【分析】
（1）方案一可利用直角三角形勾股定理计算单个监控覆盖的河岸长度：已知Rt△ABM₁中监控到河岸的垂直距离、最远监测距离，直接用勾股定理求出AB，再用总河岸长度除以AB，结果向上取整即可得到所需监控数量。
（2）方案二先作辅助线M₁N⊥AB，先在Rt△M₁NB中用勾股定理求出BN的长度，再设AN为x，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示AM₁的平方，建立方程求解x，得到单个监控覆盖的AB长度后，即可计算总监控数量。
（3）对比两个方案所需监控的数量，数量更少的方案更优化。
【解析】
(1) 由题意得，在$\mathrm{Rt}△ ABM_{1}$中，$BM_{1}=300\ \mathrm{m}$，$AM_{1}=500\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理可得$AB=\sqrt{AM_{1}^{2}-BM_{1}^{2}}=\sqrt{500^2-300^2}=400\ \mathrm{m}$。
已知河流南岸长5000 m，$5000÷400=12.5$，监控个数为正整数，因此至少需要布设13个监控器。
(2) 过点$M_1$作$M_1N⊥ AB$于点$N$，则$M_1N=300\ \mathrm{m}$，$∠ ANM_1=∠ BNM_1=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ M_1NB$中，$BM_1=375\ \mathrm{m}$，根据勾股定理可得$BN=\sqrt{BM_1^2-M_1N^2}=\sqrt{375^2-300^2}=225\ \mathrm{m}$。
设$AN=x\ \mathrm{m}$，则$AB=AN+BN=(x+225)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AM_1N$中，由勾股定理得$AM_1^2=AN^2+M_1N^2=x^2+300^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ABM_1$中，由勾股定理得$AM_1^2=AB^2-BM_1^2=(x+225)^2-375^2$。
联立得方程：$x^2+300^2=(x+225)^2-375^2$，
化简求解得$x=400$。
因此$AM_1=\sqrt{400^2+300^2}=500\ \mathrm{m}$，符合有效监测距离要求，$AB=400+225=625\ \mathrm{m}$。
$5000÷625=8$，故至少需要布设8个监控器。
(3) 方案二所需监控数量更少，因此方案二更优化。
【答案】
(1) 至少需要布设13个监控器；
(2) 至少需要布设8个监控器；
(3) 二
【知识点】
勾股定理，方程应用，方案优化
【点评】
本题结合监控布设的实际生活场景，考查勾股定理的实际应用，既要求学生熟练掌握勾股定理计算线段长度，也需要结合实际问题的取整规则求解，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
