10. 如图，字母K对应的有序数对为(4,2).若有一个英文单词的字母对应图中的有序数对依次为(5,3),(6,3),(1,3),(4,3),(4,4),则这个英文单词是
STORY
.
答案：10.STORY
解析：
【分析】
首先根据已知的字母K对应的有序数对(4,2)，明确有序数对的表示规则：数对的第一个数对应下方的横轴数字（列数），第二个数对应左侧的纵轴数字（行数），再依次找到每个给定有序数对对应的字母，最后将字母拼接得到单词即可。
【解析】
解：由字母K对应有序数对(4,2)可知，有序数对的第一个数为列号（对应图下方的数字），第二个数为行号（对应图左侧的数字）：
1. 有序数对(5,3)：第5列第3行，对应字母S；
2. 有序数对(6,3)：第6列第3行，对应字母T；
3. 有序数对(1,3)：第1列第3行，对应字母O；
4. 有序数对(4,3)：第4列第3行，对应字母R；
5. 有序数对(4,4)：第4列第4行，对应字母Y。
将所得字母依次拼接，得到单词STORY。
【答案】
STORY
【知识点】
有序数对；坐标确定位置
【点评】
本题考查有序数对的实际应用，解题关键是明确有序数对中两个数分别对应的横纵位置，题目难度较低，只要细心查找对应字母即可得出正确结果。
【难度系数】
0.9
11. 新趋势 开放探究 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置分别用(2,2)，(4,3)来表示。现在要在小方格的顶点上确定一点C，连接AB、AC和BC组成△ABC，且△ABC的面积为2，则符合条件的点C的位置用数对表示为
答案不唯一,如:(2,0),(4,1),(2,4),(0,3)
.(写出4个即可)
答案：11.答案不唯一,如:(2,0),(4,1),(2,4),(0,3) 解析:因为A,B两点之间的水平距离为2,所以只要竖直方向上到点A或点B的距离为2,且在格点上的点都符合.又A,B两点之间的竖直距离为1,所以只要水平方向上到点A或点B的距离为4,且在格点上的点都符合.所以符合要求的点C的位置用数对表示为(2,0),(4,1),(2,4),(0,3),(4,5),写出其中4个即可.
解析：
【分析】
首先明确数对的含义：本题中数对第一个数对应水平方向的位置，第二个数对应竖直方向的位置。要找到格点C使△ABC面积为2，可利用三角形面积公式“面积=$\frac{1}{2}$×底×高”，通过固定底的方向，计算出对应高的长度，再结合格点的特征找到符合要求的点C。我们可以分类讨论：一是取竖直方向的线段为底，利用A、B两点的水平距离作为高，计算所需底的长度；二是取水平方向的线段为底，利用A、B两点的竖直距离作为高，计算所需底的长度，就能快速找到符合条件的点。
【解析】
已知A(2,2)、B(4,3)，△ABC的面积为2，根据三角形面积公式可得：底×高=$2×2=4$。
1. 若选竖直方向线段为底：
A、B两点的水平距离为$|4-2|=2$，若以AC或BC为竖直底，高即为2，因此底长需要为$4÷2=2$。
若AC为竖直线段，则C的横坐标和A相同为2，纵坐标为$2\pm2$，即点C为$(2,4)$或$(2,0)$；
若BC为竖直线段，则C的横坐标和B相同为4，纵坐标为$3\pm2$，即点C为$(4,5)$或$(4,1)$。
2. 若选水平方向线段为底：
A、B两点的竖直距离为$|3-2|=1$，若以BC为水平底，高即为1，因此底长需要为$4÷1=4$。
若BC为水平线段，则C的纵坐标和B相同为3，横坐标为$4-4=0$，即点C为$(0,3)$。
综上，符合条件的点C有多个，任选4个即可。
【答案】
答案不唯一，如：$(2,0)$，$(4,1)$，$(2,4)$，$(0,3)$
【知识点】
数对的表示，三角形面积计算，格点坐标确定
【点评】
本题为开放探究类习题，将平面直角坐标系的坐标表示和三角形面积计算结合，解题时可通过分类讨论固定底的方向，逆向推导高的长度，就能快速找到符合要求的格点，答案不唯一，只要满足面积要求即可。
【难度系数】
0.7
12. 如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为
$(-1,5)$
.
