【分析】
解题时先回忆正比例函数的性质：k的正负决定了函数图象经过的象限。首先观察题图，确定图象经过第一、三象限，由此判断k的符号为正，再对比选项，只有正数的选项符合要求，即可选出答案。
【解析】
根据正比例函数$y=kx(k\ne 0)$的图象性质：
当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
观察题图可知，该正比例函数图象经过第一、三象限，因此$k＞0$。
逐一判断选项：
A. $\frac{1}{2}＞0$，符合$k＞0$的要求；
B. $-\frac{1}{2}＜0$，不符合要求；
C. $-1＜0$，不符合要求；
D. $-\frac{1}{3}＜0$，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础题，主要考查正比例函数中系数k的符号和图象所在象限的对应关系，熟记相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题的核心依据是：若点在函数图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式。首先我们将点P的横坐标a对应函数的自变量x，纵坐标a-2对应函数的因变量y，代入正比例函数y=-5x中，就能得到一个只含未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
∵点$P(a,a-2)$在正比例函数$y=-5x$的图象上
∴将$x=a$，$y=a-2$代入$y=-5x$，可得：
$a-2=-5a$
移项得：$a+5a=2$
合并同类项得：$6a=2$
系数化为1得：$a=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题属于正比例函数的基础考查题，解题的关键是理解函数图象上的点与函数解析式的对应关系，计算难度低，只要掌握基本代入方法即可得分。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先要明确两个核心依据：①若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数解析式；②正比例函数$y=kx$（$k≠0$）中，当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。解题第一步先将点A的坐标代入正比例函数解析式，求出$m$的所有可能取值，第二步再结合函数的增减性筛选出符合要求的$m$值即可。
【解析】
∵ 正比例函数$y=mx$的图象经过点$A(m,4)$
∴ 将$x=m$，$y=4$代入$y=mx$，得：
$4 = m · m$，即$m^2=4$
解得 $m=2$ 或 $m=-2$
又
∵ $y$随$x$的增大而减小
∴ 正比例函数的比例系数$m＜0$
∴ $m=2$不符合要求，舍去，即$m=-2$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于正比例函数的基础常考题，解题的关键是先利用点在函数图象上的特征求出参数的所有可能值，再结合正比例函数的增减性筛选出符合条件的参数，注意不要忽略增减性的限制条件导致错选。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，我们需要结合正比例函数的定义和图象性质两步思考：第一步，先根据正比例函数的定义，明确x的次数必须为1，且x的系数不能为0，先求出m的可能取值；第二步，再根据图象经过第一、三象限的性质，确定系数的符号，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
首先，函数$ y=(m+1) · x^{m^2 -3} $是正比例函数，根据正比例函数的定义：
1. x的次数为1，即$m^2 - 3 = 1$，
解方程得：$m^2=4$，所以$m=2$或$m=-2$；
2. 自变量的系数不为0，即$m+1 ≠ 0$，解得$m ≠ -1$，上述两个解均满足该条件。
其次，正比例函数图象经过第一、三象限，说明系数大于0，即$m+1 ＞ 0$，解得$m ＞ -1$。
结合上述条件，$m=2$符合$m ＞ -1$，$m=-2$不符合，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数相关的基础综合题，解题时需注意先满足正比例函数的定义要求（次数为1、系数不为0），再结合图象的象限特征判断系数的正负，容易因漏看系数的限制条件出现错解。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先先判断已知点A、B所在的象限，结合“三点在三个不同象限”的条件，确定点C的可能象限；再根据正比例函数图象只能过两个相对象限的性质，排除不可能同时经过的点组合，对剩余两种情况分别用待定系数法求函数解析式，再验证是否符合三点异象限的要求，最终得到m的值。
【解析】
步骤1：判断点的象限
点A(-2,1)的横坐标为负、纵坐标为正，位于第二象限；
点B(3,3)的横、纵坐标均为正，位于第一象限；
点C横坐标为-6＜0，且三点在不同象限，因此C不能在第二象限，只能在第三象限，即m＜0。
步骤2：分析正比例函数过点的可能组合
正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，仅能同时经过第一、三象限（k＞0）或第二、四象限（k＜0），不可能同时经过第一、第二象限，因此不可能同时过A、B两点，仅存在两种可能：
① 函数过A、C两点：
