【分析】
首先，31个结将绳子分成30等份，可设每份长度为1，小明握住首尾两个结，相当于绳子围成三角形，三个顶点分别对应小明握的第1（31）个结、小红拉的第6个结、小东拉的绳结。第一步先算已知边长度：小明到小红的间隔是6-1=5段，长度为5；第二步设小红到小东的间隔为x段，则小东到小明的间隔为总段数30减去5再减x，即(25-x)段；第三步因为是直角三角形，根据勾股定理，要分两种情况讨论：较短的边5是直角边，因此斜边要么是x，要么是(25-x)，分别列方程求解x，再换算成对应的绳结编号，匹配选项即可。
【解析】
设每段绳子的长度为1，小红与小东之间的距离为x段。
1. 计算已知边长：小明到小红的间隔段数为$6-1=5$段，对应长度为5。
2. 表示剩余两边长度：绳子总共有30段，因此小东到小明的间隔段数为$30-5-x=(25-x)$段，对应长度为$25-x$。
3. 根据勾股定理分两种情况列方程：
情况1：长度为5、x的边为直角边，$25-x$为斜边：
$$5^2 + x^2 = (25-x)^2$ 展开化简得：$25 = 625 - 50x$，解得$x=12$，对应绳结编号为$6+12=18$。 情况2：长度为5、$25-x$的边为直角边，x为斜边： $$5^2 + (25-x)^2 = x^2$
展开化简得：$650 = 50x$，解得$x=13$，对应绳结编号为$6+13=19$。
4. 匹配选项，仅有18符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，分类讨论思想，一元一次方程求解
【点评】
本题将生活场景与数学知识结合，需要先把实际问题转化为直角三角形模型，解题时要注意绳结编号与段数的换算关系，同时需考虑斜边的两种可能，避免漏解，能很好地考察学生的知识迁移能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.5

【分析】
要求CE的长度，CE不在现有直角三角形中，无法直接用勾股定理计算，因此需要通过构造辅助线转化边和角求解。题目给出了多组相等的边（AB=BC、DB=DE）和直角条件，适合用全等三角形转移线段：首先延长ED到F使DF=DE，先证△BDE和△BDF全等，得到BE=BF和相关角度；再推导角相等证△EBA和△FBC全等，得到CF的长度，同时证明∠CFE为直角，最后在Rt△CFE中用勾股定理计算CE即可。
【解析】
解：如图，延长ED到点F，使得DF=DE，连接CF，BF。
∵ $BD=DE=2$，$∠ BDE=90°$，$∠ BDE+∠ BDF=180°$，
∴ $△ BDE$是等腰直角三角形，$DF=2$，$∠ BDF=∠ BDE=90°$，$∠ EBD=∠ BEA=45°$，
∴ $EF=DE+DF=4$。
在$△ BDE$和$△ BDF$中：
$\begin{cases} BD=BD \\ ∠ BDE=∠ BDF \\ DE=DF \end{cases}$
∴ $△ BDE≌△ BDF$（SAS），
∴ $BE=BF$，$∠ BFA=∠ BEA=45°$，$∠ FBD=∠ EBD=45°$，
∴ $∠ EBF=∠ EBD+∠ FBD=90°$，即$∠ EBA+∠ ABF=90°$。
又
∵ $∠ ABC=90°$，即$∠ ABF+∠ FBC=90°$，
∴ $∠ EBA=∠ FBC$。
在$△ EBA$和$△ FBC$中：
$\begin{cases} BE=BF \\ ∠ EBA=∠ FBC \\ BA=BC \end{cases}$
∴ $△ EBA≌△ FBC$（SAS），
∴ $∠ BEA=∠ BFC=45°$，$AE=CF$。
∵ A是DE的中点，$DE=2$，
∴ $AE=\frac{1}{2}DE=1$，即$CF=1$。
∵ $∠ CFE=∠ BFC+∠ BFA=45°+45°=90°$，
∴ 在$Rt△ CFE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{EF^2+CF^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。

【答案】D
【知识点】全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】本题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将未知线段转化到直角三角形中求解，既考查了全等三角形、等腰直角三角形的基础性质，也对学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】0.3

【分析】
解题可按以下思路推进：1. 先观察直角△CDG，O是斜边CG的中点，结合直角三角形斜边中线的性质，可得OC=OD；2. 结合等腰△ACD中AC=AD，以及公共边OA，可证明△OAC与△OAD全等，进而推出∠OAD为固定的60°，由此确定点O的运动轨迹是和AB夹角为60°的固定射线；3. 求OB的最小值可利用“垂线段最短”，当OB垂直于该固定射线时OB最短，最后结合直角三角形性质和勾股定理计算即可。
【解析】
解：连接OA，OD，延长AO至点E。
∵△ACD是等腰三角形，∠CAD=120°，
∴$AC=AD$。
∵$DP⊥CD$，
∴$∠CDG=90°$，即△CDG为直角三角形。
又
∵O为CG的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$OD=OC=\frac{1}{2}CG$。
在$△ OAC$和$△ OAD$中：
$\begin{cases}AC=AD \\OC=OD \\OA=OA\end{cases}$
∴$△ OAC≌△ OAD(SSS)$，
∴$∠OAC=∠OAD=\frac{1}{2}∠CAD=\frac{1}{2}×120°=60°$，即$∠BAE=60°$，
∴点O始终在射线AE上运动。
根据“垂线段最短”，当$OB⊥AE$时，OB的长最小，此时$OB=m$。
在$Rt△ OAB$中，$AB=10$，$∠OAB=60°$，
∴$∠ABO=30°$，
∴$OA=\frac{1}{2}AB=5$，
由勾股定理得：$OB^2=AB^2-OA^2=10^2-5^2=75$，即$m^2=75$。
【答案】
75