答案：12.$(-1,5)$ 解析:过点$E$作$EH⊥ x$轴于点$H$,过点$F$作$FM⊥ EH$于点$M$,则$∠ EHO=∠ FME=90°$.所以$∠ EOH+∠ OEH=90°$.又四边形$OEFG$是正方形,所以$OE=EF,∠ OEF=90°$.又$∠ OEF+∠ OEH+∠ FEM=180°$,所以$∠ OEH+∠ FEM=180°-∠ OEF=90°$,即$∠ EOH=∠ FEM$.所以$△ FEM≌△ EOH$ (AAS).所以$FM=EH,EM=OH$.又点$E$的坐标为$(2,3)$,所以$OH=2,EH=3$,即$FM=3,EM=2$.所以$MH=EM+EH=5$.设$FM$交$y$轴于点$N$.易得四边形$OHMN$是长方形.所以$ON=MH=5,MN=OH=2$,即$FN=FM-MN=1$.又点$F$在第二象限,所以点$F$的坐标为$(-1,5)$.
解析：
【分析】
要求平面直角坐标系中正方形顶点F的坐标，可采用“一线三垂直”的构造思路：首先过已知点E作x轴的垂线，再过点F作该垂线的垂线，利用正方形边相等、内角为90°的性质，证明构造出的两个直角三角形全等，将点E的坐标转化为对应线段的长度，再结合线段和差关系计算点F的横、纵坐标，最后根据点F所在象限确定坐标符号即可。
【解析】
过点$E$作$EH⊥ x$轴于点$H$，过点$F$作$FM⊥ EH$交$EH$的延长线于点$M$，则$∠ EHO=∠ FME=90°$。
在$Rt△ OEH$中，$∠ EOH+∠ OEH=90°$。
∵ 四边形$OEFG$是正方形，
∴ $OE=EF$，$∠ OEF=90°$，
又
∵ $∠ OEH+∠ OEF+∠ FEM=180°$，
∴ $∠ OEH+∠ FEM=180°-90°=90°$，
∴ $∠ EOH=∠ FEM$。
在$△ FEM$和$△ EOH$中：
$\begin{cases}∠FME=∠EHO \\∠FEM=∠EOH \\EF=OE\end{cases}$
∴ $△ FEM≌△ EOH$（AAS），
∴ $FM=EH$，$EM=OH$。
已知点$E$的坐标为$(2,3)$，
∴ $OH=2$，$EH=3$，
∴ $FM=3$，$EM=2$，
∴ $MH=EH+EM=3+2=5$。
设$FM$交$y$轴于点$N$，易得四边形$OHMN$是矩形，
∴ $ON=MH=5$，$MN=OH=2$，
∴ $FN=FM-MN=3-2=1$。
∵ 点$F$在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴ 点$F$的坐标为$(-1,5)$。
【答案】
$(-1,5)$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的典型题型，解题关键是掌握“一线三垂直”的辅助线构造方法，通过全等三角形实现坐标与线段长度的互相转化，解题时要注意结合点所在象限确定坐标的符号。
【难度系数】
0.6
13. 已知当实数 $ m,n $ 满足 $ 2m = 8 + n $ 时，称 $ P(m-1,\dfrac{n+2}{2}) $ 为“开心点”。
（1）判断 $ A(5,3) $ 和 $ B(4,10) $ 是否为“开心点”，并说明理由；
（2）若 $ M(a,2a-1) $ 是“开心点”，则点 $ M $ 在第几象限？并说明理由。
答案：13. (1) A是“开心点”,B不是“开心点”.理由如下:令$m-1=5,\dfrac{n+2}{2}=3$,解得$m=6,n=4$.所以$2m=12$,$8+n=12$,即$2m=8+n$.所以A是“开心点”.令$m-1=4,\dfrac{n+2}{2}=10$,解得$m=5,n=18$.所以$2m=10$,$8+n=26$,即$2m≠8+n$.所以B不是“开心点”.
