【问题探究】
某公园计划建造一个圆柱形的观景塔,并为其设计一段螺旋楼梯.设计图纸上的一些关键数据如下:观景塔底部圆的直径为10 m,楼梯将从地面开始,盘旋而上,绕圈后到达塔顶平台.塔顶平台距离地面的高度为16 m.
(1) 如果楼梯只绕塔身一圈就到达16 m高的塔顶,请利用【阅读材料】中的“展开法”,计算此时楼梯扶手的长度(π取3);
(2) 若楼梯绕塔身两圈到达16 m高的塔顶,请计算这段螺旋楼梯扶手的总长度(计算结果保留根号,π取3);
【拓展延伸】
(3) 如果楼梯绕塔身n圈到达高度为h的塔顶,且塔底圆的直径为d,请尝试写出楼梯扶手总长度L的计算公式(用含n,h,d的代数式表示).
答案：(1) 因为观景塔底部圆的直径为10 m,所以其底部圆的周长为10π≈10×3=30(m).又塔顶平台距离地面的高度为16 m,所以此时楼梯扶手的长度为√(30²+16²)=34(m).
(2) 绕两圈相当于将圆柱侧面展开两次,即展开后的长方形的长为2×10π≈2×30=60(m),且其宽为16 m,所以此时楼梯扶手的长度为√(60²+16²)=√3856(m).
(3) 绕n圈相当于将圆柱侧面展开n次,即展开后的长方形的长为nπd,且其宽为h,所以L=√((nπd)²+h²).
解析：
【分析】
解决螺旋楼梯扶手长度问题的核心思路是“化曲为直”：利用圆柱侧面展开法，将立体表面的螺旋曲线转化为平面长方形的对角线，再结合勾股定理计算长度。①第(1)问绕1圈时，将圆柱侧面展开为1个长方形，长为底面周长，宽为塔高，扶手长度就是长方形对角线，用勾股定理计算即可；②第(2)问绕2圈时，相当于把2个圆柱侧面展开后拼接成大长方形，长为2倍底面周长，宽仍为塔高，再用勾股定理求解；③第(3)问将特殊情况的规律推广到n圈，把对应数值替换为字母即可得到通用公式。
【解析】
(1) 先计算观景塔底面圆的周长：已知底面直径为10 m，π取3，因此周长$C=π d=3×10=30(\mathrm{m})$。
将圆柱侧面展开1次得到长方形，长为30 m，宽为塔高16 m，扶手长度为长方形对角线，由勾股定理得：
长度$=\sqrt{30^2+16^2}=\sqrt{900+256}=\sqrt{1156}=34(\mathrm{m})$。
(2) 绕塔身2圈时，相当于将2个圆柱侧面展开拼接，得到的长方形长为$2C=2×30=60(\mathrm{m})$，宽仍为塔高16 m，由勾股定理得：
总长度$=\sqrt{60^2+16^2}=\sqrt{3600+256}=\sqrt{3856}(\mathrm{m})$。
(3) 绕n圈时，展开后长方形的长为n倍底面周长，即$nπ d$，宽为塔高$h$，根据勾股定理可得总长度：
$L=\sqrt{(nπ d)^2+h^2}$。
【答案】
(1) $\boxed{34\ \mathrm{m}}$；
(2) $\boxed{\sqrt{3856}\ \mathrm{m}}$；
(3) $\boxed{L=\sqrt{(nπ d)^2+h^2}}$。
【知识点】
圆柱侧面展开，勾股定理，规律探究
【点评】
本题运用转化思想将立体曲线问题转化为平面线段计算问题，既考查了空间想象能力，也锻炼了从特殊到一般的归纳推导能力，贴合生活实际，能有效提升知识应用能力。
【难度系数】
0.65
