【分析】
遇到翻折类的几何题，首先要明确翻折前后的图形全等，对应角、对应边都相等。本题先根据∠BCA:∠ABC:∠BAC的比例，结合三角形内角和为180°，先计算出△ABC三个内角的度数；再利用翻折得到的全等三角形的性质，得到对应角的度数；最后结合三角形内角和定理、对顶角相等的性质，推导得出∠EFC的度数。
【解析】
由翻折的性质可得：△ABC≌△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE=∠ABC，∠BAE=∠DAC=∠BAC。
已知∠BCA:∠ABC:∠BAC=28:5:3，设∠BCA=28x，∠ABC=5x，∠BAC=3x，
根据三角形内角和为180°，可得：
$28x+5x+3x=180°$，
解得$x=5°$。
∴$∠ ABC=5×5°=25°$，$∠ BAC=3×5°=15°$，
即$∠ ADC=∠ ABE=25°$，$∠ BAE=∠ DAC=15°$。
由此可得：$∠ DAE=∠ DAC+∠ BAC+∠ BAE=15°×3=45°$，
根据三角形外角的性质，$∠ AEF$是△ABE的外角，故$∠ AEF=∠ ABE+∠ BAE=25°+15°=40°$。
设DF与AE的交点为H，则∠AHD与∠EHF是对顶角，故$∠ AHD=∠ EHF$。
在△AHD中，$∠ ADC+∠ DAE+∠ AHD=180°$，
在△EHF中，$∠ AEF+∠ EHF+∠ EFC=180°$，
联立两式，消去相等的∠AHD和∠EHF，可得：
$∠ ADC+∠ DAE=∠ AEF+∠ EFC$，
代入数值计算：$∠ EFC=25°+45°-40°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等
【点评】
本题是结合翻折变换的角度计算问题，解题的核心是利用翻折的全等性质得到对应角的等量关系，再结合三角形内角和、对顶角相等的性质推导未知角，对角度转化的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【分析】
解题时首先从已知的全等三角形入手，利用全等三角形对应角相等的性质，得到相等的角，明确翻折后对应角$∠ C'AD$、$∠ B'AE$都等于已知的$∠ BAC=35°$；接下来结合平行线的性质，将$∠ ABC$、$∠ ACB$用含设的$∠ C'=α$、$∠ B'=β$的式子表示；再利用三角形内角和为$180°$，计算出$α+β$的数值；最后利用三角形外角的性质，将所求的$∠ BFC$转化为已知角和$α+β$的和，代入计算即可得到结果。
【解析】
设$∠ C'=α$，$∠ B'=β$。
$\because △ ADC ≌ △ ADC'$，$△ AEB ≌ △ AEB'$，
$\therefore ∠ ACD=∠ C'=α$，$∠ ADC=∠ ADC'$，$∠ ABE=∠ B'=β$，$∠ C'AD=∠ CAD=∠ BAE=∠ B'AE$。
$\because ∠ BAC=35°$，
$\therefore ∠ C'AD=∠ B'AE=∠ CAD=35°$。
由三角形外角的性质可得：$∠ C'DB = ∠ C' + ∠ C'AD$，$∠ CEB' = ∠ B' + ∠ B'AE$，
$\therefore ∠ C'DB=35°+α$，$∠ CEB'=35°+β$。
$\because ∠ CDB=180°-∠ ADC$，$∠ C'DB=180°-∠ ADC'$，
$\therefore ∠ CDB=∠ C'DB=35°+α$。
$\because C'D// EB'// BC$，根据平行线同位角相等的性质，
$\therefore ∠ ABC=∠ C'DB=35°+α$，$∠ ACB=∠ CEB'=35°+β$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BAC+∠ ABC+∠ ACB=180°$，
代入得：$35°+(35°+α)+(35°+β)=180°$，
化简得：$α+β=75°$。
又$\because ∠ BFC$是$△ BDF$的外角，
$\therefore ∠ BFC=∠ CDB+∠ ABE=35°+α+β$，
将$α+β=75°$代入得：$∠ BFC=35°+75°=110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
全等三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是通过全等、平行线的性质完成角的转化，结合三角形内角和与外角性质建立已知角和所求角的联系，侧重考察学生的逻辑推理能力和角的运算能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）要证$BD=DE+CE$，需借助全等三角形的性质转化线段：先由$△ BAD≌△ ACE$得到对应边$BD=AE$、$AD=CE$，再结合共线线段的和关系$AE=AD+DE$，将$AD$替换为$CE$即可完成证明。
（2）探究$BD// CE$时$∠ BAC$的度数，可先根据平行线的性质得到角的等量关系，再结合全等三角形对应角相等的性质，推导角的和差关系，最终得出$∠ BAC$的度数。
【解析】
（1）证明：$\because △ BAD≌△ ACE$，
$\therefore BD=AE$，$AD=CE$（全等三角形的对应边相等）。
$\because A$、$D$、$E$三点在同一条直线上，
$\therefore AE=AD+DE$，
将$AD=CE$代入得：$AE=CE+DE$，
$\therefore BD=DE+CE$。
（2）当$∠ BAC=90°$时，$BD// CE$，理由如下：
