黄金比的应用
数学小组的同学们在开展“五星红旗”主题式学习时，发现国旗上五角星的五个角都是等腰三角形，他们对这种三角形产生了极大兴趣并展开探究。
(1)操作发现:如图1,分别测量BN和BE的长度,发现$\frac{BN}{BE}=0.618$,请你再写出3组这样的比。
答案：$\frac{BM}{BN}=0.618$
$\frac{BG}{BD}=0.618$
$\frac{AH}{AD}=0.618$
答：符合要求的3组比可以是$\frac{BM}{BN}$、$\frac{BG}{BD}$、$\frac{AH}{AD}$，答案不唯一。
(2)进一步探究:同学们按照上面五角星中三角形AMN的形状裁剪出了图2的三角形,测量发现$\frac{MN}{AN}=0.618$,符合黄金比。同学们查阅资料得知,当等腰三角形底和腰的比等于黄金比时,这个三角形叫作黄金三角形:
①量一量,黄金三角形AMN的顶角是(
)°。
②将三角形AMN按图2中的方式折叠,∠1=(
)°,∠2=(
)°,∠3=(
)°,三角形PMQ(
)黄金三角形(填“是”或“不是”)。
③根据上述结论,如果MN=10厘米,你能求出PQ的长度吗?
答案：① 36
② 36，72，72，是
③
$PQ = 10 × 0.618 = 6.18$（厘米）
答：PQ的长度是6.18厘米。
④当等腰三角形腰和底的比的比值等于黄金比的比值时，这个三角形也是黄金三角形。图2中的黄金三角形有哪些？
⑤请你画出一个黄金三角形，试着继续在这个图形上设计出与黄金比有关的图形，并写出你的设计说明。
答案：④答：图2中的黄金三角形为△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB，共5个，均满足等腰三角形腰和底的比值等于黄金比。
⑤画图：
1. 取10cm长的线段作为黄金三角形的底，计算得腰长为$10×0.618=6.18\mathrm{cm}$，分别以底边的两个端点为圆心，6.18cm为半径画弧，两弧交点为三角形的顶角顶点，连接三个顶点得到符合要求的黄金三角形。
2. 以该黄金三角形的底边为长，向下作长10cm、宽6.18cm的黄金矩形。
设计说明：将黄金三角形和黄金矩形拼接组合，组合后整体图形的总长度为16.18cm，宽度为10cm，长与宽的比值等于黄金比，图形所有相关线段的比例都符合黄金比的规律，视觉效果协调美观。
