这些，如:$(5,12,13),(8,15,17)$等也都是勾股数.怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数$(a,b,c)$才能满足关系式$a^2 + b^2 = c^2$？设$(a,b,c)$为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1
| $a$ | $b$ | $c$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 3 | 4 | 5 |
| 5 |
| 13 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
表2
| $a$ | $b$ | $c$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 6 | 8 | 10 |
| 8 |
| 17 |
| 10 | 24 | 26 |
| 12 | 35 | 37 |
(1) 根据表1的规律写出勾股数:$(11,$
$, $
$)$,观察可得:表1中$b$、$c$与$a^2$之间的关系是
；
(2) 根据表2的规律写出勾股数:$(16,$
$, $
$)$,观察可得:表2中$b$、$c$与$a^2$之间的关系是
；
(3) 老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗(请用勾股定理的形式直接写出一种结果即可，例如:$3^2 + 4^2 =5^2$)?
答案：(1) 60 61 $a^2 = b + c$
解析: 由题表1,得 $3^2=4+5$,5=4+1;$5^2=12+13$,13=12+1……所以 $a^2 = b + c$ 且$c=b+1$,即 $a^2=2b+1$. 将 $a=11$ 代入 $a^2=2b+1$ 中,得$11^2=2b+1$,解得 $b=60$. 则 $c=61$.
(2) 63 65 $\frac{1}{2}a^2 = b + c$
解析: 由题表2,得 $\frac{1}{2}×6^2=8+10,10=8+2$;$\frac{1}{2}×8^2=15+17,17=15+2$……所以 $\frac{1}{2}a^2 = b + c$ 且$c=b+2$,即 $\frac{1}{2}a^2=2b+2$. 将 $a=16$ 代入 $\frac{1}{2}a^2=2b+2$ 中,得 $\frac{1}{2}×16^2=2b+2$,解得 $b=63$. 则$c=65$.
(3) 答案不唯一,如:$17^2 + 144^2 =145^2$.
解析：
【分析】
解决本题需要先观察两组表格中勾股数的特征，梳理a、b、c三者的数量关系：
(1) 表1中a是连续奇数，对比每组的$a^2$、b、c，可发现c比b大1，且$a^2$恰好等于b与c的和，根据这个规律，将a=11代入就能求出对应的b和c；
(2) 表2中a是连续偶数，对比每组的$\frac{1}{2}a^2$、b、c，可发现c比b大2，且$\frac{1}{2}a^2$等于b与c的和，将a=16代入即可求出对应的b和c；
(3) 已知最大数c=145，可任选前面总结的两类规律之一计算，比如用表1的规律，先由c求出b，再求a即可得到对应的勾股数。
【解析】
(1) 观察表1的勾股数：$3^2=4+5$，$5^2=12+13$，$7^2=24+25$，$9^2=40+41$，可总结规律：$a^2 = b + c$，且$c = b + 1$，即$a^2=2b+1$。
当$a=11$时，代入得$11^2=2b+1$，即$121=2b+1$，解得$b=60$，则$c=b+1=61$。
(2) 观察表2的勾股数：$\frac{1}{2}×6^2=8+10$，$\frac{1}{2}×8^2=15+17$，$\frac{1}{2}×10^2=24+26$，$\frac{1}{2}×12^2=35+37$，可总结规律：$\frac{1}{2}a^2 = b + c$，且$c = b + 2$，即$\frac{1}{2}a^2=2b+2$。
当$a=16$时，代入得$\frac{1}{2}×16^2=2b+2$，即$128=2b+2$，解得$b=63$，则$c=b+2=65$。
(3) 若选用表1的规律，$c=b+1$，已知最大数$c=145$，则$b=145-1=144$，$a^2=b+c=144+145=289$，所以$a=17$，即可得到对应勾股等式（答案不唯一）。
【答案】
(1) $60$，$61$，$a^2 = b + c$
(2) $63$，$65$，$\frac{1}{2}a^2 = b + c$
(3) 示例：$17^2 + 144^2 =145^2$（答案合理即可）
【知识点】
勾股数，勾股定理，规律探究
【点评】
本题以勾股数为背景，考查学生观察、归纳、总结规律的能力，需要结合勾股定理的性质分析数据间的内在联系，同时能灵活运用总结出的规律解决未知问题，兼具趣味性和探究性。
【难度系数】
0.7