$\because △ BAD≌△ ACE$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CAE$，$∠ ADB=∠ CEA$（全等三角形的对应角相等）。
若$BD// CE$，根据“两直线平行，内错角相等”可得$∠ BDE=∠ CEA$，
$\therefore ∠ ADB=∠ BDE$（等量代换）。
$\because ∠ ADB+∠ BDE=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ ADB=90°$，
$\therefore$在$△ ABD$中，$∠ ABD+∠ BAD=90°$（直角三角形两锐角互余）。
将$∠ ABD$替换为$∠ CAE$得：$∠ CAE+∠ BAD=90°$，即$∠ BAC=90°$，
$\therefore$当$∠ BAC=90°$时，$BD// CE$。
【答案】
（1）$BD=DE+CE$得证；
（2）当$∠ BAC=90°$时，$BD// CE$。
【知识点】
全等三角形的性质；平行线的判定与性质；角的和差计算
【点评】
本题属于全等三角形的综合应用题，第一问较为基础，侧重考查全等三角形对应边相等的性质和线段的和差转化；第二问需要结合平行线的性质逆向推导，能有效锻炼逻辑推理能力和几何思维。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先从已知的全等三角形入手，利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，得到AB=AC，∠OAB=∠DAC，进而推出∠BAC=∠OAD=α，且△ABC为等腰三角形。再结合BC//OA的平行线性质，得到∠OBC的度数，用β表示出等腰△ABC的底角度数，最后利用三角形内角和为180°列出等式，即可推导得出α与β的数量关系。
【解析】
∵△AOB≌△ADC，B、C是对应顶点，
∴AC=AB，∠DAC=∠OAB，
∴∠DAC + ∠BAD = ∠OAB + ∠BAD，即∠BAC=∠OAD=α，△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB。
∵BC//OA，∠O=90°，
∴∠O + ∠OBC=180°，
∴∠OBC=180° - 90°=90°，
∵∠ABO=β，
∴∠ABC=∠OBC - ∠ABO=90° - β，即∠ACB=∠ABC=90° - β。
在△ABC中，∠ABC + ∠ACB + ∠BAC=180°，
代入得：$(90{}^{\circ }-β )+(90{}^{\circ }-β )+α =180{}^{\circ }$，
化简得：$α =2β$。
【答案】
$α =2β$
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，综合考查了全等三角形、平行线、等腰三角形的相关性质，解题核心是通过全等转化角的等量关系，再结合平行条件和三角形内角和建立未知角的等式，解题时注意不要混淆角的和差关系。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 先根据“路程=速度×时间”求出BP的长度，再结合线段和差关系$CP=BC-BP$，即可用含t的代数式表示CP的长度。
(2) 首先求出中点D对应的BD长度，再表示出CQ的长度。已知$∠B$和$∠C$是对应角，两个三角形全等时存在两种不同的对应情况，分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解，即可得到a的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由题意，点P的运动速度为$3\ \mathrm{cm/s}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，因此$BP=3t\ \mathrm{cm}$。
已知$BC=8\ \mathrm{cm}$，根据$CP=BC-BP$，可得$CP=8-3t$，即$\boldsymbol{CP=(8-3t)\mathrm{cm}}$。
(2) 已知$AB=10\ \mathrm{cm}$，D为AB的中点，因此$BD=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$。
点Q的运动速度为$a\ \mathrm{cm/s}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，因此$CQ=at\ \mathrm{cm}$。
由题可知$∠B$和$∠C$是一组对应角，因此两个三角形全等存在两种情况：
①当$△ BDP≌△ CPQ$时，对应边相等，即$BD=CP$，$BP=CQ$。
列方程组：$\begin{cases}5=8-3t\\3t=at\end{cases}$，解得$t=1$，代入第二个方程得$a=3$。
②当$△ BDP≌△ CQP$时，对应边相等，即$BD=CQ$，$BP=CP$。
列方程组：$\begin{cases}5=at\\3t=8-3t\end{cases}$，先解第二个方程得$t=\frac{4}{3}$，代入第一个方程得$a=\frac{15}{4}$。
综上，$a$的值为$3$或$\frac{15}{4}$。
【答案】
(1) $CP=(8-3t)\mathrm{cm}$；(2) $a$的值为$3$或$\frac{15}{4}$
【知识点】
列代数式；全等三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的常规题型，重点考查了动点运动路程的表示方法和全等三角形对应边相等的性质，解题的关键是明确全等时的两种对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7