【分析】
解题时首先根据长方形的性质确定已知边的长度，再结合旋转的性质，明确旋转后对应边的长度和位置关系，最后根据平面直角坐标系内点的坐标特征确定点B'的坐标即可。第一步，先从已知点A、C的坐标得到长方形邻边OA、OC的长度，利用长方形对边相等得到BC的长度；第二步，根据旋转的性质，得到旋转后对应边OC'、B'C'的长度和对应角的度数，确定B'C'与x轴的位置关系；第三步，结合点C'的位置推导点B'的横、纵坐标。
【解析】
∵ 四边形OABC是长方形，点A坐标为(-4,0)，点C坐标为(0,2)
∴ OA=4，OC=2，且BC=OA=4，∠BCO=90°
∵ 长方形OABC绕点O顺时针旋转90°得到长方形OA'B'C'
根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，可得：
OC'=OC=2，B'C'=BC=4，∠B'C'O=∠BCO=90°
∴ 点C'在x轴正半轴，坐标为(2,0)，且B'C'垂直于x轴，位于x轴上方
∴ 点B'的横坐标为2，纵坐标为4，即B'(2,4)
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 长方形的性质
2. 旋转的性质
3. 平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题结合长方形和旋转的性质求解坐标，解题关键是抓住旋转前后图形的对应边、对应角均不发生变化，结合坐标系的特征即可推导得到对应点的坐标，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先观察图形可知△AOB是直角三角形，先根据A、B的坐标得出OA、OB的长度，用勾股定理算出斜边AB的长；再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，求出中线OC的长度；由同圆半径相等可得OD=OC，进而得到D点坐标；最后根据关于y轴对称的点的坐标规律，横坐标互为相反数、纵坐标不变，就能求出最终结果。
【解析】
解：
∵点A的坐标为$(-4,0)$，点B的坐标为$(0,3)$
$\therefore OA=4,OB=3$
又$\because ∠AOB=90^{\circ }$
$\therefore$在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
$\because$OC为$△ ABO$的中线
$\therefore OC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
由题意得$OD=OC=\frac{5}{2}$，且点D在x轴正半轴上
$\therefore$点D的坐标为$(\frac{5}{2},0)$
$\because$关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变
$\therefore$点D关于y轴的对称点的坐标为$(-\frac{5}{2},0)$
【答案】
$(-\dfrac{5}{2},0)$
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形的性质与平面直角坐标系中点的对称知识点结合考查，解题关键是先求出OC的长度，再结合坐标对称的性质即可求解，侧重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先从平面直角坐标系中确定点B和旋转中心P的初始坐标，再按题目给定的变换顺序逐步推导：第一步先处理平移，根据“向右平移横坐标加、纵坐标不变”的平移规律得到平移后点B的坐标；第二步处理绕点P的顺时针90°旋转，可通过计算相对坐标的旋转变化，或结合网格数格的方式得到旋转后对应点B'的坐标。
【解析】
首先读取坐标：由图可知点B的初始坐标为$(2,4)$，旋转中心P的坐标为$(1,1)$。
1. 平移变换：将点B向右平移1个单位长度，根据平移规则“右移横坐标加，纵坐标不变”，平移后点B的坐标为$(2+1,4)=(3,4)$。
2. 旋转变换：将平移后的点$(3,4)$绕点$P(1,1)$顺时针旋转$90°$：
先求平移后点B相对于P的相对坐标：横坐标差为$3-1=2$，纵坐标差为$4-1=3$，即相对坐标为$(2,3)$。
顺时针旋转$90°$时，相对坐标$(x,y)$变为$(y,-x)$，因此旋转后的相对坐标为$(3,-2)$。
再将相对坐标与P点坐标相加，得到$B'$的坐标为$(1+3,1+(-2))=(4,-1)$。
【答案】
$(4,-1)$
【知识点】
坐标与平移变换；坐标与旋转变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的变换规律，解题时需严格按照给定的变换顺序计算，明确平移和旋转的坐标变化规则，也可通过网格作图直观确定对应点位置，是坐标变换类的基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，首先需要明确“R变换”的规则：先将图形上所有点关于y轴对称，再将所有点向下平移2个单位。
对于（1），先根据“关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变”的规律，算出A、B、C三点对称后的坐标，再将每个点的纵坐标减2得到平移后的坐标，最后描点连线即可画出变换后的三角形。
对于（2），可逐步计算A点每次“R变换”后的坐标，也可先归纳变换规律：横坐标每变换一次变一次符号，纵坐标每变换一次减2，3次变换为奇数次，横坐标为原数的相反数，纵坐标减$2×3=6$，代入A点坐标即可得结果。
对于（3），分n为奇数、偶数两种情况总结横坐标的规律，再合并为统一表达式，纵坐标每次减2，n次共减2n，即可得到$P_n$的坐标。
【解析】
（1）一次“R变换”分为两步：
① 关于y轴对称：点$(x,y)$对称后坐标为$(-x,y)$；
② 向下平移2个单位：平移后坐标为$(-x,y-2)$。
分别计算三个顶点变换后的坐标：
$A(4,5)$经过1次R变换：$A_1(-4,5-2)=(-4,3)$；
$B(1,2)$经过1次R变换：$B_1(-1,2-2)=(-1,0)$；
$C(6,2)$经过1次R变换：$C_1(-6,2-2)=(-6,0)$。
在坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，依次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$，图略。
（2）计算A点每次变换后的坐标：
第1次R变换后：$A_1(-4,5-2)=(-4,3)$；
第2次R变换后：横坐标变为$-(-4)=4$，纵坐标变为$3-2=1$，即$A_2(4,1)$；
第3次R变换后：横坐标变为$-4$，纵坐标变为$1-2=-1$，即$A_3(-4,-1)$。
（3）对于点$P(a,b)$：
横坐标：每进行一次R变换就关于y轴对称一次，n为奇数时横坐标为$-a$，n为偶数时横坐标为$a$，可统一表示为$(-1)^n·a$；
纵坐标：每进行一次R变换就向下平移2个单位，n次共向下平移$2n$个单位，所以纵坐标为$b-2n$。
因此$P_n$的坐标为$((-1)^n·a,b-2n)$。
【答案】
(1) 描出点$A_1(-4,3)$、$B_1(-1,0)$、$C_1(-6,0)$，依次连接得到$△ A_1B_1C_1$，图略；
(2) $\boldsymbol{(-4,-1)}$；
(3) $\boldsymbol{((-1)^n · a,b-2n)}$
【知识点】
坐标与轴对称变化，坐标与平移变化，规律探究
【点评】
本题以新定义变换为背景，结合平面直角坐标系的坐标变化规律出题，既考查了对轴对称、平移坐标变化规则的掌握程度，也考查了归纳总结一般规律的能力，解题的关键是准确理解新定义的变换规则，逐步推导找规律。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，首先需要求出点B的坐标，再结合关于x轴对称的点的坐标特征得到最终答案。已知OB是∠AOx的角平分线，且∠A=90°，我们可以通过过点B作x轴的垂线构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到点B的横坐标与OA相等，进而求出参数a的值，确定点B坐标后，再推导其关于x轴的对称点即可。
【解析】
过点B作$BC⊥x$轴于点C，因此$∠ OCB=90°$。
已知$∠ A=90°$，可得$∠ A=∠ OCB$。
因为OB平分$∠ AOx$，所以$∠ AOB=∠ COB$。
在$△ AOB$和$△ COB$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ OCB \\∠ AOB=∠ COB \\OB=OB\end{cases}$
因此$△ AOB≌△ COB(\mathrm{AAS})$，可得$OA=OC$。
已知$OA=2$，则$OC=2$。
点B的坐标为$(a-1,a-2)$，其横坐标等于OC的长度，因此$a-1=2$，解得$a=3$。
代入可得$a-2=3-2=1$，即点B的坐标为$(2,1)$。
根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可知点B关于x轴的对称点坐标为$(2,-1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础综合类题目，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，结合角平分线的性质求出点B的横坐标，再运用坐标对称的规律求解，考察了学生对几何基础知识点和坐标变化规律的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
（1）解决第一问分两步：第一步根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”求出△A₁B₁C₁的顶点坐标；第二步根据“关于平行于y轴的直线x=3对称的点，纵坐标不变，两点横坐标的平均数为3”，即可求出△A₂B₂C₂的顶点坐标。
（2）解决第二问先依次求出P关于y轴的对称点P₁、P₁关于直线l的对称点P₂的坐标，再结合数轴上两点间距离的计算方法，分0＜a≤3和a＞3两种情况讨论线段的和差关系，最终求出PP₂的长度。
【解析】
(1) 先求△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的坐标：
关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标取相反数，已知A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2)，可得：
A₁(2,0)，B₁(1,0)，C₁(1,2)。
再求△A₁B₁C₁关于直线l:x=3对称的△A₂B₂C₂的坐标：
关于直线x=3对称的点纵坐标不变，对称点横坐标满足$x=6-x_原$：
对A₁(2,0)，得A₂横坐标为$6-2=4$，即A₂(4,0)；
对B₁(1,0)，得B₂横坐标为$6-1=5$，即B₂(5,0)；
对C₁(1,2)，得C₂横坐标为$6-1=5$，即C₂(5,2)。
(2) 已知点P坐标为(-a,0)，a＞0：
点P关于y轴对称的点P₁坐标为(a,0)，P₁关于直线l:x=3对称的点P₂坐标为(6-a,0)。
分类讨论：
① 当$0＜a≤3$时，P₁在线段OM上，$PP_2=PP_1+P_1P_2$，由对称性质得$PP_1=2OP_1$，$P_1P_2=2P_1M$，因此$PP_2=2OP_1+2P_1M=2(OP_1+P_1M)=2OM=2×3=6$；
② 当$a＞3$时，P₁在点M右侧，$PP_2=PP_1-P_1P_2$，由对称性质得$PP_1=2OP_1$，$P_1P_2=2P_1M$，因此$PP_2=2OP_1-2P_1M=2(OP_1-P_1M)=2OM=6$。
综上，PP₂的长为6。
【答案】
(1) $△ A_2B_2C_2$三个顶点的坐标分别是$A_2(4,0)$,$B_2(5,0),C_2(5,2).$
(2) $PP_2$的长是6.
【知识点】
1. 轴对称的坐标变化
2. 数轴上两点距离计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中不同轴对称下的坐标变换规律，解题时需熟练掌握对称点的坐标特征，第二问通过分类讨论可避免漏解，同时能直观发现最终结果为定值，对逻辑思维的严谨性有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7