(2) 点$M$在第三象限.理由如下:因为$M(a,2a-1)$是“开心点”,所以$m-1=a,\dfrac{n+2}{2}=2a-1$,解得$m=a+1,n=4a-4$.又$2m=8+n$,所以$2a+2=8+4a-4$,解得$a=-1$.所以点$M(-1,-3)$,即点$M$在第三象限.
解析：
【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“开心点”的定义：若点$P(m-1,\dfrac{n+2}{2})$是开心点，则实数$m$、$n$满足$2m=8+n$。
针对第（1）问，判断点是否为开心点的思路：将点的横坐标、纵坐标分别对应$m-1$和$\dfrac{n+2}{2}$，求解得到$m$、$n$的具体值，再代入$2m=8+n$验证等式是否成立，成立即为开心点，反之则不是。
针对第（2）问，已知点是开心点的求解思路：将点的横、纵坐标分别对应$m-1$和$\dfrac{n+2}{2}$，用含$a$的式子表示$m$和$n$，再代入$2m=8+n$列方程求出$a$的值，得到点$M$的坐标后，结合象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可。
【解析】
（1）判断$A$、$B$是否为开心点：
对于点$A(5,3)$：
令$m-1=5$，$\dfrac{n+2}{2}=3$，解得$m=6$，$n=4$。
代入条件验证：$2m=2×6=12$，$8+n=8+4=12$，即$2m=8+n$，符合开心点定义，因此$A$是“开心点”。
对于点$B(4,10)$：
令$m-1=4$，$\dfrac{n+2}{2}=10$，解得$m=5$，$n=18$。
代入条件验证：$2m=2×5=10$，$8+n=8+18=26$，即$2m≠8+n$，不符合开心点定义，因此$B$不是“开心点”。
（2）判断点$M$所在象限：
$\because M(a,2a-1)$是“开心点”，
$\therefore m-1=a$，$\dfrac{n+2}{2}=2a-1$，解得$m=a+1$，$n=4a-4$。
又$\because m$、$n$满足$2m=8+n$，将$m$、$n$代入得：
$2(a+1)=8+(4a-4)$
去括号得：$2a+2=4+4a$
移项合并同类项得：$-2a=2$
解得$a=-1$，
$\therefore 2a-1=2×(-1)-1=-3$，即点$M$的坐标为$(-1,-3)$。
$\because$第三象限内的点横、纵坐标均为负数，因此点$M$在第三象限。
【答案】
（1）$A$是“开心点”，$B$不是“开心点”；（2）点$M$在第三象限。
【知识点】
新定义问题，平面直角坐标系坐标，象限判定
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系基础知识点，解题关键是准确理解“开心点”的定义，建立点坐标与参数$m$、$n$的对应关系，侧重考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
14. 如果m是任意实数，那么点P(m+2025, m−2026)一定不在 （
B
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：14.B 解析:因为$(m+2\ 025)-(m-2\ 026)=m+2\ 025-m+2\ 026=4\ 051＞0$,所以点$P$的横坐标一定大于纵坐标.因为第二象限内的点的横坐标是负数,纵坐标是正数,所以第二象限内的点的纵坐标一定大于横坐标.所以点$P$一定不在第二象限.