【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短
【点评】
本题属于几何动点最值类问题，解题核心是通过已知性质推导出动点O的运动轨迹，将动态的线段最值问题转化为静态的点到直线的距离问题，能有效考查几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.3

【分析】
解决本题可以分三步思考：第一步，通过作辅助线构造直角三角形，结合正方形和直角的性质证明三角形全等，将阴影部分的边长和Rt△ABC斜边上的高CO建立关联；第二步，把阴影部分的面积拆分为两个矩形与两个小三角形的面积之和，结合全等的结论，将阴影面积转化为只含CO的表达式；第三步，利用勾股定理和完全平方公式的非负性求出CO的最大值，代入表达式即可得到阴影面积的最大值。
【解析】
过点$C$作$CO⊥AB$于点$O$，延长$BA$交$EM$于点$P$，延长$AB$交$GN$于点$Q$，则$∠ EPA=∠ BQG=∠ AOC=∠ COB=90°$。
$\because AB=1$，四边形$ABHK$是正方形，$\therefore AK=BH=AB=1$。
$\because$四边形$ACDE$是正方形，$\therefore AE=CA$，$∠ EAC=90°$。
$\because ∠ PAE+∠ EAC+∠ OAC=180°$，$\therefore ∠ PAE+∠ OAC=90°$。
又$\because ∠ OAC+∠ OCA=90°$，$\therefore ∠ PAE=∠ OCA$。
$\therefore △ EAP≌△ ACO(\mathrm{AAS})$，$\therefore AP=CO$，$S_{△ EAP}=S_{△ ACO}$。
同理可证$△ BQG≌△ BCO(\mathrm{AAS})$，$\therefore BQ=CO$，$S_{△ BQG}=S_{△ COB}$。
因此阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=AK· AP + BH· BQ + S_{△ EAP} + S_{△ BQG}\\&=1× CO +1× CO + S_{△ ABC}\\&=2CO + \frac{1}{2}× AB× CO\\&=\frac{5}{2}CO\end{aligned}$
要使$S_{\mathrm{阴影}}$最大，需$CO$最大。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，设$BC=a$，$AC=b$，$AB=c=1$，$CO=h$。
由三角形面积公式得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，即$ab=h$；由勾股定理得$a^2+b^2=c^2=1$。
根据完全平方公式的非负性：$(a-b)^2≥0$，即$a^2+b^2-2ab≥0$，代入得$1-2h≥0$，解得$h≤\frac{1}{2}$，即$CO$的最大值为$\frac{1}{2}$。
因此$S_{\mathrm{阴影}}$的最大值为$\frac{5}{2}×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{5}{4}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形最值
【点评】
本题属于几何综合题，核心解题思路是通过构造全等三角形完成面积的转化，将不规则阴影面积转化为和直角三角形斜边上的高相关的代数式，再结合代数性质求最值，很好地考查了几何转化能力和数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.3

【分析】
本题是直角三角形背景下的动点综合题，解题思路如下：
(1) 先利用勾股定理求出斜边AC的长度，再根据“路程=速度×时间”得出CD的表达式，用AC减去CD得到AD的表达式，代入t=2即可计算结果。
(2) 已知∠C是锐角，因此△CBD为直角三角形只需分∠CDB=90°、∠CBD=90°两种情况讨论：第一种情况先通过三角形面积相等求出斜边上的高BD，再用勾股定理列方程求t；第二种情况点D与A重合，直接根据CD=AC列方程求解。
(3) △CBD为等腰三角形需分三种边相等的情况讨论：BC=BD、BC=CD、BD=CD，结合AC边上的高BE，利用等腰三角形三线合一、勾股定理分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由题意得点D的运动路程$CD=2t$。
在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，$AB=20$，$BC=15$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25$
因此$AD=AC-CD=25-2t$。
当$t=2$时，$CD=2×2=4$，$AD=25-4=21$。
(2) 能。已知$∠C＜90°$，分两种情况讨论：
① 若$∠CDB=90°$，此时BD是△ABC的高，由三角形面积公式可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BD·AC=\frac{1}{2}AB·BC$
代入数值得$\frac{1}{2}×BD×25=\frac{1}{2}×20×15$，解得$BD=12$。
在$Rt△BCD$中，由勾股定理得$CD^2+BD^2=BC^2$，即$(2t)^2+12^2=15^2$，解得$t=4.5$（负值不符合题意已舍去）。
② 若$∠CBD=90°$，此时点D与点A重合，$CD=AC=25$，即$2t=25$，解得$t=12.5$。
综上，t的值为4.5或12.5。
(3) 过点B作$BE⊥AC$于点E，由(2)得$BE=12$，在$Rt△BCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$
△CBD为等腰三角形时分三种情况：
① 当$BC=BD$时，BE为等腰△BCD底边上的高，由三线合一得$CD=2CE$，即$2t=2×9$，解得$t=9$。
② 当$BC=CD$时，即$2t=15$，解得$t=7.5$。
③ 当$BD=CD$时，设$BD=CD=2t$，则$DE=CD-CE=2t-9$，在$Rt△BDE$中由勾股定理得$12^2+(2t-9)^2=(2t)^2$，解得$t=6.25$。
综上，当t的值为6.25、7.5或9时，△CBD是等腰三角形。
【答案】
(1) $CD=4$，$AD=21$；
(2) 能，t的值为4.5或12.5；
(3) t的值为6.25或7.5或9。
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想，动点问题计算
【点评】
本题是几何动点类综合常考题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意根据直角、等腰的不同成立条件分类，避免漏解；其中面积法求斜边上的高、勾股定理列方程是该类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.5