【分析】
解题时首先回忆正比例函数的图象性质与象限内点的坐标特征：第一步先根据A、B两点的已知横、纵坐标，判断两点各自可能所在的象限；第二步结合“两点在同一正比例函数图象上且处于不同象限”的条件，排除两点同处第四象限的可能，确定两点实际所在的象限；第三步根据对应象限的坐标符号特征判断a、b的正负即可。
【解析】
设该正比例函数解析式为$y=kx(k≠0)$。
1. 分析两点可能的象限：
点$A(a,-1)$的纵坐标为$-1＜0$，因此点$A$在第三象限或第四象限；
点$B(2,b)$的横坐标为$2＞0$，因此点$B$在第一象限或第四象限。
2. 结合条件确定两点实际象限：
已知$A,B$在同一个正比例函数图象上，且在不同象限，因此两点不可能都在第四象限，只能是点$A$在第三象限，点$B$在第一象限。
3. 判断$a,b$的符号：
第三象限内的点横、纵坐标均为负，因此$a＜0$；第一象限内的点横、纵坐标均为正，因此$b＞0$。
综上可得$a＜0,b＞0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的图象与性质
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题围绕正比例函数的图象特点设置，核心考查对象限坐标特征和正比例函数图象分布规律的掌握，解题时需结合题干限定条件排除矛盾情况，逻辑清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先回忆正比例函数的增减性规律：正比例函数y=kx中，k的符号决定函数的增减性，当k＜0时，y随x的增大而减小。本题已知k＜0，因此在给定的x取值范围1≤x≤3内，x取最小值时y最大，x取最大值时y最小。结合最大值与最小值的差为4的条件，列出关于k的方程求解即可。
【解析】
解：
∵正比例函数$y=kx$中$k＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
∴当$1≤x≤3$时，$x=1$时$y$取最大值，最大值为$y=k×1=k$；$x=3$时$y$取最小值，最小值为$y=k×3=3k$。
∵最大值和最小值之差为4，
∴$k-3k=4$，
合并同类项得：$-2k=4$，
解得：$k=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
正比例函数的增减性；一元一次方程的解法
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题，解题核心是根据k的符号准确判断函数的增减性，确定区间内最值对应的自变量取值，再结合已知等量关系列方程求解，是正比例函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

【分析】
要比较y₁和y₂的大小，需先确定正比例函数的解析式、明确其增减性。解题思路分为三步：第一步根据正比例函数的定义列条件，求解参数k的值；第二步根据k的正负判断函数的增减性；第三步比较两点横坐标的大小，结合增减性即可得到y₁和y₂的大小关系。
【解析】
根据正比例函数的定义可知：x的次数为1，且x的系数不为0，因此可得：
$\begin{cases}|k|=1 \\ k-1≠0\end{cases}$
解得$k=\pm1$，且$k≠1$，因此$k=-1$。
将$k=-1$代入原函数，得解析式为$y=(-1-1)x=-2x$。
$\because k=-2＜0$，$\therefore$该正比例函数中y随x的增大而减小。
已知$A(-2,y_1)$、$B(1,y_2)$都在函数图象上，且$-2＜1$，根据函数的增减性可得：$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的性质
【点评】
本题属于正比例函数的基础常考题，综合考查了正比例函数的概念和增减性的应用，解题的关键是求解参数时不要遗漏系数不为0的限制条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先需要求出直线l的函数表达式，可通过两种思路推导：一是给a取两个不同的实数值，得到直线l上的两个点坐标，再用待定系数法求解析式；二是直接观察点P的横、纵坐标的关系，横坐标为$x=a+1$，纵坐标为$y=2a+2$，可直接得出y与x的数量关系。得到直线l的解析式后，利用“直线上的点坐标满足函数解析式”的性质，得到m和n的关系，最后代入代数式计算即可。
【解析】
步骤1：求直线l的函数表达式
已知点$P(a+1,2a+2)$恒在直线l上，设点P的横坐标为$x=a+1$，纵坐标为$y=2a+2$，整理纵坐标可得$y=2(a+1)=2x$，因此直线l的函数表达式为$y=2x$。
（也可通过特殊值法验证：令$a=0$，得$P(1,2)$；令$a=1$，得$P(2,4)$，设直线解析式为$y=kx+b$，代入两点得$\begin{cases}k+b=2\\2k+b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=0\end{cases}$，即$y=2x$）
步骤2：利用直线上点的坐标特征建立m、n的关系
因为$Q(m,n)$是直线l上的点，将坐标代入$y=2x$，得$n=2m$。
步骤3：代入代数式计算
将$n=2m$代入$(2m-n-1)^2$，得：
$(2m - 2m - 1)^2=(-1)^2=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一次函数解析式的确定 2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查一次函数解析式的推导以及函数图象与点坐标的对应关系，解题的核心是先求出定直线l的解析式，再将点坐标代入转化代数式计算，属于基础类的常考题型，只要掌握函数图象上点的坐标满足解析式这一性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）要确定正比例函数的表达式，需先求出函数图象上点A的坐标。已知点A横坐标为3，可得OH的长度，结合△AOH的面积，用三角形面积公式可算出AH的长度，再根据点A在第四象限确定其纵坐标，得到A点坐标后代入y=kx即可求出k的值，得到函数表达式。
（2）判断是否存在点P时，先明确△AOP的高为点A到x轴的距离AH，底为点P到原点的距离OP，设P点坐标为(a,0)，则OP=|a|，结合已知的面积列方程求解a的值即可，注意距离为非负数，a存在正负两种情况。