解析：
【分析】
要判断含参数的点P一定不在哪个象限，首先回忆平面直角坐标系四个象限的坐标符号特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）。我们可以先计算点P横、纵坐标的差值，找到两者的固定大小关系，再对比各象限内点的横、纵坐标的大小特点，就能快速判断出不可能在的象限；也可以通过分类讨论m的取值范围，验证点P能否出现在对应象限。
【解析】
先计算点P横坐标与纵坐标的差：
$(m+2025)-(m-2026)=m+2025 - m +2026=4051＞0$
由此可得：点P的横坐标始终大于纵坐标。
结合各象限坐标特征分析：
第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，必然满足纵坐标＞横坐标，和“点P横坐标始终大于纵坐标”的结论矛盾，因此点P不可能在第二象限；其余象限均存在符合横坐标大于纵坐标的情况，可通过代入特殊值验证。
综上，点P一定不在第二象限，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 代数式大小比较
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，解题核心是先推导出点的横纵坐标的固定大小关系，再结合象限的坐标符号性质判断，可避免复杂的分类讨论，也可通过代入特殊值验证的方法快速得出结论。
【难度系数】
0.7
15. 新素养 应用意识 在平面直角坐标系中，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点间的距离$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$. 特别地，如果$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点所在的直线与坐标轴重合或平行于某一坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为$AB=|x_1-x_2|$或$AB=|y_1-y_2|$.
(1) 在平面直角坐标系中有$P(4,6)$，$Q(2,-3)$两点，求$P$，$Q$两点间的距离；
(2) 已知$K$，$L$两点在平行于$x$轴的同一条直线上，点$K$的横坐标为$5$，点$L$的横坐标为$-1$，求$K$，$L$两点间的距离；
(3) 已知$△ MNH$的顶点坐标分别为$M(0,4)$，$N(-1,2)$，$H(4,2)$，你能判断$△ MNH$的形状吗？请说明理由.
答案：15. (1) 由题意,得$PQ=\sqrt{(4-2)^2+(6+3)^2}=\sqrt{85}$.所以$P,Q$两点间的距离为$\sqrt{85}$.
(2) 因为$K,L$两点在平行于$x$轴的同一条直线上,所以它们的纵坐标相等.所以$KL=|5-(-1)|=6$.所以$K,L$两点间的距离为6.
(3) $△ MNH$是直角三角形.理由如下:由题意,得$MN^2=(0+1)^2+(4-2)^2=5$,$NH^2=(-1-4)^2+(2-2)^2=25$,$MH^2=(0-4)^2+(4-2)^2=20$,所以$MN^2+MH^2=5+20=25$,即$MN^2+MH^2=NH^2$.所以$△ MNH$是直角三角形.
解析：
【分析】
(1) 求平面内普通两点的距离，直接套用题干给出的两点间距离通用公式，将两点横、纵坐标代入计算即可，注意计算纵坐标差时符号不要出错。
(2) 已知K、L在平行于x轴的直线上，符合距离公式的简化条件，两点纵坐标相等，距离等于横坐标差的绝对值，直接代入计算即可。
(3) 判断三角形形状时，可先计算三条边长度的平方（避免开根号简化运算），再利用勾股定理的逆定理，验证是否存在两条边的平方和等于第三边的平方，即可判断是否为直角三角形。
【解析】
(1) 根据两点间距离公式，代入$P(4,6)$、$Q(2,-3)$的坐标：
$PQ=\sqrt{(4-2)^2+[6-(-3)]^2}=\sqrt{2^2+9^2}=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}$
(2)
∵K、L在平行于x轴的同一直线上，两点纵坐标相等，适用简化距离公式
∴$KL=|5-(-1)|=6$
(3) $△ MNH$是直角三角形，理由如下：
分别计算三条边的平方：
$MN^2=(0+1)^2+(4-2)^2=1+4=5$
$NH^2=(-1-4)^2+(2-2)^2=25+0=25$
$MH^2=(0-4)^2+(4-2)^2=16+4=20$
∵$MN^2+MH^2=5+20=25=NH^2$，符合勾股定理逆定理的判定条件
∴$△ MNH$是直角三角形。
【答案】
(1) $\sqrt{85}$；(2) $6$；(3) $△ MNH$是直角三角形
【知识点】
两点间距离公式，勾股定理逆定理，平行于坐标轴的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中两点距离公式的灵活应用，以及三角形形状的判断，解题时需根据点的坐标特征选择合适的距离计算方式简化运算，同时要熟练掌握勾股定理逆定理的应用条件。
【难度系数】
0.8