将A(-2,1)代入$y=kx$，得$1=-2k$，解得$k=-\frac{1}{2}$，函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x$。
将C(-6,m)代入解析式，得$m=-\frac{1}{2}×(-6)=3$，此时C(-6,3)位于第二象限，与A同象限，不符合题意，舍去。
② 函数过B、C两点：
将B(3,3)代入$y=kx$，得$3=3k$，解得$k=1$，函数解析式为$y=x$。
将C(-6,m)代入解析式，得$m=1×(-6)=-6$，此时C(-6,-6)位于第三象限，A在第二象限、B在第一象限，三点分属三个不同象限，符合题意。
综上，$m=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
1. 象限的坐标特征
2. 正比例函数的性质
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题结合平面直角坐标系中点的象限特征和正比例函数的图象性质考查，解题时需注意结合题干限制条件对分类讨论的结果进行验证取舍，熟练掌握正比例函数图象特点是解题关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路可按小问逐步推导：(1) 函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，因此将已知点坐标代入正比例函数式，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k的值；(2) 先由(1)的结果写出完整的正比例函数解析式，再将点(-1,m)的坐标代入解析式，直接计算即可得到m的值；(3) 先根据k的正负判断正比例函数的增减性，再比较三个点横坐标的大小，结合增减性就能推出对应y值的大小关系。
【解析】
(1) 已知点$(2,-4)$在正比例函数$y=kx$的图象上，将$x=2$，$y=-4$代入解析式得：
$2k=-4$
解得$k=-2$
(2) 由(1)可知$k=-2$，因此该正比例函数的解析式为$y=-2x$。
将点$(-1,m)$的坐标代入$y=-2x$得：
$m=-2×(-1)=2$
(3) 由函数$y=-2x$可知$k=-2＜0$，根据正比例函数的性质，$y$随$x$的增大而减小。
已知三点横坐标满足$-2＜\frac{1}{2}＜1$，因此横坐标越大，对应的$y$值越小，可得$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $k=-2$；(2) $m=2$；(3) $y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 待定系数法求正比例函数解析式
3. 正比例函数的增减性
【点评】
本题是正比例函数的基础常规题，围绕正比例函数的核心基础考点设置问题，熟练掌握点与函数解析式的对应关系、函数增减性等基础性质，即可快速完成解答。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先回忆正比例函数$y=kx$的性质：首先$k$的正负决定函数图象经过的象限，可先通过象限判断$a、b、c$的正负，确定最小的数；再根据$k＞0$时，$k$的大小和直线倾斜程度的关系，比较两个正数的大小，即可得到三者的大小关系。
【解析】
1. 判断$a、b、c$的正负：
观察图象可得，$y=ax$和$y=bx$的图象经过第一、三象限，因此$a＞0$，$b＞0$；$y=cx$的图象经过第二、四象限，因此$c＜0$，可得$c$是三个数中最小的。
2. 比较$a$和$b$的大小：
正比例函数中，当$k＞0$时，$k$值越大，函数图象的倾斜程度越大（图象越陡），图中$y=bx$的图象比$y=ax$的图象更陡，因此$b＞a$。
综上可得$c＜a＜b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. $k$值与图象倾斜度的关系
【点评】
本题考查正比例函数图象和$k$值的对应规律，解题时只需结合“$k$的正负定象限，$k$的绝对值定陡缓”两个规律读图即可，是对几何直观素养的基础考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
要确定直线$y=kx$与$△ ABC$三边有两个公共点时$k$的取值范围，首先明确正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，交点个数发生变化的临界情况是直线刚好经过$△ ABC$的顶点，此时直线与三角形只有1个公共点。我们先利用待定系数法求出直线经过$△ ABC$顶点B、C时对应的$k$值，再结合图象判断两个公共点对应的$k$的范围即可。
【解析】
正比例函数$y=kx$的图象恒过原点$O$，当直线与$△ ABC$的三边只有1个公共点时，直线恰好经过点$B$或点$C$：
1. 将点$B(4,1)$代入$y=kx$，得：$1=4k$，解得$k=\frac{1}{4}$；
2. 将点$C(2,3)$代入$y=kx$，得：$3=2k$，解得$k=\frac{3}{2}$。
结合图象可知：当$\frac{1}{4}＜k＜\frac{3}{2}$时，直线$y=kx$会与$△ ABC$的两条边相交，即有两个公共点。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数图象性质，待定系数法求解析式，函数与几何交点
【点评】
本题是正比例函数与平面几何结合的典型题型，解题核心是抓住正比例函数过原点的特征，通过计算临界状态下的$k$值，结合图象直观判断取值范围，很好地考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7