【解析】
(1) 由题意，得 $OH=3$。
因为 $S_{△ AOH}=3$，$AH⊥ OH$，所以 $S_{△ AOH}=\frac{1}{2}OH· AH$，代入数值计算得 $AH=\frac{2S_{△ AOH}}{OH}=\frac{2×3}{3}=2$。
又点 $A$ 在第四象限，纵坐标为负，所以点 $A$ 的坐标为$(3,-2)$。
将点$A(3,-2)$代入 $y=kx$ 中，得 $3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
因此该正比例函数的表达式为 $y=-\frac{2}{3}x$。
(2) 存在，理由如下：
由(1)可知点A到x轴的距离$AH=2$。
设点 $P$ 的坐标为 $(a,0)$，则点P到原点的距离$OP=|a|$。
因为 $S_{△ AOP}=5$，且 $S_{△ AOP}=\frac{1}{2}AH· OP$，代入得 $\frac{1}{2}× 2· |a|=5$，解得 $a=\pm5$。
所以点 $P$ 的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x$；(2) 存在，点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$
【知识点】
正比例函数解析式求解，平面直角坐标系中点的特征，三角形面积计算
【点评】
本题是正比例函数的基础综合题，解题时需注意第四象限内点的坐标符号特点，涉及到坐标轴上点到原点的距离时，要考虑坐标的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先根据直线$l_n$垂直$x$轴的特点，可知同一条竖直线上的点横坐标相同，结合两个正比例函数解析式可分别求出点$A_n$、$B_n$的坐标，进而得到线段$A_nB_n$的长度；再观察四边形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$的形状，由于$A_{n-1}B_{n-1}$和$A_nB_n$均垂直于$x$轴，因此互相平行，且两条竖直线的间距为1，即梯形的高为1，可利用梯形面积公式推导$S_n$的通用表达式，最后将$n=2026$代入表达式即可求出结果。
【解析】
解：由题意可知，点$A_n$在正比例函数$y=x$的图象上，且横坐标为$n$，因此$A_n(n,n)$；点$B_n$在正比例函数$y=3x$的图象上，横坐标也为$n$，因此$B_n(n,3n)$。
则线段$A_nB_n$的长度为：$3n - n = 2n$，同理可得$A_{n-1}B_{n-1}$的长度为$3(n-1) - (n-1) = 2(n-1)=2n-2$。
∵直线$l_{n-1}⊥x$轴，直线$l_n⊥x$轴，
∴$A_{n-1}B_{n-1}//A_nB_n$，且$l_{n-1}$与$l_n$之间的距离为1，即四边形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$是高为1的梯形。
根据梯形面积公式可得：
$S_n = \frac{1}{2}×(A_{n-1}B_{n-1} + A_nB_n)×高 = \frac{1}{2}×(2n-2 + 2n)×1 = \frac{1}{2}×(4n-2) = 2n -1$。
当$n=2026$时，$S_{2026}=2×2026 -1 = 4052 -1 = 4051$。
【答案】
4051
【知识点】
正比例函数性质，梯形面积计算，规律探究
【点评】
本题将正比例函数的图象性质与图形规律探究相结合，解题的核心是通过函数解析式求出对应线段的长度，准确判断四边形的形状，进而推导出面积的通用规律，很好地考查了数形结合思想和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决该问题，首先明确等腰三角形未指定腰和底边，因此需要分三类情况讨论避免漏解：①OP为腰、OA为腰，即OP=OA；②PA为腰、OA为腰，即PA=OA；③OA为底边，即OP=PA。已知点P在直线y=x上，因此P的横、纵坐标相等，可设P(a,a)，再结合勾股定理、等腰三角形三线合一的性质分别计算每类情况下a的取值，即可得到对应P点的坐标。
【解析】
解：$\because A(2,0)$，$\therefore OA=2$。
$\because$点$P$在直线$y=x$上，$△ OPA$是等腰三角形，分类讨论如下：
① 当$OP=OA=2$时：
过点$P$作$PB⊥ x$轴于点$B$，设点$P$的坐标为$(a,a)$，则$OB=|a|$，$PB=|a|$。
在$\mathrm{Rt}△ OPB$中，由勾股定理得$OB^2+PB^2=OP^2$，
$\therefore |a|^2+|a|^2=2^2$，即$2a^2=4$，
解得$a=\sqrt{2}$或$a=-\sqrt{2}$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$或$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$；
② 当$PA=OA=2$时：
设$P(a,a)$，由勾股定理得$PA^2=(a-2)^2+a^2=4$，
整理得$2a^2-4a=0$，解得$a=2$（$a=0$时三点共线，无法构成三角形，舍去），
$\therefore$点$P$的坐标为$(2,2)$；
③ 当$OP=PA$时：
过点$P$作$PD⊥ x$轴于点$D$，由等腰三角形三线合一可知$D$为$OA$中点，
$\therefore OD=\frac{1}{2}OA=1$，即$P$的横坐标为$1$，代入$y=x$得$y=1$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(1,1)$。
【答案】
$(\sqrt{2},\sqrt{2})$或$(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$或$(2,2)$或$(1,1)$
【知识点】
正比例函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于函数与几何的综合题型，核心考查分类讨论思想，解决等腰三角形存在性问题时，需按腰、底的不同情况分类讨论，避免出现漏解，解题过程中要注意结合函数图象上点的坐标特征和几何性质综合计算。
【难度系数】
0.6